Paul Erdös, il matematico errante

di Federico Peiretti

"Era una persona di media statura, estremamente nervosa, e non riusciva mai a stare fermo.

Paul Erdös, 1913 – 1996

Il suo sguardo lasciava trasparire il fatto che era costantemente assorto in riflessioni di tipo matematico, un processo che interrompeva soltanto per pronunciare pessimistiche asserzioni sulla situazione mondiale, politica e in generale sulla condizione umana, che egli vedeva piuttosto nera. Se gli passava per la mente qualcosa di divertente, improvvisamente saltava per aria, agitava le braccia e tornava nuovamente a sedersi": così Stan Ulam, il matematico che collaborò alla realizzazione della bomba atomica americana, ricorda il suo primo incontro con Paul Erdös, uno dei più geniali ed eccentrici matematici di questo secolo.
Paul Erdös, 1913 – 1996 Erdös, morto nel 1996 a Varsavia, era nato a Budapest nel 1913, da genitori ebrei, entrambi insegnanti di matematica. Aveva dimostrato la sua vocazione matematica già a tre anni, riuscendo a calcolare, come amava egli stesso ricordare, 100 meno 250, e scoprendo in tal modo, senza alcun aiuto, i numeri negativi. Pochi anni più tardi si divertiva a risolvere problemi curiosi che egli stesso inventava calcolando, ad esempio, quanto tempo avrebbe impiegato un treno per raggiungere il sole. “Era così timido – racconta Paul Hoffman nella sua biografia, pubblicata in italiano da Mondadori, L’uomo che amava solo i numeri - che dava apposta risposte sbagliate agli esami per evitare il tormento di riuscire primo e dover quindi ricevere un premio di fronte a tutta la classe”.

Paul Erdös durante una sua lezione


A vent’anni si fece notare nell’ambiente matematico con una semplice ed elegante dimostrazione che provava come tra ogni numero intero n, maggiore di 1, e il suo doppio 2n si trovasse almeno un numero primo. Ad esempio tra 3 e 6 si trova 5, tra 8 e 16 si trovano 11 e 13 e così via. Si tratta di un risultato che era già stato ottenuto nell'Ottocento, ma in modo molto più complicato, da uno dei grandi matematici russi, Pafnuti Cebycev. Poco più tardi Erdös
Paul Erdös durante una sua lezione dimostrò un nuovo teorema
secondo il quale esistono almeno due numeri primi della forma 4k + 1 e 4k + 3, sempre tra un numero e il suo doppio. Ad esempio, fra 10 e 20 si trova la coppia di numeri primi 17 e 19, corrispondenti a 4x4 + 1 e 4x4 + 3, tra 100 e 200, la coppia 101 e 103, corrispondenti a 4x25 + 1 e 4x25 + 3.

Autentico ebreo errante, Erdös non ebbe mai una casa. Nel 1938 aveva lasciato l’Europa e si era rifugiato negli Stati Uniti che fu costretto però ad abbandonare al tempo delle persecuzioni maccartiste, iniziando così le sue peregrinazioni per il mondo “a distribuire le sue congetture – come dice Alexander Soifer – le sue intuizioni tra gli altri matematici”. La battuta preferita di Erdös era: “Another roof, another proof”- un altro tetto un’altra dimostrazione. Era così disponibile a parlare di matematica con tutti - scriveHoffman - che i suoi amici lo prendevano in giro dicendo che non poteva fare un viaggio in treno senza dimostrare un teorema al controllore". La matematica è stata per Erdös tutta la sua vita, non ha avuto alcun altro interesse.
"La proprietà – affermava Erdös - è soltanto una seccatura”, e per questo cercava di evitare ogni problema relativo alla gestione di una casa o della propria vita quotidiana. Non sapeva guidare un'auto, compilare un assegno o cuocere un uovo, e neppure riusciva a fare la spesa, pagare le tasse o semplicemente far funzionare una lavatrice.

