La grande avventura matematica dei quadrati e dei cubi magici

di Federico Peiretti

 

M. C. Escher, Cube with Ribbons, 1957

Quadrati e cubi magici sono straordinarie configurazioni numeriche, di grande tradizione. Ai confini tra il gioco e la matematica, sono un’affascinante sfida alla nostra intelligenza.

Il primo quadrato magico, il più antico risale addirittura all’Antica Cina, ai tempi della dinastia Shang, nel duemila a. C. quando, secondo la leggenda, un pescatore trovò lungo le rive del fiume Lo, un affluente del fiume Giallo, una tartaruga che portava incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il pescatore portò la tartaruga all’imperatore e i matematici al suo servizio studiando quei segni, scoprirono una imprevedibile struttura: un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale. Lo Shu, così venne battezzato questo quadrato numerico, diventò uno dei simboli sacri della Cina, rappresentazione dei più arcani misteri della Matematica e dell’Universo.

I segni sul guscio della tartaruga e la loro traduzione in numeri.

 

I numeri del Lo Shu Punti cardinali Colori Elementi
1 Nord Bianco Acqua
2 Sudovest Nero Terra
3 Est Blu Legno
4 Sudest Verde Legno
5 Centro Giallo Terra
6 Nordovest Bianco Metallo
7 Ovest Rosso Metallo
8 Nordest Bianco Terra
9 Sud Porpora Fuoco
       
Riportiamo in questa tabella alcuni dei collegamenti, stabiliti nell’Antica Cina, con i numeri del quadrato magico Lo Shu.

 

Forse la sua origine non è poi così antica e la sua comparsa si può far risalire in realtà al IV secolo a. C. La prima traccia scritta si trova nel Ta Tai li chi, una fedele trascrizione di antichi riti, compilata da Tai il Vecchio nel primo secolo d. C. Le proprietà più interessanti del Lo Shu sono collegate alla teoria dello Yin-Yang, secondo la quale ogni cosa deriva dall’armoniosa opposizione di due originali forze cosmiche. Yin e Yang, rappresentate da migliaia di anni nella forma circolare dell’antica saggezza. Yang, per i cinesi, è la forza maschile, sorgente di calore, di luce e di vita, sotto l’influenza del Sole: Yin è invece la forza femminile, che si sviluppa al buio, al freddo e nell’immobilità, sotto l’influenza della Luna. Nel Lo Shu i numeri dispari rappresentano l’elemento maschile yang, mentre i numeri pari rappresentano l’elemento femminile yin. Il numero 5 rappresenta la Terra e gli altri numeri rappresentano i punti cardinali e le stagioni. Ad esempio, 1 è il Nord e l’inverno, il 9 è il Sud e l’estate, il 3 Est e primavera, il 7 Ovest e autunno. Attorno al 5 si alternano coppie di numeri che rappresentano i quattro elementi: l’acqua, 1 e 6, il fuoco, 2 e 7, il legno 3 e 8 e il metallo, 4 e 9.
Vediamo alcune proprietà aritmetiche di questo quadrato. Il numero centrale, il 5, è la media aritmetica di tutte le coppie di numeri opposti:

Se si moltiplica il numero centrale 5 per l’ordine del quadrato, cioè 3, si ottiene il valore della somma costante, cioè 15. E sempre il numero centrale moltiplicato per l’ordine, elevato al quadrato, è uguale alla somma totale dei numeri che compongono il quadrato magico:

5 x 3 = 15 e
5 x 32 = 45

Queste formule valgono per qualsiasi quadrato magico di ordine dispari. E quindi anche per quadrati 5 x 5, 7 x 7 e così via.
L’indagine venne poi estesa ai quadrati di ordine superiore. I quadrati magici giunsero in Europa relativamente tardi. Manuel Moschopulos (circa 1265 – 1316) fu tra i primi a farli conoscere in Europa e tra i primi ad approfondire l’argomento fu il matematico Cornelio Agrippa (1486 – 1535), il quale scrisse che i quadrati magici sono "tavole sacre dei pianeti e dotate di grandi virtù, poiché rappresentano la ragione divina, o forma dei numeri celesti”. Molti quadrati magici si supponevano dotati di virtù magiche particolari, e incisi su piastrine d’argento o d’oro, venivano consigliati come cura per ogni malanno, dalla peste al mal d’amore (Se si scrive talisman magic square su un qualsiasi motore di ricerca, vengono fuori centinaia di indirizzi di negozi che ancora oggi vendono, in rete, i quadrati magici come amuleti… forza della superstizione). Uno dei più famosi è sicuramente il quadrato magico che compare nell’incisione di Dürer, Melancolia I.

