Archimede e i grandi numeri

di Federico Peiretti


Alla Gara Mondiale di Matematica sembrava che non ci fossero più dubbi sul vincitore. Come racconta Cesare Zavattini nel suo libro Parliamo tanto di me, i matematici dovevano esprimere il numero più grande e quando tutti erano ormai sfiniti, dopo ore di appassionata contesa, il protagonista con grande enfasi aveva declamato:

Cesare Zavattini (1902 - 1989) scrittore, giornalista e sceneggiatore è stato uno dei protagonisti del cinema italiano. Ricordiamo soltanto la sua lunga collaborazione con il regista Vittorio De Sica che portò alla realizzazione di alcune delle più importanti opere del cinema neorealista: I bambini ci guardano (1943), Sciuscià (1946), Ladri di biciclette (1948), Miracolo a Milano (1950), Umberto D (1951).

"Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi …", proseguendo così finché l’ultimo fievole "…di miliardi" gli uscì dalle labbra con un sospiro, quindi si abbatté sfinito sulla sedia, fra il delirio della folla che riempiva il salone in cui si svolgeva la Gara. Ma quando il principe Ottone stava per appuntargli la medaglia sul petto ecco spuntare il temuto avversario, Gianni Binacchi, che con un urlo, "Più uno!", gli rubò il primato”.
Il nostro protagonista, affranto, tornò a casa e si buttò singhiozzando fra le braccia della moglie che lo attendeva sulla porta: "Se avessi detto più due avrei vinto io".

E se qualcuno avesse detto "Più tre"? E' chiaro che la gara non poteva aveva un vincitore, perché i numeri naturali sono infiniti e non esiste il numero più grande. Ha però un grande interesse la ricerca sui numeri più grandi inventati dai matematici per i loro calcoli o, più in generale, dagli scienziati per le loro misure.

Così Archimede (circa 287 - 212 a. C.), nella sua opera l'Arenario, pensò di arrivare al numero più grande con il calcolo dei granelli di sabbia che potevano riempire tutto l'Universo:

Archimede, 287 - 214 a. C.

Alcuni pensano, o re Gerone che il numero dei granelli di sabbia sia infinito in quantità: non intendo soltanto la sabbia che si trova nei dintorni di Siracusa e del resto della Sicilia, ma anche quella che si trova in ogni altra regione, abitata o deserta. Altri ritengono che questo numero non sia infinito, ma che non possa esistere un numero esprimibile e che superi questa quantità di sabbia. E' chiaro che coloro i quali pensano questo, se immaginassero un volume di sabbia uguale a quello della Terra, avendo riempito di sabbia tutti i mari e tutte le valli, fino alle montagne più alte, sarebbero ancor meno disposti ad ammettere che si possa esprimere un numero che superi quelli quantità. Ma io tenterò di mostrarti, attraverso dimostrazioni geometriche che tu potrai seguire, che alcuni dei numeri da noi enunciati ed esposti negli scritti inviati a Zeusippo, non soltanto superano il numero dei granelli di sabbia aventi un volume uguale a quello della Terra riempita come abbiamo detto, ma anche un volume uguale a quello dell'intero Universo.

L'obiettivo di Archimede era quello di trovare e di riuscire a rappresentare il numero più grande che si potesse immaginare e dimostrare che la successione dei numeri poteva essere estesa all'infinito.
Per essere sicuro di superare ogni altro matematico, propose, in scala, alcuni numeri ancora più grandi, oltre i quali, ne era convinto, nessuno sarebbe mai andato. Al posto del nostro sistema di numerazione decimale, che va di dieci in dieci, ne adottò uno basato sulla miriade, il diecimila dei greci, e di miriade in miriade arrivò a 10^64 (10 elevato a 64). Dalla miriade passò poi alla miriade di miriadi, presa come base di un nuovo sistema di numerazione e il suo sistema di numerazione procedeva quindi di cento milioni in cento milioni (10 000 x 10 000), ovvero di 10^8 in 10^8 e chiamò i diversi ordini classi. In tal modo la prima classe, chiamata dei numeri primi, comprendeva i numeri da 1 a 99 999 999. A questi seguivano i numeri secondi, da 10^8 a 99 999 999 x 10^8, i numeri terzi, compresi fra (10^8)^2 a (99 999 999x10^8)^2, i numeri quarti, compresi fra (10^8)^3 a (99 999 999x10^8)^3 e così via, fino a raggiungere la miriade di miriadi di miriade di miriadi, cioè (10^8)^8. Quest'ultima diventa, a sua volta, la base di un nuovo sistema di numerazione, le cui classi Archimede chiamò periodi. In questo modo arrivò a numeri sempre più grandi, con un metodo proposto anche da altri matematici dell'epoca, ad esempio da Apollonio di Perga (circa 262 - 180 a. C.).