Sopravvisse soltanto grazie alle cure degli amici matematici, ben lieti di poterlo ospitare, sicuri di avere, in cambio dell'ospitalità, preziosi contributi alle loro ricerche e nuovi problemi da indagare. "Le due cose che più lo terrorizzavano erano la vecchiaia e la demenza senile – ricorda un suo amico, Janos Pach. Erdös diceva scherzando: “Non mi preoccupa molto se mi dimentico di tirare su la cerniera dei pantaloni, ma sarò veramente preoccupato quando mi dimenticherò di tirarla giù".
Erdös è considerato uno dei grandi matematici di questo secolo, ha posto e risolto migliaia di problemi nella teoria dei numeri, il suo argomento preferito, è stato tra i fondatori della matematica discreta che è alla base dell’informatica, e ha dato contributi essenziali in diversi altri settori della matematica moderna. E' stato anche uno dei matematici più prolifici, attivo fino agli ultimi giorni della sua vita, ha pubblicato più di 1500 lavori: "solo un matematico nella storia è riuscito a pubblicare più pagine di Erdös - osserva Hoffman - nel XVIII secolo il genio svizzero Eulero scrisse ottanta volumi di risultati matematici. Erdös però ha stabilito un nuovo record nel tirare fuori bei problemi, per vedere se qualcuno li avrebbe risolti".
I matematici si vantano del loro rapporto con Erdös citando quello che è stato definito il "numero di Erdös" personale. E' un numero 1 chi ha pubblicato un lavoro direttamente con Erdös ed è invece un numero 2 chi ha pubblicato un lavoro con un numero 1, cioè con qualcuno che ha lavorato con Erdös, è un numero 3 chi ha lavorato soltanto con un numero 2 e così via. I “numeri 1” sono 462 e 4566 i “numeri 2”, segno del grande lavoro svolto da Erdös in collaborazione con tanti matematici.
Erdös, come molti matematici, riteneva che la matematica non fosse un'invenzione, ma una scoperta, e parlava di un Grande Libro nelle mani di Dio che conteneva le più belle dimostrazioni di tutti i problemi matematici, un libro a cui, confessava, avrebbe volentieri dato un'occhiata, del quale comunque qualche bella pagina è riuscito scoprire.
Per dare un'idea del suo lavoro riportiamo soltanto un problema molto semplice, riguardante sequenze di “+1” e“-1”. Supponiamo di avere lo stesso numero di “+1” e “-1” e di metterli in fila secondo un ordine qualsiasi.
Ad esempio, con due “+1” e due “-1” possiamo costruire le sei righe diverse della tabella, se l'ordine può essere qualsiasi. Naturalmente la somma di tutti termini di una riga è sempre uguale a zero. Studiamo però le somme parziali delle diverse righe. Nella prima riga del nostro esempio precedente, la somma è +1 dopo il primo termine, +2 dopo il secondo termine, + 1 dopo il terzo termine e 0 dopo il quarto termine. Il problema consiste nel determinare il numero di righe che non hanno mai somme negative.
Sempre nel nostro esempio, con due “+1” e due “-1”, cioè con n = 2, soltanto due delle sei righe diverse che possiamo costruire non hanno somme parziali negative: la prima e la seconda della tabella.
Con n = 3 possiamo costruire 20 righe diverse, di cui soltanto 5 hanno somme parziali non negative e si può verificare, con un po' di pazienza, che con n = 4 si hanno 70 righe diverse, di cui soltanto 14 soddisfano alla condizione richiesta. Se si prosegue in questo modo, si trova la seguente successione di numeri:

Questi sono i numeri della successione di Catalan, dal nome del matematico belga che per primo li studiò, nel secolo scorso. Se abbiamo n “+1”, e quindi anche n “-1”, ricaviamo ogni numero della successione moltiplicando 1/n+1 per il totale delle righe costruite con gli n “+1” e gli n “-1”. Ad esempio, con n = 3, come abbiamo visto, otteniamo 20 righe diverse e dobbiamo moltiplicare 20 per ¼, ottenendo proprio 5, con n = 4 abbiamo 70 per 1/5, cioè 14, e così via.
Questi calcoli non sono soltanto un gioco divertente, ma possono avere diverse applicazioni. Possiamo pensare, ad esempio, alla coda che si può formare al botteghino di un teatro, in una situazione necessariamente ancora molto schematica: nel caso in cui il biglietto di ingresso costi 25 mila lire e alla cassa si presenti un gruppo di persone, metà delle quali con la cifra esatta in contanti e l’altra metà con un biglietto da 50 mila lire, si chiede in quanti modi diversi si possano mettere in fila queste persone per consentire al cassiere di iniziare senza soldi in cassa e di avere poi sempre a disposizione il resto necessario. L’analogia con le righe di “+1”e “-1” è evidente.
Federico Peiretti

Per saperne di più


Paul Hoffman, L’uomo che amava solo i numeri, Mondadori, 1999

Pagina web di Paul Hoffman, dedicata a Erdös.

Un articolo del Corriere della Sera

Il sito di Paul Hoffman, dedicato a Erdös.
http://www.paulerdos.com/0.html

La biografia di Erdös.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Erdös.html

La dimostrazione dell’esistenza di almeno un numero primo fra n e 2n:
http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/bolton.8.1.96.html

Due articoli di Ivars Peterson:
http://www.maa.org/mathland/mathland_6_10.html
http://www.maa.org/mathland/mathland_10_7.html

Il sito di Jerrold Grossman che sta raccogliendo e aggiornando l’elenco completo dei “numeri di Erdös”.
http://www.oakland.edu/~grossman/erdoshp.html

Gli articoli del New York Times, del Washington Post e di altri giornali, in occasione della morte di Erdos:
http://www.fmf.uni-lj.si/~mohar/Erdos.html

Erdos, nel ricordo di un amico:
http://www.maa.org/features/erdos.html

Un articolo di American Scientist sui numeri di Catalan
http://www.sigmaxi.org/amsci/

Tutti collegamenti necessari per studiare la matematica discreta
http://forum.swarthmore.edu/advanced/adv.discrete.html

 

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