Uno dei più celebri quadrati magici si trova alle spalle dell’angelo nell’incisione Melancolia I di Albrecht Dürer, 1514. Si osservi che la data del quadro, 1514, compare nella riga in basso del quadrato di ordine 4.

Frenicle de Bessy, matematico del Seicento, amico di Descartes e di Fermat, riuscì a calcolare il numero dei quadrati magici perfetti del quarto ordine: 880, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali. Si dovette invece attendere l’avvento del computer per allargare l’indagine a quadrati magici di ordine superiore e scoprire così, nel 1973, che i quadrati magici di ordine 5 sono 275 305 224. Ancora oggi non è noto il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6, ma siamo vicini alla soluzione. Secondo le più recenti indagini, dovrebbero essere circa 17 miliardi di miliardi. Resta comunque da risolvere il problema più generale: trovare la regola che consenta di determinare il numero di quadrati magici di un dato ordine.
La somma costante su righe, colonne e diagonali è data dalla formula

1/2 n (n2 + 1)

Era logico che il matematico a un certo punto tentasse il passaggio alla terza dimensione, occupandosi di cubi magici perfetti, definiti come i cubi nei quali ogni quadrato è magico (ogni diagonale risulta magica e non soltanto le quattro diagonali principali). Il gioco si complica in modo incredibile, e il progresso in questo campo, prima dell’arrivo del computer è stato molto lento. Il primo cubo magico perfetto, di ordine 7, con i primi numeri 343 numeri disposti in modo che su ogni possibile riga, colonna o diagonale la somma è sempre 1204, venne scoperto soltanto nel 1866 da un missionario inglese, docente di matematica, il reverendo Andrew H. Frost.

Un quadro di Gustavus Frankenstein (1827 – 1893), il pittore appassionato di cubi magici. Il quadro è senza titolo e senza data.

Alcuni anni più tardi Gustavus Frankenstein, pittore e matematico, scoprì il primo cubo magico di ordine 8, con somma costante 2052, e scrisse in proposito: “Questa scoperta mi ha dato una soddisfazione superiore a quella che avrei provato se avessi scoperto una miniera d’oro nel mio giardino”.
Sempre verso la fine dell’Ottocento vennero scoperti altri cubi magici perfetti di ordine 7, 8, 9, 11 e 12, mentre non si conosce alcun cubo perfetto di ordine 10, e non si sa nemmeno se esista. E’ stato invece dimostrato che non esistono cubi magi perfetti di ordine 2, 3 e 4.

Il quadrato magico 8 x 8 scoperto da Benjamin Franklin e pubblicato in un libro del 1767. La somma costante è 260, inoltre la somma su ogni mezza riga o colonna è 130.

E’ proprio di questi giorni è la grande scoperta: i primi cubi magici di ordine 5 e 6. Merito di un matematico tedesco, Walter Trump, e di un informatico francese, Christian Boyer, che insieme hanno trovato il cubo magico perfetto 5 x 5 x 5, il più piccolo dei cubi magici, tormento per più di un secolo, dei matematici i quali erano arrivati persino a dubitare della sua esistenza. “Perfetto” vuol dire che si ritrova la somma costante su qualsiasi riga, colonna o diagonale, nelle tre dimensioni e su ogni faccia del cubo stesso.