Wassily Kandnsky, In Gray, 1919

"Il sistema di numerazione proposto da Archimede - scrive Carl Boyer nella sua Storia della Matematica - giungeva a un numero che sarebbe scritto come uno seguito da ottantamila milioni di milioni di cifre". A questo punto poteva rappresentare qualsiasi grande numero e contare senza problemi i granelli di sabbia contenuti in una sfera grande come l'Universo. Incominciò per questo a calcolare il numero dei granelli contenuti in una capsula di papavero, valutando che non potevano essere più di diecimila e successivamente, a catena, calcolò il numero delle capsule di papavero contenute in una sfera del diametro di un dito, il numero di queste sferette contenute in una sfera avente un diametro di uno stadio (circa 200 metri) e, tenendo conto delle misure astronomiche dell'epoca, proseguì con sfere sempre più grandi fino alla sfera delle stelle fisse. Secondo i suoi calcoli, l'Universo avrebbe potuto contenere al massimo 10^63 granelli di sabbia.

Jorge Luis Borges, foto di Ferdinando Scianna,
in Letras Libres, 1999

Un giorno o una notte - tra i miei giorni e le mie notti, che differenza c'è? - sognai che sul pavimento del carcere c'era un granello di sabbia. Mi riaddormentai indifferente; sognai che mi destavo e che i granelli di sabbia erano due. Mi riaddormentai; sognai che i granelli di sabbia erano tre. Si andarono così moltiplicando fino a colmare il carcere e io morivo sotto quell'emisfero di sabbia. Compresi che stavo sognando; con un grande sforzo mi destai. Fu inutile; l'innumerevole sabbia mi soffocava. Qualcuno mi disse: "Non ti sei destato alla veglia ma a un sogno precedente. Questo sogno è dentro un altro, e così all'infinito, che è il numero dei granelli di sabbia. La strada che dovrai percorrere all'indietro è interminabile e morrai prima di esserti veramente destato".

Jorge Luis Borges


Curiosamente, nello stesso periodo in cui Archimede a Siracusa pensava ai grandi numeri, o anche prima, ritroviamo in India, in diverse situazioni, gli stessi calcoli. Ad esempio, come riporta Karl Menninger, nel suo libro A Cultural History of Numbers, l'opera di riferimento per la storia dei numeri, si narra che Buddha, quando chiese in moglie Gopa, la figlia del Principe Dandapani, venne sottoposto, con altri cinque pretendenti, a una serie di prove di abilità che superò brillantemente. Alla fine il padre di Gopa gli chiese di superare un'ultima prova, la più difficile, di matematica (questo dimostra l'alta considerazione in cui gli indiani hanno sempre tenuto la scienza dei numeri), battendosi contro Arjuna, il matematico più celebre del regno. Quest'ultimo gli chiese di elencare le unità degli ordini superiori al koti, che corrispondeva a 10 milioni. Buddha non solo le elencò tutte, fino a 10^53, un numero chiamato tallaksana, ma andò oltre con una serie di sequenze di numeri, simili a quelle trovate da Apollonio e da Archimede, che si concludevano con 10^421. Arjuna, non soddisfatto, gli chiese ancora di contare gli atomi contenuti in una yoyana (un miglio). Buddha, partì dall'atomo e stabilì una successione che ricorda quella descritta da Archimede, ma forse più poetica con unità di misura sempre più grandi, semi di papavero, semi di senape, chicchi d'orzo e così via, arrivando a contare 384.000 x 7^10 atomi:

