Nodi e stringhe
per il matematico alla moda

 

di Federico Peiretti

 

A well tied tie is the first serious step in life.
Oscar Wilde, A Woman of No Importance

 

 

La   matematica   e  la  moda,   un   abbinamento   inconsueto, ha portato ad alcuni brillanti  risultati che  possono  modificare le nostre abitudini, i  gesti quotidiani  che molti di noi eseguono automaticamente ogni mattina: fare  il nodo della cravatta o allacciare le scarpe. Il riferimento matematico è alla teoria dei nodi, settore della matematica con una grande tradizione. Nasce alla fine dell’Ottocento ed è stata divulgata da Lord Kelvin (celebre per aver inventato la scala Kelvin, per la misura della temperatura). Ma l’importanza della teoria  dei nodi è cresciuta a partire dalla scoperta  del DNA nel 1953, quando si è stabilito che ha una struttura a doppia elica. Sovente il DNA forma dei nodi che questa  teoria  è in grado di descrivere e analizzare. Oggi ne ritroviamo molte applicazioni nella chimica, nella biologia molecolare e nella fisica delle particelle.

La  ricerca  più  curiosa, che vogliamo presentare, è quella  di  due  fisici  inglesi dell’Università di Cambridge, Thomas Fink e Yong Mao, i quali sono riusciti a descrivere, grazie al computer, i possibili nodi della cravatta. In totale sono 85 dei quali, quelli normalmente usati, fino ad oggi, erano soltanto  quattro. Il  nodo  più antico, nato in Inghilterra alla fine  del  secolo scorso, è il  "Four-in-Hands", che veniva usato dai cocchieri per  legare  la sciarpa  attorno  al collo. Altri due, il  "Windsor"  e  l'"Half-Windsor",  diventarono popolari negli anni trenta dopo essere stati adottati dal  duca di  Windsor e l'ultimo, il "nodo Pratt", è noto soltanto  da  una decina d'anni.

Vecchi nodi in una bella tavola di una enciclopedia dell’Ottocento.

 

Fink  e  Mao,  specializzati nello studio delle  proteine  e  dei colloidi,  hanno  pensato che non  era  necessario attendere altri cinquant'anni per avere un nuovo nodo, ma che  la matematica  poteva risolvere in modo definitivo il  problema.  La loro  idea  è  stata  quella  di  creare  un  modello  matematico relativo  ai  successivi  passi di  costruzione  del  nodo.  "La difficoltà - afferma Fink - è stata quella di convertire  criteri estetici in vincoli matematici".

Luke Howard, Thomas Harte e Thomas Fink, a destra, in “stile Cambridge” sfoggiano il nuovo nodo trovato da Fink.

I due scienziati hanno presentato il loro lavoro sull’autorevole rivista scientifica Nature (4 marzo 1999).  Un nodo  inizia sempre  con  il movimento dell'estremo più largo  della  cravatta che viene portato sopra o sotto l'estremo più sottile e  prosegue con una serie di movimenti, di mezzi giri, che portano  l'estremo più largo a sinistra, al centro o a destra, sopra o sotto l’estremo più sottile, verso l’interno, cioè verso la camicia oppure verso l’esterno.

La  chiave del loro studio, il modello matematico adottato, è  un reticolo  triangolare sul quale viene effettuata una  successione di  movimenti  casuali,  quella che tecnicamente  si  chiama  una "passeggiata  aleatoria" o random walk. Hanno stabilito un massimo  di nove  movimenti, imponendo l'ulteriore vincolo  che  non  si possano  avere ovviamente due movimenti successivi nella stessa direzione, Fink  e  Mao sono  arrivati  in tal modo a determinare gli 85 nodi possibili,  compresi  i quattro nodi classici, già noti. “Più è grande il numero di movimenti verso il centro, più voluminoso sarà il nodo – spiega Fink – per questo motivo il nodo "Windsor" è più largo del "Four-in-hand". In ogni caso, la scelta di un nodo piuttosto di un altro è in pratica soltanto questione di gusto e noi lasciamo ad altri il giudizio estetico”.

