6. Lo zero per i matematici

A proposito del fatto che i matematici preferiscano contare cominciando da “zero” anziché da “uno”, John Conway racconta un aneddoto che riguarda Waclaw Sierpinski, il grande matematico polacco: “Un giorno era in partenza per un viaggio quando incominciò ad agitarsi temendo di aver perso una valigia. “No, caro!” disse sua moglie, “sono qui tutte e sei”. “Non può essere”, ribatté Sierpinski, “le ho contate varie volte: zero, uno, due, tre, quattro e cinque”.

Giuseppe Peano, 1858 - 1932

Per i matematici, lo zero, che non dev’essere confuso con l’insieme vuoto, è il numero di elementi di questo insieme. L’insieme degli elefanti rosa, ad esempio, è l’insieme vuoto e il loro numero è zero. Se si parte dallo zero si possono generare tutti gli altri numeri naturali, secondo alcune semplici regole e assiomi, proposti cent’anni fa da Giuseppe Peano. Dobbiamo per questo accettare tre idee “primitive”, non definite: zero, numero e successore di un numero. Dalla premessa che zero è un numero, definiamo poi 1 come il successore di zero, 2 come il successore di 1 e così via, costruendo una serie infinita di numeri.
"Ben poca gente - scrive Bertrand Russell – è preparata a dare una definizione di quello che significa “numero” o “zero” o “uno”. Non è molto difficile vedere che, partendo dallo zero, ogni altro numero naturale può essere ottenuto con addizioni ripetute di 1; dobbiamo però definire che cosa significa “aggiungere 1” e che cosa significa “ripetute”. Non sono problemi tanto semplici. Si è creduto fino a poco tempo fa che almeno alcune di queste nozioni prime dell’aritmetica dovessero essere semplicemente accettate perché troppo semplici e primitive per poter essere definite. Poiché tutti i termini che vengono definiti sono definiti con altri termini, è chiaro che la conoscenza umana dovrebbe continuare ad accontentarsi di accettare alcuni termini come intelligibili senza definizione per avere un punto di partenza per le proprie definizioni. Non è però chiaro come vi possano essere termini che non ammettono definizione, è verosimile che, per quanto lontano andiamo nel definire, possiamo andare oltre. D’altra parte, è anche possibile che quando l’analisi sia stata spinta sufficientemente lontano, si arrivi a termini che sono realmente semplici, e che non ammettono logicamente quel tipo di definizione che consiste nell’analisi. Non ci è necessario risolvere questo problema; per il nostro scopo è sufficiente osservare che, visto che le capacità umane sono limitate, le definizioni a noi note devono comunque avere un inizio con termini per il momento non definiti, ma forse non per sempre indefiniti”.
Zero ha ancora un’altra caratteristica che lo rende diverso da tutti gli altri numeri. E’ infatti l’unico numero reale che non sia positivo o negativo.
Molti si chiedono anche oggi: ma zero è un numero pari o dispari? Nei periodi delle “targhe alterne”, un metodo non molto efficace per combattere lo smog nelle grandi città, c’è stata un po’ di confusione. Un automobilista ingenuo o matematico, sorpreso con una targa la cui ultima cifra era 0, in un giorno in cui era permessa soltanto la circolazione dei veicoli con targa dispari, come ultimo disperato tentativo per evitare la contravvenzione, avrebbe detto in tono di sfida al vigile urbano: “Guardi che zero è dispari, mi dimostri il contrario”. Per dirimere la questione basta riprendere la definizione che è riportata su tutti i libri scolastici: “L’insieme dei numeri pari si ottiene moltiplicando per due i numeri naturali”: quindi si passa da 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... a 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
L’insieme dei numeri dispari viene invece definito come l’insieme complementare dei numeri pari: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...