Una Tangka tibetana degli inizi del ‘900

7 atomi equivalgono a una piccolissima particella
7 piccolissime particelle equivalgono a una piccola particella
7 piccole particelle equivalgono a una particella che può ancora essere trasportata dal vento
7 di tali particelle equivalgono a una traccia di coniglio
7 tracce di coniglio equivalgono a una traccia di montone
7 tracce di montone equivalgono a una traccia di bue
7 tracce di bue equivalgono a un seme di papavero
7 semi di papavero equivalgono a un seme di mostarda
7 semi di mostarda equivalgono a un chicco d'orzo
7 chicchi d'orzo equivalgono a una nocca delle dita
7 nocche delle dita equivalgono al palmo di una mano
2 palmi della mano equivalgono a un ell, una mano
4 ell equivalgono a un nodo
1000 nodi a una krosa,
4 krosa equivalgono a una yoyana.

E si poteva continuare ancora, osservò il Buddha, con il calcolo del numero degli atomi contenuti in tutto il regno, nel nostro mondo e nei tre milioni di mondi contenuti nell'Universo.


In generale, possiamo osservare che nei testi delle religioni orientali, si trovano sovente grandi numeri usati, come dice Menninger, per sottolineare la sacralità del racconto. Sono numeri che proprio per le loro dimensioni spropositate, rendono piccole e lontane le cose mortali.
Ad esempio, in India, uno dei numeri più grandi era la distanza coperta in sei mesi da un dio che viaggia alla velocità di un milione di chilometri in un batter d'occhio (circa un anno luce).
Nel libro che racconta la vita del Buddha è scritto:

"Il Buddha sarà riconosciuto da 30 simboli principali e 80 secondari, sua madre da 32 e la casa in cui nascerà da 8. Sua madre, la regina Maya - Devi sarà accompagnata da 10 milioni di dame di compagnia. Centinaia di migliaia di religiosi e centinaia di migliaia di milioni di illuminati renderanno omaggio al Buddha. Il suo trono è fatto di lavori per i quali ci sono voluti centinaia di migliaia di milioni di kalpas [periodi di 4320 milioni di anni]. E il grande loto che sboccia nella notte in cui il Buddha viene concepito, apre il suo fiore su 68 milioni di miglia".

Particolare di un dipinto attribuito a Soltan Mohammad (XVI sec.) raffigurante l'ascesa al cielo del Profeta.

Nella religione musulmana ritroviamo invece queste parole di Maometto, dopo la sua salita al cielo:

"Vidi un angelo, la più grande di tutte le creature. Aveva 70 mila teste e ogni testa aveva 70 mila volti, ogni volto aveva 70 mila bocche, ogni bocca 70 mila lingue e ogni lingua parlava 70 mila linguaggi e tutte cantavano le lodi del Signore".

In questo modo i linguaggi diversi risulterebbero 1,6807 milioni di miliardi di miliardi.


Oggi, per la maggior pare delle persone, il numero più grande è il miliardo. Sicuramente è il più popolare, se non altro perché rappresenta l'unità di misura delle grandi vincite alle lotterie. Ma è già motivo di una certa confusione. Infatti per gli americani il miliardo è il bilione, che è invece per gli europei il milione di milioni. Ugualmente il trilione è per gli americani mille bilioni e per gli europei un milione di bilioni e così via su una scala che da una parte procede di mille in mille e dall'altra di milione in milione.
Si osservi che il milione deriva da mille con un suffisso accrescitivo.