I due scienziati hanno selezionato sei nuovi nodi, quelli esteticamente più convincenti,  per le  loro  caratteristiche  di simmetria e  di  equilibrio. Sono nodi che non hanno ancora un nome,  ma vengono identificati semplicemente da una coppia di numeri, com'è riportato  nella  tabella, il primo  per  indicare  il numero totale dei movimenti, escluso quello finale che chiude  il nodo, e il secondo per indicare il numero dei movimenti  centrali. Uno  dei  nodi più belli, il (7,2), ha già  avuto l’approvazione della sartoria  più prestigiosa di Londra, Gieves and Hawkes  (sarti del principe Carlo), che lo ha adottato, battezzandolo "nodo Fink".

La tabella riporta la successione dei passaggi per la costruzione dei dieci nodi.

I movimenti sono:

S(i), l’estremo più largo della cravatta a sinistra sopra l’estremo più sottile e verso l’interno

S(e), l’estremo più largo della cravatta a sinistra sotto l’estremo più sottile e verso l’esterno

D(i), l’estremo più largo della cravatta a destra sopra l’estremo più sottile e verso l’interno

D(e), l’estremo più largo della cravatta a destra sotto l’estremo più sottile e verso l’esterno

C(i), l’estremo più largo della cravatta sul centro, al di sopra del nodo

C(e), l’estremo più largo della cravatta sul centro, al di sotto del nodo

N è l’ultimo movimento che chiude il nodo.

 

h indica il numero totale dei movimenti, escluso N, γ il numero dei movimenti al centro, γ/h corrisponde alla forma del nodo, più è grande, più il nodo è largo e b è collegato alla simmetria del nodo, più è piccolo, più il nodo è simmetrico.

 

Sarà questo il nuovo nodo dei  matematici? Lo proponiamo ai “Polymath”, gli studenti e i docenti “eccellenti”. Sarà facile distinguerlo dagli altri nodi, perché l’estremo più sottile, quello che si trova sotto la parte più larga della cravatta, è a rovescio.

E veniamo ai  lacci delle scarpe. Sicuramente molti avranno notato come le scarpe appena acquistate, siano allacciate in modo diverso da quello che si usa normalmente. Escono dal negozio allacciate nel modo più semplice e più veloce, ma quanti sanno riallacciarle nel modo consueto e quanti conoscono la differenza fra il sistema americano e quello europeo?

I tre modi più comuni di allacciare le scarpe

A questo punto interviene il matematico o precisamente un informatico  dell’Università del North Carolina, John Halton che ha svolto un'interessante   indagine   matematica, per determinare il modo più conveniente, in pratica quello che richiede la stringa più corta,  per allacciare   le  scarpe,  fra  i  tre  più   usati:   all'europea, all'americana  o stile "negozio di scarpe". In questo  caso si  tratta di analizzare i possibili percorsi dall'occhiello  in alto  su  un  lato,  all'occhiello  in  alto  sul  lato  opposto, con una serie di passaggi attraverso un certo numero di occhielli intermedi. Si tratta in pratica di un problema classico di topologia, quello del rappresentante di commercio che deve visitare i suoi clienti in un certo numero di città, sparse per il paese, e quindi rientrare alla sua abitazione, seguendo il percorso più breve e visitando ogni città una sola volta.

Nel modello matematico gli occhielli diventano punti e la stringa una  linea. In tal modo è possibile calcolare la lunghezza della stringa in funzione del numero n di coppie di occhielli, della distanza d fra i due occhielli e dello spazio g tra i corrispondenti occhielli di destra e di sinistra.  Tra i tre allacciamenti considerati da Halton, con n uguale o maggiore di 4, il più corto è risultato quello americano, seguito da quello europeo e da quello del negozio di scarpe. Con n = 3, quello americano risulta ancora il più corto, ma quello europeo e quello del negozio di scarpe risultano di ugual lunghezza.

Lo schema usato da Halton, con il percorso del laccio tradotto in un raggio di luce riflesso dagli specchi.

