Eulero, il ciclope matematico

 

di Federico Peiretti

 

Leonhard Euler, 1707, 1783

Leonhard  Euler è nato a Basilea il 15 aprile 1707. Ricorre quindi quest’anno il trecentesimo anniversario della sua nascita e si preparano molte manifestazioni per ricordare il più grande  matematico svizzero.  Due  mogli,  tanti  figli e un nugolo di nipoti:  una  serena vita  familiare, quella di Eulero. Visse  tra Pietroburgo,  alla  corte  di Caterina la Grande, e Berlino, al servizio di Federico il Grande. "Figura chiave della  matematica del  Settecento, il più grande fisico teorico del  secolo,  l'uomo che  dovrebbe  essere accostato ad Archimede, Newton e  Gauss"  - scrive di lui lo storico della matematica Morris Kline.

"Eulero calcolava senza sforzo apparente, così come gli uomini respirano o le aquile si librano nel vento" - disse di lui Francois Arago, l’accademico di Francia che lo definì l'"Incarnazione dell'Analisi".

Per  il  divertimento  e l’istruzione di figli e  nipoti  proponeva  problemi  e realizzava  piccoli  esperimenti  di  fisica   che dimostravano anche la sua grande capacità divulgativa, confermata innanzitutto da un suo curioso libretto, molto popolare, tradotto in sette lingue, Lettere  a  una  principessa tedesca, scritto  per  insegnare  le nozioni  fondamentali  della  fisica  e  della  matematica   alla principessa Johanna Charlotte di Anhalt-Dessau, nipote di Federico il Grande.

Johann Bernoulli ( 1667 – 1748)

Eulero entrò all’Università di Basilea nel 1720, all’età di 14 anni, ed ebbe la fortuna di conoscere il celebre matematico Johann Bernoulli che lo aiutò nei suoi studi, come scrive Eulero stesso nei suoi scritti autobiografici: “Trovai l’occasione per essere presentato a Johann Bernoulli, il quale, per la verità era molto impegnato e rifiutò di darmi lezioni private, ma mi diede molti consigli sui libri di matematica che dovevo leggere e studiare. Quando incontravo qualche difficoltà ero autorizzato a fargli visita ogni domenica pomeriggio ed egli gentilmente mi spiegava tutto quello che non avevo capito”.

Eulero, a vent'anni,  si  trasferì  a Pietroburgo  e  non  ritornò  mai  più  in  Svizzera. Fu   prima matematico  al  servizio della Grande  Caterina,  imperatrice  di Russia  e  poi, come abbiamo detto,  per venticinque anni  alla  corte  berlinese  di Federico  il  Grande, dove gli succederà il  matematico  torinese Lagrange.   Ottenuta una sistemazione anche economicamente decorosa, decise di sposarsi  con Katharina Gsell, figlia di un pittore svizzero, in quel periodo direttore dell’Accademia di pittura di San Pietroburgo, dalla quale ebbe tredici figli, dei quali però soltanto cinque sopravvissero all’infanzia. Eulero confessò di aver fatto le sue più importanti scoperte matematiche mentre aveva un bambino tra le braccia, e altri marmocchi che ruzzolavano ai suoi piedi. Poco  salottiero  e tutt'altro  che brillante, non piaceva molto a Federico il  Grande,  che lo  soprannominò  il "mio  ciclope  matematico".  Eulero infatti  aveva  perso l'occhio destro a  trent'anni,  sembra  per l'impegno eccessivo nel suo lavoro. Nel  1766  venne nominato  direttore dell'Accademia a Pietroburgo, e qui, dopo breve tempo, una  cataratta all'occhio  ancora sano lo portò alla cecità completa, ma  questo non  fermò  il  suo lavoro che continuò con  l'aiuto  dei  figli. La sua memoria era eccezionale e gli consentiva  di avere ben presenti le pagine che andava dettando. Eulero ricordava a memoria tutte le più importanti formule matematiche, i quadrati, i cubi e le potenze quarte, quinte e seste dei primi cento numeri, oltre a centinaia di poesie e all'intera Eneide.

