|
Paul Erdös, il matematico errante
di Federico Peiretti
"Era una persona di media statura,
estremamente nervosa, e non riusciva mai a stare fermo.
 |
|
Il suo sguardo lasciava trasparire il fatto
che era costantemente assorto in riflessioni di tipo matematico, un
processo che interrompeva soltanto per pronunciare pessimistiche asserzioni
sulla situazione mondiale, politica e in generale sulla condizione umana,
che egli vedeva piuttosto nera. Se gli passava per la mente qualcosa
di divertente, improvvisamente saltava per aria, agitava le braccia
e tornava nuovamente a sedersi": così Stan Ulam, il matematico
che collaborò alla realizzazione della bomba atomica americana,
ricorda il suo primo incontro con Paul Erdös, uno dei più
geniali ed eccentrici matematici di questo secolo.
Paul Erdös, 1913 – 1996 Erdös,
morto nel 1996 a Varsavia, era nato a Budapest nel 1913, da genitori
ebrei, entrambi insegnanti di matematica. Aveva dimostrato la sua vocazione
matematica già a tre anni, riuscendo a calcolare, come amava
egli stesso ricordare, 100 meno 250, e scoprendo in tal modo, senza
alcun aiuto, i numeri negativi. Pochi anni più tardi si divertiva
a risolvere problemi curiosi che egli stesso inventava calcolando, ad
esempio, quanto tempo avrebbe impiegato un treno per raggiungere il
sole. “Era così timido – racconta Paul Hoffman nella
sua biografia, pubblicata in italiano da Mondadori, L’uomo
che amava solo i numeri - che dava apposta risposte sbagliate agli
esami per evitare il tormento di riuscire primo e dover quindi ricevere
un premio di fronte a tutta la classe”.
 |
Paul Erdös durante una
sua lezione
|
A vent’anni si fece notare nell’ambiente matematico con
una semplice ed elegante dimostrazione che provava come tra ogni numero
intero n, maggiore di 1, e il suo doppio 2n si trovasse
almeno un numero primo. Ad esempio tra 3 e 6 si trova 5, tra 8 e 16
si trovano 11 e 13 e così via. Si tratta di un risultato che
era già stato ottenuto nell'Ottocento, ma in modo molto più
complicato, da uno dei grandi matematici russi, Pafnuti Cebycev. Poco
più tardi Erdös
Paul Erdös durante una sua lezione dimostrò un nuovo teorema
secondo il quale esistono almeno due numeri primi della forma 4k + 1
e 4k + 3, sempre tra un numero e il suo doppio. Ad esempio, fra 10 e
20 si trova la coppia di numeri primi 17 e 19, corrispondenti a 4x4
+ 1 e 4x4 + 3, tra 100 e 200, la coppia 101 e 103, corrispondenti a
4x25 + 1 e 4x25 + 3.
Autentico ebreo errante, Erdös non
ebbe mai una casa. Nel 1938 aveva lasciato l’Europa e si era rifugiato
negli Stati Uniti che fu costretto però ad abbandonare al tempo
delle persecuzioni maccartiste, iniziando così le sue peregrinazioni
per il mondo “a distribuire le sue congetture – come dice
Alexander Soifer – le sue intuizioni tra gli altri matematici”.
La battuta preferita di Erdös era: “Another roof, another
proof”- un altro tetto un’altra dimostrazione. Era così
disponibile a parlare di matematica con tutti - scriveHoffman - che
i suoi amici lo prendevano in giro dicendo che non poteva fare un viaggio
in treno senza dimostrare un teorema al controllore". La matematica
è stata per Erdös tutta la sua vita, non ha avuto alcun
altro interesse.
"La proprietà – affermava Erdös - è soltanto
una seccatura”, e per questo cercava di evitare ogni problema
relativo alla gestione di una casa o della propria vita quotidiana.
Non sapeva guidare un'auto, compilare un assegno o cuocere un uovo,
e neppure riusciva a fare la spesa, pagare le tasse o semplicemente
far funzionare una lavatrice.
 Sopravvisse
soltanto grazie alle cure degli amici matematici, ben lieti di poterlo
ospitare, sicuri di avere, in cambio dell'ospitalità, preziosi
contributi alle loro ricerche e nuovi problemi da indagare. "Le
due cose che più lo terrorizzavano erano la vecchiaia e la demenza
senile – ricorda un suo amico, Janos Pach. Erdös diceva scherzando:
“Non mi preoccupa molto se mi dimentico di tirare su la cerniera
dei pantaloni, ma sarò veramente preoccupato quando mi dimenticherò
di tirarla giù".
Erdös è considerato uno dei grandi matematici di questo
secolo, ha posto e risolto migliaia di problemi nella teoria dei numeri,
il suo argomento preferito, è stato tra i fondatori della matematica
discreta che è alla base dell’informatica, e ha dato contributi
essenziali in diversi altri settori della matematica moderna. E' stato
anche uno dei matematici più prolifici, attivo fino agli ultimi
giorni della sua vita, ha pubblicato più di 1500 lavori: "solo
un matematico nella storia è riuscito a pubblicare più
pagine di Erdös - osserva Hoffman - nel XVIII secolo il genio svizzero
Eulero scrisse ottanta volumi di risultati matematici. Erdös però
ha stabilito un nuovo record nel tirare fuori bei problemi, per vedere
se qualcuno li avrebbe risolti".
I matematici si vantano del loro rapporto con Erdös citando quello
che è stato definito il "numero di Erdös" personale.
