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Nodi e stringhe
di Federico Peiretti
A well tied tie is the first serious
step in life.
La matematica e
la moda, un abbinamento inconsueto,
ha portato ad alcuni brillanti risultati che possono
modificare le nostre abitudini, i gesti quotidiani che molti
di noi eseguono automaticamente ogni mattina: fare il nodo della
cravatta o allacciare le scarpe. Il riferimento matematico è
alla teoria dei La ricerca più curiosa, che vogliamo presentare, è quella di due fisici inglesi dell’Università di Cambridge, Thomas Fink e Yong Mao, i quali sono riusciti a descrivere, grazie al computer, i possibili nodi della cravatta. In totale sono 85 dei quali, quelli normalmente usati, fino ad oggi, erano soltanto quattro. Il nodo più antico, nato in Inghilterra alla fine del secolo scorso, è il "Four-in-Hands", che veniva usato dai cocchieri per legare la sciarpa attorno al collo. Altri due, il "Windsor" e l'"Half-Windsor", diventarono popolari negli anni trenta dopo essere stati adottati dal duca di Windsor e l'ultimo, il "nodo Pratt", è noto soltanto da una decina d'anni.
Vecchi nodi in una bella tavola di una enciclopedia dell’Ottocento.
Fink e Mao, specializzati nello studio delle proteine e dei colloidi, hanno pensato che non era necessario attendere altri cinquant'anni per avere un nuovo nodo, ma che la matematica poteva risolvere in modo definitivo il problema. La loro idea è stata quella di creare un modello matematico relativo ai successivi passi di costruzione del nodo. "La difficoltà - afferma Fink - è stata quella di convertire criteri estetici in vincoli matematici".
I due scienziati hanno presentato il loro lavoro sull’autorevole rivista scientifica Nature (4 marzo 1999). Un nodo inizia sempre con il movimento dell'estremo più largo della cravatta che viene portato sopra o sotto l'estremo più sottile e prosegue con una serie di movimenti, di mezzi giri, che portano l'estremo più largo a sinistra, al centro o a destra, sopra o sotto l’estremo più sottile, verso l’interno, cioè verso la camicia oppure verso l’esterno. La chiave del loro studio, il modello matematico adottato, è un reticolo triangolare sul quale viene effettuata una successione di movimenti casuali, quella che tecnicamente si chiama una "passeggiata aleatoria" o random walk. Hanno stabilito un massimo di nove movimenti, imponendo l'ulteriore vincolo che non si possano avere ovviamente due movimenti successivi nella stessa direzione, Fink e Mao sono arrivati in tal modo a determinare gli 85 nodi possibili, compresi i quattro nodi classici, già noti. “Più è grande il numero di movimenti verso il centro, più voluminoso sarà il nodo – spiega Fink – per questo motivo il nodo "Windsor" è più largo del "Four-in-hand". In ogni caso, la scelta di un nodo piuttosto di un altro è in pratica soltanto questione di gusto e noi lasciamo ad altri il giudizio estetico”. I due scienziati hanno selezionato sei nuovi nodi, quelli esteticamente più convincenti, per le loro caratteristiche di simmetria e di equilibrio. Sono nodi che non hanno ancora un nome, ma vengono identificati semplicemente da una coppia di numeri, com'è riportato nella tabella, il primo per indicare il numero totale dei movimenti, escluso quello finale che chiude il nodo, e il secondo per indicare il numero dei movimenti centrali. Uno dei nodi più belli, il (7,2), ha già avuto l’approvazione della sartoria più prestigiosa di Londra, Gieves and Hawkes (sarti del principe Carlo), che lo ha adottato, battezzandolo "nodo Fink".
La tabella riporta la successione dei passaggi per la costruzione dei dieci nodi. I movimenti sono: S(i), l’estremo più largo della cravatta a sinistra sopra l’estremo più sottile e verso l’interno S(e), l’estremo più largo della cravatta a sinistra sotto l’estremo più sottile e verso l’esterno D(i), l’estremo più largo della cravatta a destra sopra l’estremo più sottile e verso l’interno D(e), l’estremo più largo della cravatta a destra sotto l’estremo più sottile e verso l’esterno C(i), l’estremo più largo della cravatta sul centro, al di sopra del nodo C(e), l’estremo più largo della cravatta sul centro, al di sotto del nodo N è l’ultimo movimento che chiude il nodo.
h indica il numero totale dei movimenti, escluso N, γ il numero dei movimenti al centro, γ/h corrisponde alla forma del nodo, più è grande, più il nodo è largo e b è collegato alla simmetria del nodo, più è piccolo, più il nodo è simmetrico.
Sarà questo il nuovo nodo dei matematici? Lo proponiamo ai “Polymath”, gli studenti e i docenti “eccellenti”. Sarà facile distinguerlo dagli altri nodi, perché l’estremo più sottile, quello che si trova sotto la parte più larga della cravatta, è a rovescio. E veniamo ai lacci delle scarpe. Sicuramente molti avranno notato come le scarpe appena acquistate, siano allacciate in modo diverso da quello che si usa normalmente. Escono dal negozio allacciate nel modo più semplice e più veloce, ma quanti sanno riallacciarle nel modo consueto e quanti conoscono la differenza fra il sistema americano e quello europeo?