Anche un bravo studente delle medie che conosca il  teorema di Pitagora  è in grado di risolvere il problema  e  di dimostrare che  l'allacciamento  all'americana  è quello  più conveniente

Halton  però ha avuto la brillante idea di  far corrispondere al percorso dei lacci delle scarpe, quello di un raggio di luce riflesso da una serie di specchi. Il raggio, invece di procedere a zig zag, viene riflesso ad ogni occhiello, in modo da conservare un percorso il più possibile rettilineo. Se si riportano poi i vari percorsi su  un reticolo rettangolare, è facile verificare che quello all'americana è più dritto e anche più  corto  degli altri.

Gli allacciamenti più robusti e, a destra, quello più economico.

 

Bowtie lacing

In seguito al lavoro di Halton, un matematico della Monash University in Australia, Burkard Poster,  ha voluto riprendere il problema e ha scoperto che l’allacciamento più corto è quello che ha battezzato “a farfalla”. Nel suo modello, Poster ha considerato uno schema con 2n occhielli con una distanza fra i due occhielli di ogni copia uguale a n. Partendo da questo modello Poster ha scoperto che esistono molti altri modi razionali di allacciare le scarpe e fra questi il “Bowtie” risulta il migliore, se viene richiesto il laccio più corto e passante per tutti gli occhielli. Tuttavia i due allacciamenti, all’americana e quello del negozio di scarpe, risultano i più robusti, cioè quelli che offrono una maggior forza di attrazione tra i due lati della scarpa. “Centinaia di anni di tentativi ed errori hanno portato al modo più robusto – dice Poster – se non il più efficiente di allacciare le nostre scarpe. Questo di fronte ai 51.840 possibili modi di allacciare una scarpa con appena cinque coppie di occhielli e diversi milioni per scarpe con un numero maggiore di occhielli.

A questo punto il lettore avrà capito perché il matematico sovente ha le scarpe slacciate e perché porta raramente la cravatta. Messo di fronte al compito di allacciarsi le scarpe o di fare il nodo alla cravatta, si perde nell’analisi del problema e, se non interviene la moglie, resta bloccato di fronte al problema che presenta troppe soluzioni. Si confonde e non sa più quale scegliere. 

 

 

In rete e il libreria

Federico Peiretti, La matematica dell’eleganza, LA STAMPA, 26/05/99

 

Thomas Fink, Yong Mao, 85 modi di annodare la cravatta. Scienza e estetica del nodo, Bompiani, 2000. La prefazione all’edizione inglese.

 

Francois Chaille, The Book of Ties, Flammarion, 1996

 

Halton, J.H. 1995, The shoelace problem, Mathematical Intelligencer 17(No. 4):36-41.

 

Misiurewicz, M. 1996, Lacing irregular shoes, Mathematical Intelligencer 18(No. 4):32-34.

 

Isaksen, D.C. 2000, Shortest shoelaces, Mathematics Magazine 73(February):60-61.

 

Peterson, I. 1999, The shoelace problem, MAA Online (Feb. 8).

 

Stewart, I. 1996, Arithmetic and old lace, Scientific American 275(July):94-97. Feedback in Scientific American 275(December):118.

 

 

Il punto di partenza, su Internet, per lo studio della teoria dei nodi è la pagina di Peter Suber che ha raccolto più di 500 collegamenti ad altre pagine sui nodi:

http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.htm

 

Alla pagina di Fink si trova il lavoro originale sui nodi della cravatta:

http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~tmf20/

 

La pagina di Yong Mao:

http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~ym101/

 

Nodi applet:

http://www.tollesburysc.co.uk/Knots/Tie_windsor.htm

http://www.tollesburysc.co.uk/Knots/Tie.htm

 

Una stupenda “Esposizione dei nodi” è presentata dalla University of Wales:

http://www.popmath.org.uk/exhib/knotexhib.html

 

Il progetto MegaMath, per l’insegnante che vuole introdurre in classe la teoria dei nodi:

http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/knot/knactiv.html

 

La storia del nodo della cravatta

http://www.twilightbridge.com/hobbies/festivals/father/necktie.htm

http://www.tieguys.com/information/history.shtml

 

Schemi di vari nodi

http://www.krawattenknoten.info/krawatten/Krawattenknoten/tieknot.html