E' un numero 1 chi ha pubblicato un lavoro direttamente con Erdös
ed è invece un numero 2 chi ha pubblicato un lavoro con un numero
1, cioè con qualcuno che ha lavorato con Erdös, è
un numero 3 chi ha lavorato soltanto con un numero 2 e così via.
I “numeri 1” sono 462 e 4566 i “numeri 2”, segno
del grande lavoro svolto da Erdös in collaborazione con tanti matematici.
Erdös, come molti matematici, riteneva che la matematica non fosse
un'invenzione, ma una scoperta, e parlava di un Grande Libro nelle mani
di Dio che conteneva le più belle dimostrazioni di tutti i problemi
matematici, un libro a cui, confessava, avrebbe volentieri dato un'occhiata,
del quale comunque qualche bella pagina è riuscito scoprire.
Per dare un'idea del suo lavoro riportiamo soltanto un problema molto
semplice, riguardante sequenze di “+1” e“-1”.
Supponiamo di avere lo stesso numero di “+1” e “-1”
e di metterli in fila secondo un ordine qualsiasi.
Ad esempio, con due “+1” e due “-1” possiamo
costruire le sei righe diverse della tabella, se l'ordine può
essere qualsiasi. Naturalmente la somma di tutti termini di una riga
è sempre uguale a zero. Studiamo però le somme parziali
delle diverse righe. Nella prima riga del nostro esempio precedente,
la somma è +1 dopo il primo termine, +2 dopo il secondo termine,
+ 1 dopo il terzo termine e 0 dopo il quarto termine. Il problema consiste
nel determinare il numero di righe che non hanno mai somme negative.
Sempre nel nostro esempio, con due “+1” e due “-1”,
cioè con n = 2, soltanto due delle sei righe diverse
che possiamo costruire non hanno somme parziali negative: la prima e
la seconda della tabella.
Con n = 3 possiamo costruire 20 righe diverse, di cui soltanto
5 hanno somme parziali non negative e si può verificare, con
un po' di pazienza, che con n = 4 si hanno 70 righe diverse,
di cui soltanto 14 soddisfano alla condizione richiesta. Se si prosegue
in questo modo, si trova la seguente successione di numeri:
Questi sono i numeri della successione di
Catalan, dal nome del matematico belga che per primo li studiò,
nel secolo scorso. Se abbiamo n “+1”, e quindi anche n “-1”,
ricaviamo ogni numero della successione moltiplicando 1/n+1 per il totale
delle righe costruite con gli n “+1” e gli n “-1”.
Ad esempio, con n = 3, come abbiamo visto, otteniamo 20 righe
diverse e dobbiamo moltiplicare 20 per ¼, ottenendo proprio 5,
con n = 4 abbiamo 70 per 1/5, cioè 14, e così
via.
Questi calcoli non sono soltanto un gioco divertente, ma possono avere
diverse applicazioni. Possiamo pensare, ad esempio, alla coda che si
può formare al botteghino di un teatro, in una situazione necessariamente
ancora molto schematica: nel caso in cui il biglietto di ingresso costi
25 mila lire e alla cassa si presenti un gruppo di persone, metà
delle quali con la cifra esatta in contanti e l’altra metà
con un biglietto da 50 mila lire, si chiede in quanti modi diversi si
possano mettere in fila queste persone per consentire al cassiere di
iniziare senza soldi in cassa e di avere poi sempre a disposizione il
resto necessario. L’analogia con le righe di “+1”e
“-1” è evidente.
Federico Peiretti
Per saperne di più
Paul Hoffman, L’uomo che amava solo i numeri, Mondadori,
1999
Pagina web di Paul
Hoffman, dedicata a Erdös.
Un articolo del Corriere
della Sera
Il sito di Paul Hoffman, dedicato a Erdös.
http://www.paulerdos.com/0.html
La biografia di Erdös.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Erdös.html
La dimostrazione dell’esistenza di
almeno un numero primo fra n e 2n:
http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/bolton.8.1.96.html
Due articoli di Ivars Peterson:
http://www.maa.org/mathland/mathland_6_10.html
http://www.maa.org/mathland/mathland_10_7.html
Il sito di Jerrold Grossman che sta raccogliendo
e aggiornando l’elenco completo dei “numeri di Erdös”.
http://www.oakland.edu/~grossman/erdoshp.html
Gli articoli del New York Times, del Washington
Post e di altri giornali, in occasione della morte di Erdos:
http://www.fmf.uni-lj.si/~mohar/Erdos.html
Erdos, nel ricordo di un amico:
http://www.maa.org/features/erdos.html
Un articolo di American Scientist
sui numeri di Catalan
http://www.sigmaxi.org/amsci/
Tutti collegamenti necessari per studiare
la matematica discreta
http://forum.swarthmore.edu/advanced/adv.discrete.html
ARTICOLI Dello stesso autore:
Kovalevskaya:
la matematica come immaginazione
Sophie Germain
A beautiful mind, a bad film
Paul Erdos, il matematico errante
André Weil, la matematica come arte
John Horton Conway e il gioco della matematica
Parla codice Navajo e la seconda Guerra Mondiale
Dimostrata la Congettura di Poincaré?
Archimede e i grandi numeri
La matematica fra le nuvole
La grande avventura matematica
dei quadrati e dei cubi magici
Coxeter, la geometria nata dal caleidoscopio
Hedy Lamarr, a beatiful Mind
Bernoulli
e il patto con il diavolo
Numeri che contano
Intervista a Andrew Wiles
Amore e matematica
Manoscritto di Voynich
|