A questo punto interviene il matematico o precisamente un informatico dell’Università del North Carolina, John Halton che ha svolto un'interessante indagine matematica, per determinare il modo più conveniente, in pratica quello che richiede la stringa più corta, per allacciare le scarpe, fra i tre più usati: all'europea, all'americana o stile "negozio di scarpe". In questo caso si tratta di analizzare i possibili percorsi dall'occhiello in alto su un lato, all'occhiello in alto sul lato opposto, con una serie di passaggi attraverso un certo numero di occhielli intermedi. Si tratta in pratica di un problema classico di topologia, quello del rappresentante di commercio che deve visitare i suoi clienti in un certo numero di città, sparse per il paese, e quindi rientrare alla sua abitazione, seguendo il percorso più breve e visitando ogni città una sola volta. Nel modello matematico gli occhielli diventano punti e la stringa una linea. In tal modo è possibile calcolare la lunghezza della stringa in funzione del numero n di coppie di occhielli, della distanza d fra i due occhielli e dello spazio g tra i corrispondenti occhielli di destra e di sinistra. Tra i tre allacciamenti considerati da Halton, con n uguale o maggiore di 4, il più corto è risultato quello americano, seguito da quello europeo e da quello del negozio di scarpe. Con n = 3, quello americano risulta ancora il più corto, ma quello europeo e quello del negozio di scarpe risultano di ugual lunghezza.
Anche un bravo studente delle medie che conosca il teorema di Pitagora è in grado di risolvere il problema e di dimostrare che l'allacciamento all'americana è quello più conveniente Halton però ha avuto la brillante idea di far corrispondere al percorso dei lacci delle scarpe, quello di un raggio di luce riflesso da una serie di specchi. Il raggio, invece di procedere a zig zag, viene riflesso ad ogni occhiello, in modo da conservare un percorso il più possibile rettilineo. Se si riportano poi i vari percorsi su un reticolo rettangolare, è facile verificare che quello all'americana è più dritto e anche più corto degli altri.
In seguito al lavoro di Halton, un matematico della Monash University in Australia, Burkard Poster, ha voluto riprendere il problema e ha scoperto che l’allacciamento più corto è quello che ha battezzato “a farfalla”. Nel suo modello, Poster ha considerato uno schema con 2n occhielli con una distanza fra i due occhielli di ogni copia uguale a n. Partendo da questo modello Poster ha scoperto che esistono molti altri modi razionali di allacciare le scarpe e fra questi il “Bowtie” risulta il migliore, se viene richiesto il laccio più corto e passante per tutti gli occhielli. Tuttavia i due allacciamenti, all’americana e quello del negozio di scarpe, risultano i più robusti, cioè quelli che offrono una maggior forza di attrazione tra i due lati della scarpa. “Centinaia di anni di tentativi ed errori hanno portato al modo più robusto – dice Poster – se non il più efficiente di allacciare le nostre scarpe. Questo di fronte ai 51.840 possibili modi di allacciare una scarpa con appena cinque coppie di occhielli e diversi milioni per scarpe con un numero maggiore di occhielli. A questo punto il lettore avrà capito perché il matematico sovente ha le scarpe slacciate e perché porta raramente la cravatta. Messo di fronte al compito di allacciarsi le scarpe o di fare il nodo alla cravatta, si perde nell’analisi del problema e, se non interviene la moglie, resta bloccato di fronte al problema che presenta troppe soluzioni. Si confonde e non sa più quale scegliere.
In rete e il libreria Federico Peiretti, La matematica dell’eleganza, LA STAMPA, 26/05/99
Francois Chaille, The Book of Ties, Flammarion, 1996
Halton, J.H. 1995, The shoelace problem, Mathematical Intelligencer 17(No. 4):36-41.
Misiurewicz, M. 1996, Lacing irregular shoes, Mathematical Intelligencer 18(No. 4):32-34.
Isaksen, D.C. 2000, Shortest shoelaces, Mathematics Magazine 73(February):60-61.
Peterson, I. 1999, The shoelace problem, MAA Online (Feb. 8).
Stewart, I. 1996, Arithmetic and old lace, Scientific American 275(July):94-97. Feedback in Scientific American 275(December):118.
Il punto di partenza, su Internet, per lo studio della teoria dei nodi è la pagina di Peter Suber che ha raccolto più di 500 collegamenti ad altre pagine sui nodi: http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.htm
Alla pagina di Fink si trova il lavoro originale sui nodi della cravatta: http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~tmf20/
La pagina di Yong Mao: http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~ym101/
Nodi applet: http://www.tollesburysc.co.uk/Knots/Tie_windsor.htm http://www.tollesburysc.co.uk/Knots/Tie.htm
Una stupenda “Esposizione dei nodi” è presentata dalla University of Wales: http://www.popmath.org.uk/exhib/knotexhib.html
Il progetto MegaMath, per l’insegnante che vuole introdurre in classe la teoria dei nodi: http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/knot/knactiv.html
La storia del nodo della cravatta http://www.twilightbridge.com/hobbies/festivals/father/necktie.htm http://www.tieguys.com/information/history.shtml
Schemi di vari nodi http://www.krawattenknoten.info/krawatten/Krawattenknoten/tieknot.html |
nodi,
settore della matematica con una grande tradizione. Nasce alla
fine dell’Ottocento ed è stata divulgata da Lord Kelvin
(celebre per aver inventato la scala Kelvin, per la misura della temperatura).
Ma l’importanza della teoria dei nodi è cresciuta
a partire dalla scoperta del DNA nel 1953, quando si è
stabilito che ha una struttura a doppia elica. Sovente il DNA forma
dei nodi che questa teoria è in grado di descrivere
e analizzare. Oggi ne ritroviamo molte applicazioni nella chimica, nella
biologia molecolare e nella fisica delle particelle. 
Thomas
Fink, Yong Mao, 85 modi di annodare la cravatta. Scienza e estetica
del nodo, Bompiani, 2000. La