In questo cubo magico perfetto i numeri, da 1 a 125, hanno sempre 315 come somma costante su una qualsiasi delle 109 linee, righe, colonne o diagonali.
In generale, la formula che consente di trovare la somma costante su righe, colone e diagonali, nelle tre dimensioni, è

1/2 n (n3 + 1)

Per raggiungere il loro obiettivo Boyer e Trump hanno utilizzato cinque computer che hanno lavorato contemporaneamente, a tempo pieno, per diverse settimane, sui dati inseriti dai due ricercatori, dati troppo complicati per poterli presentare su questa pagina e rimandiamo per questo alla pagina di Boyer..
Alcuni mesi fa, nel settembre del 2003, Trump aveva già trovato il primo cubo magico perfetto 6 x 6 x 6, con 651 come costante magica, e Boyer ha trovato quello più grande fino ad oggi noto, di ordine 8192, un cubo eccezionale, che resta sempre magico anche quando si elevano i suoi numeri al quadrato, al cubo o alla quarta potenza.
E se salissimo dalla terza alla quarta dimensione, quali ipercubi magici troveremmo? Il più piccolo ipercubo magico perfetto è stato costruito da J. Hendricks, nel 1999. E’ di ordine 16 e la somma costante è 524296. Potremmo anche costruire altre figure magiche, ad esempio triangoli, cerchi o altri poligoni e poliedri magici. Si capisce che questa ricerca è solo all’inizio, e il lettore curioso potrà divertirsi fra numeri e configurazioni magiche partendo dai due indirizzi web che abbiamo indicato.

 

I cubi magici

da http://perso.club-internet.fr/cboyer/multimagie/

 

Christian Boyer ci ha inviato questo bel problema che proponiamo a chi ci sta leggendo:

Definiamo la seguente successione

u(1)=0
u(2)=2
u(3)=3
u(n+3)=u(n)+u(n+1)

Osserviamo che n è un numero primo se e soltanto se u(n) = n oppure se è un multiplo di n.
E’ sempre vero?

Quella che segue è la soluzione che abbiamo ricevuto dal professor Giorgio Mainini, di Lugano.


Il primo tentativo è quello di prolungare la successione "per un bel po'" con un foglio di calcolo: fino a n = 256 la risposta è sempre "Sì".
Ma l'"odore" non è buono: si sa che non si sono ancora trovati algoritmi che generano tutti e solo numeri primi. La successione di Boyer invece li genererebbe. Mh!!!

Il secondo tentativo è quello di calcolare le differenze fra termini successivi, poi le differenze fra le differenze (differenze seconde), poi le differenze terze, ecc. Pochi tentativi mostrano che le differenze successive ripetono la sequenza (3 , 0 , 2 , 3 , 2 , 5 , 5 , 7 , 10 , 12 , 17 , 22 , 29 , …) "scalate" di 5 posti. Ahi, ahi!

Il terzo tentativo consiste nel cercare una formula esplicita per l'n-esimo termine e poi vedere se può darsi se, per qualche n, ci sia contraddizione con la primalità di n. Allora si prova con qualche successione simil-boyer, ponendo, ad esempio, u(1) = 1, u(2) = 1, u(3) = 1, o altri valori. Si scopre che, per ogni terna (u(1) , u(2) , u(3)), il rapporto u(k+1)/u(k) tende a 1.324718… quando k tende a infinito. Che numero è 1.324718…? Pensa e ripensa, ti viene di immaginare che l'insieme delle successioni simil-boyer possa essere uno spazio vettoriale a tre dimensioni rispetto all'addizione e alla moltiplicazione con i numeri reali. È vero, è proprio così (come si dice: "la dimostrazione, non difficile, è lasciata per esercizio"). Ricorrendo ad un metodo abbastanza classico, vai a cercarti una base, e la cerchi in quelle successioni simil-boyer che hanno i termini in successione geometrica. Deve quindi essere
tr+3 = tr + tr+1 cioè, dividendo tutto per tr,
t3 = 1 + t.
Le tre soluzioni, orribili da vedere, siano
t1=a (reale, detta "costante plastica", chissà perché, e uguale a circa 1.324718…),
t2=b , t3 = c (complesse).
Ancora un (piccolo) sforzo e ottieni che
u(n) = an + bn + cn.
Il che è bellissimo, ma non risolve il problema della primalità di n. Però ti ritrovi tra le mani un bel po' di successioni simil-boyer, ed una di queste è abbastanza nota: la successione di Padovan.