Il 7  settembre 1783,  Eulero  iniziò la sua giornata come al solito, con una lezione di matematica a uno dei suoi tanti nipoti e proseguì discutendo con alcuni amici le novità del giorno, gli esperimenti dei fratelli  Montgolfier  e  la scoperta di  Urano. Alle cinque del pomeriggio, colpito da emorragia cerebrale, ebbe appena il tempo di mormorare “sto morendo” prima di perdere coscienza. Poche ore dopo,  come  disse  il marchese di Condorcet nell'orazione funebre, "cessò di calcolare e di vivere".

Una banconota svizzera da dieci Franchi

Il grande merito di Eulero  è stato quello di aver saputo sistemare e collegare campi ai suoi tempi separati della matematica, utilizzando in modo geniale le risorse della geometria, dell’algebra e dell’analisi, per arrivare a risultati straordinari. Già ai suoi tempi godeva di un enorme prestigio, testimoniato da una celebre frase di Laplace: “Leggete Eulero. Leggete Eulero. Egli è il maestro di tutti noi”.

E’ stato probabilmente il matematico più prolifico: la sua opera omnia comprende 74 volumi  in-quarto, dedicati non solo alla matematica, ma anche alla meccanica,  all'astronomia e    ancora    all'ottica,   all'acustica,    alla    termologia, all’elettricità e al magnetismo. Per cinquant’anni, dopo la sua morte, l’Accademia di Pietroburgo continuò a pubblicare suoi lavori inediti. Alcune delle sue opere  rimangono fondamentali, come la Meccanica, la prima opera nella quale venga sistematicamente applicata l'analisi alla meccanica e l’Introductio in analysin infinitorum, l’opera con la quale, possiamo dire, inizia l’analisi matematica come studio, secondo Eulero, delle funzioni.

 

 

 


Fra i tanti meriti di Eulero, ricordiamo almeno l’introduzione di simboli usati oggi da tutti gli studenti quali π, i, per , e, base dei logaritmi naturali,  f(x) per la funzione di x, il simbolo Σ per indicare una sommatoria.

 


Sua è anche la formula che si trova su tutti i libri di geometria, valida per i poliedri semplici, cioè privi di buchi, nota come formula di Eulero per i poliedri:

V - E + F = 2

Francobollo della Repubblica Democratica Tedesca che riporta la popolare formula dei poliedri

dove V, E ed F indicano rispettivamente il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce del poliedro.

E’ nota come formula di Eulero anche la seguente formula che stabilisce una stretta relazione tra  funzioni trigonometriche e funzione esponenziale:

 

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l’unità immaginaria, sin e cos le funzioni trigonometriche.

Un suo caso particolare, con x = π,  è l’identità di Eulero, una delle più belle formule della matematica.

Francobollo svizzero con la formula di Eulero

Eulero sapeva giocare con i numeri ed è proprio nella teoria dei numeri che ottenne risultati straordinari, tanto numerosi che è impossibile per noi ricordarli tutti.

Uno dei risultati più brillanti nello studio delle serie infinite, è il calcolo dei reciproci dei quadrati dei numeri interi, un problema che molti matematici avevano tentato invano di risolvere:

 

Quando Jean Bernoulli venne a conoscenza del successo di Eulero, commentò: “E così viene soddisfatto l’ardente desiderio di mio fratello che, rendendosi conto che la ricerca di tale somma era più difficile di quanto si sarebbe potuto pensare, confessava apertamente che tutti i suoi ferventi sforzi erano stati vani”.

Lo affascinavano i numeri primi e la loro misteriosa ripartizione nell’insieme dei numeri naturali: "Un mistero - diceva - nel quale lo spirito umano  non saprà mai penetrare".