Francobollo italiano dedicato a Luca Pacioli


Scriveva Luca Pacioli: mille migliara che fa secondo el volgo el millione


I due sistemi sono comunque entrambi di origine europea e precisamente francese. E' stato infatti Nicolas Chuquet (1445 - 1488) a coniare i termini bilione e trilione per un milione di milioni e un milione di bilioni, secondo il sistema europeo e sempre dai matematici francesi, nel Seicento, arrivano gli stessi termini usati per indicare mille milioni e mille bilioni. Il mercato economico sta portando verso una soluzione comune, che per forza di cose è quella americana. I primi a cedere ufficialmente sono stati gli inglesi, nel 1974, quando il primo ministro Harold Wilson annunciò che il bilione, da quel momento in poi, non avrebbe più indicato un milione di milioni, ma mille milioni. Se questi numeri venissero espressi usando i prefissi suggeriti dal Sistema Internazionale di misura, SI, non ci sarebbe invece possibilità di confusione: 10^9 bytes è infatti un gigabyte e 10^12 bytes un terabyte. Nella tabella sono riportati i prefissi riconosciuti in tutti i paesi.

Nel 1991, in occasione della Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure sono stati adottati nuovi prefissi: zetta e yotta rispettivamente per 10^21 e 10^24, zepto e yocto per 10^-21 e 10^-24. In questo modo, ad esempio, la massa di un elettrone è 9,109534 10^-28 grammi, e la massa del Sole è 1,989 10^33. grammi.
Oggi abbiamo forse un'idea più precisa delle dimensioni del nostro Universo, almeno di quello visibile. Sappiamo almeno che il raggio dell'Universo conosciuto è circa di 10^23 chilometri.


Per Paperone il numero più grande è il Fantastiliardo: five multiplujillion,
nine impossibidillion, seven fantasticatrillion dollars and sixteen cents


Uno dei numeri più grandi inventati dai matematici, è il googol, 10^100, cioè uno seguito da cento zeri. E’ un numero proposto nel 1938 da Edward Kasner, un nome curioso, suggerito all’autore dal nipotino di nove anni, un nome che ricorda quello di uno dei più noti motori di ricerca, Google, volutamente collegato a questo numero, per ricordare lo sterminato numero di pagine della grande rete. Googol è un numero così grande da superare il numero di tutte le particelle elementari contenute nell'Universo valutate approssimativamente in 10^85. Più tardi venne coniato il nome googolplex per un multiplo del googol: 10^googol, uno seguito da un googol di zeri. Si è calcolato che per scrivere tutti gli zeri del googolplex, tenendo conto che un libro normale di trecento pagine può contenere circa 800 mila cifre, si riempirebbero 1,25 x 10^94 volumi.
Segnaliamo ancora due numeri usati effettivamente dai matematici nei loro calcoli. Il primo è il numero di Skewe che si trova nell'analisi della distribuzione dei numeri primi ed è 10^(10^(10^34)). Il secondo è il numero di Graham per il quale abbiamo bisogno di una notazione particolare. Se 3^3 indica 3 elevato a 3, con 3^^3 indichiamo 3^(3^3) che è uguale a 7.625.597.484.987, con 3^^^3 indichiamo 3^^(3^^3), cioè 3^(7.625.597.484.987^7.625.597.484.987). Se proseguiamo per altri 63 passi con questo procedimento, otteniamo il numero di Graham, che compare in topologia combinatoria. Ma in questo modo abbiamo semplicemente costruito una successione di multipli che potrebbe continuare all'infinito, ma con numeri che non hanno un nome. Il numero più grande pensato dall'uomo, non il più grande in assoluto, ma quello con un nome proprio che lo contraddistingua, è ancora un numero della religione buddista, si chiama Asankhyeya e corrisponde a 10^140.

Federico Peiretti


Per saperne di più

Opere di Archimede, a cura di Attlio Frajese, UTET, 1974 , pag. 441 - 470.
George Gheverghese, C'era una volta un numero, il Saggiatore, 2000, pag. 241 - 250.
Karl Menninger, A Cultural History of Numbers, MIT Press, 1977, pag. 135 - 145.
Georges Ifrah, Storia universale dei numeri, Mondadori, 1983, pag. 291 - 298 per i grandi numeri greci e pag. 408 - 410 per i grandi numeri cinesi.
Carl Boyer, Storia della matematica, ISEDI, 1976, pag. 146 - 149.
John Conway e Richard Guy, Il libro dei numeri, Hoepli, 1999, pag. 52 - 54.



http://www.fpx.de/fp/Fun/Googolplex/

http://www.cryptosoft.com/snews/feb97/15029700.htm

 

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