Il quarto tentativo consiste nell'interpellare internet, visto che un povero portatile non ce la farà mai a provare con n molto grandi (questo è un "metaragionamento": se capitasse per n abbastanza piccolo, Boyer non avrebbe sottoposto il problema a Polymath…). Di clic in clic arrivi all'immancabile www.mathworld.wolfram.com , e lì, insieme con Padovan, salta fuori un certo Perrin, la cui successione è così definita:
P(n) = P(n-3) + P(n-2), con P(0) = 3 , P(1) = 0 , P(2) = 2.
Ecco qui sotto i primi termini delle successioni di Boyer e di Perrin:

n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
 
                           
Boyer
0
2
3
2
5
5
7
10
12
17
22
29
39
51
 
                           
Perrin
3
0
2
3
2
5
5
7
10
12
17
22
29
39
51
 
                           
primo?
p
p
p
p
p
p

Quindi la domanda di Boyer equivale a quella che si pose Perrin:

"Osservo che n è un numero primo se e soltanto se P(n) = n oppure se è un multiplo di n.
Sarà sempre vero?"

Ecco che cosa si legge in Mathworld:

"Perrin (1899) lavorò sulla successione ed osservò che se n è primo, allora n divide P(n). […] Perrin cercò anche, ma senza successo, numeri composti che dividessero il proprio P(…): tali numeri composti sono ora chiamati "pseudoprimi di Perrin". Malo (1900), Escot (1901) e Jarden (1966) studiarono la successione alla ricerca di tali pseudoprimi, ma senza trovarne. In seguito, Adams e Shanks (1982) trovarono che 271'441 [= 5212, nota mia] è uno degli pseudoprimi cercati."

http://mathworld.wolfram.com/PerrinSequence.html

 

 

Collegamenti

Il sito dei quadrati e dei cubi magici di Christian Boyer:
http://perso.club-internet.fr/cboyer/multimagie/

La pagina di Walter Trump:
http://www.trump.de/magic-squares/

Una sorprendente animazione del nuovo cubo magico:
http://mathworld.wolfram.com/news/2003-11-18/magiccube/

I principali collegamenti alle pagine web che si occupano di cubi magici:
http://kosice.upjs.sk/~trenkler/Cube-Ref.html

Le lezioni di Suzanne Alejandre. Una proposta dettagliatissima, con lezioni e attività per gli studenti:
http://mathforum.org/alejandre/magic.square.html

Quadrati, cubi e poligoni magici. Un ampio studio di Mutzumi Suzuki, con un lungo elenco di collegamenti sull’argomento:
http://mathforum.org/te/exchange/hosted/suzuki/MagicSquare.html

Quadrati, cubi e ipercubi magici, stelle e altre configurazioni magiche. L’autore, Harvey Heinz, cita Proclo (410 - 485 d.C.):
Dove c’è il numero, c’è bellezza.
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/4057/

Fabrizio Pivari è un collezionista di monete e di quadrati magici e presenta le sue collezioni. In parte è anche in italiano:
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/3469/

Dalla Cina i quadrati magici di Gao Zhiyuan:
http://www.zhghf.com/China/

Un sito di riferimento al libro Les Carrés Magiques book of René Descombes
http://www.kandaki.com/CM-Index.htm

Due articoli di Del Hawley sul sito NRICH. Da leggere:
http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1337
http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1338

L’analisi del quadrato magico di:
http://www.pasles.org/Franklin.html

Benjamin Franklin scoprì anche un cerchio magico:
http://www.pasles.org/circle.html

 

 

Victor Vasarely (1908-1997), Suoni II, 1966.

Numeri primi

Abbiamo ricevuto Christian Boyer questo bel problema che proponiamo a chi ci sta leggendo:

Definiamo la seguente successione

u(1)=0
u(2)=2
u(3)=3
u(n+3)=u(n)+u(n+1)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
u(n) 0 2 3 2 5 5 7 10 12 17 22 29 39 51
n premier?   p p   p   p       p   p  

Osserviamo che n è un numero primo se e soltanto se u(n) = n oppure se è un multiplo di n.
E’ sempre vero?

 

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