Egli ha trovato una  formula che permette di ricavarne parecchi:

a2 + a + 41,   con a ∈ N.

Se  sostituiamo a con un numero naturale, otterremo sovente,  non sempre, numeri primi, come risulta dalla tabella di figura.

a  

a2 + a + 41     

a

a2 + a + 41

0          

41   p

26

743   p

1

43   p

27

797   p

2

47   p

28

853   p

3

53   p

29

911   p

4

61   p

30

971   p

5

71   p

31

1033 p

6

83   p

32

1097 p

7

97   p

33

1163 p

8

113 p

34

1231 p

9

131 p

35

1301 p

10

151 p

36

1373 p

11

173 p

37

1447 p

12

197 p

38

1523 p

13

223 p

39

1601 p

14

251 p

40

1681 c

15

281 p

41

1763 c

16

313 p

42

1847 p

17

347 p

43

1933 p

18

383 p

44

2021 c

19

421 p

45

2111 p

20

461 p

46

2203 p

21

503 p

47

2297 p

22

547 p

48

2393 p

23

593 p

49

2491 c

24

641 p

50

2591 p

25

691 p

51

2693 p

p = numero primo

c = numero composto

La formula che abbiamo appena visto  è particolarmente efficace e  possiamo  immaginare che  Eulero, per un attimo, abbia potuto pensare di aver  trovato il sacro Graal dei numeri primi, la   formula  che consentiva di ricavare tutti  numeri  primi:  questa  potrebbe   essere   la conclusione   errata  di  chi  si  limitasse  ad   una   verifica superficiale, con i primi numeri della successione dei  naturali. Bisogna  infatti  arrivare al quarantesimo numero  per  avere  il primo numero composto: 1.681 = 412.

Questo  dimostra quanta attenzione sia necessaria in  matematica, prima  di fare qualsiasi deduzione. Non sono  sufficienti  alcuni esempi  per verificare una regola generale, ma  è essenziale  una dimostrazione che ne garantisca la validità in ogni caso.  Un’altra formula per  numeri primi, proposta da Eulero è la seguente:

a2 + a + 17,   con a N

Anche questa però non è la formula dei numeri primi che molti matematici continuano ancora a cercare.

Eulero trovò inoltre la dimostrazione di un importante teorema sui numeri primi, enunciato da Fermat il quale però non ne aveva  dato la dimostrazione ed era quindi semplicemente una congettura. I numeri primi (quelli che hanno come divisori soltanto uno  e  se stessi) possono essere  di  due  tipi:  quelli equivalenti  a 4n + 1 e quelli equivalenti a 4n - 1, dove n   un numero intero qualsiasi. Ad esempio, 29  è del primo tipo, infatti con  n = 7 abbiamo 4 x 7 + 1 = 29, mentre 23  è del secondo  tipo, infatti  con n = 6 abbiamo 4 x 6 - 1 = 23.  Il teorema di  Fermat affermava che tutti i numeri del primo tipo sono sempre la  somma di  due  quadrati (ad esempio, 29 = 22 + 52), mentre  quelli  del secondo tipo non possono essere espressi in questo modo (23 =  x2 + y2, non ha soluzioni). Eulero, dopo sette anni di lavoro riuscì a trovare la dimostrazione di questo teorema.

Un problema, indicativo del modo di lavorare del grande matematico, riguarda la città  di Könisberg,  celebre per aver  dato i natali a Kant.

La città di Könisberg

La città,  attraversata dal fiume Pregel, aveva sette  ponti  che  collegavano fra loro  i  vari  quartieri. Erano in molti a chiedersi se  fosse  possibile attraversare tutti e sette i ponti ritornando alla fine al  punto di partenza, dopo essere passati una volta sola su ogni ponte. Il problema, al tempo di Kant, aveva attirato l’attenzione dei più celebri matematici, i quali avevano tentato invano di  trovare una soluzione.  Anche Eulero non riuscì a risolvere il  problema, o meglio dimostrò che era impossibile, cioè che non esisteva una  soluzione. Per  prima  cosa, egli tracciò un grafico  della  situazione:  trasformò le quattro parti  della  città, collegate dai ponti,  in punti   e  i  sette  ponti in  linee   di collegamento fra questi punti. Eulero costruì in tal modo quello che oggi si chiama un grafo,  con  nodi, i punti, e gli archi, cioè le linee, e allargò poi la sua indagine ai problemi di percorso, in generale.

Immagini da wikipedia.it

Egli stabilì che un grafo  composto soltanto da nodi pari, collegato cioè a un numero pari di archi, è sempre percorribile e che si può ritornare al punto di partenza, senza sovrapposizioni di percorso. Se un grafo contiene  nodi  pari  e  soltanto  due  nodi  dispari  è   ancora percorribile,  ma non si può più ritornare al punto di  partenza. Se   contiene  invece  più  di  due  nodi  dispari,  non  è   percorribile, senza sovrapposizioni di percorso.  La passeggiata sui ponti  di  Könisberg  è di  quest'ultimo tipo,  porta a un grafo composto da  quattro  nodi dispari, e quindi non ha soluzione.

Quello che sembrava un piccolo rompicapo senza importanza,  nelle mani  di  Eulero diventò un grande problema matematico, punto di partenza della teoria dei grafi e di una nuova scienza: la topologia,  destinata a grandi sviluppi, un secolo più tardi.

Federico Peiretti

 

 

 

 

In rete e in libreria

 

W. W. Rouse Ball è l’autore di uno dei più celebri libri di giochi matematici, punto di riferimento per chiunque si interessi di questo argomento. E’ un libro dal quale anche noi abbiamo preso a volte dei problemi da inserire nella nostra raccolta. Rouse Ball è anche l’autore di una popolare storia della matematica, A Short Account of the History of Mathematics, della quale riportiamo, per curiosità, le pagine originali dedicate a Eulero.

 

William Dunham, Euler: The master of us all, The Mathematical Association of America, 1999.

 

Emil A. Fellmann, Leonhard Euler, Rowohlt Tb. 1995

 

Leonhard  Euler, Lettere a una principessa tedesca, Boringhieri,  1958.

 

L’elogio funebre di M. J. Condorcet:

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Euler_elogium.html

 

Euler, una conferenza di Robin Wilson:

http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=4&EventId=67

 

Il sito delle celebrazioni per il trecentesimo anniversario della nascita di Eulero:

http://www.euler-2007.ch/en/

 

E’ stata fondata, per l’occasione dell’anniversario, anche la Euler Society:

http://www.eulersociety.org/

 

Leonhard Euler Congress a San Pietroburgo, giugno – luglio 2007:

http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2007/Euler300/

 

La biografia di Eulero:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/euler.html

 

Il Ponte di Konigsberg e le origini della topologia:

http://forum.swarthmore.edu/~isaac/problems/bridges1.html

 

La formula di Eulero:

http://www.ams.org/featurecolumn/archive/eulers-formula.html

 

Il teorema di Eulero:

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/
TESTI/Mar_02/Cap6.html

 

Che cos’è la retta di Eulero?

http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/
Mag_06/RettaEulero.htm

L’Introductio in analysin infinitorum di Eulero è in rete. Lo propone la Gallica. Si clicca su RECHERCE, in AUTEUR si scrive Euler e compare l’elenco delle opere disponibili, praticamente la sua Opera Omnia:

http://gallica.bnf.fr/

La dimostrazione della formula di Eulero:

http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html

Wikipedia, la presentazione del problema dei Ponti di Könisberg con un bel gioco, come risolvere il problema costruendo altri ponti:

http://it.wikipedia.org/wiki/Problema_dei_ponti_di_K%C3%B6nigsberg