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Attività in classe con supporti tradizionali

In classe sono stati affrontati gli ultimi argomenti dell’elenco riportato nel seguito; alcuni di essi sono delle letture, altri invece sono delle vere e proprie parti del programma di matematica sperimentale (del PNI - Piano Nazionale per l’Informatica e dei programmi della Commissione “Brocca”):
- I pitagorici e la scoperta delle grandezze incommensurabili.
- I paradossi di Zenone di Elea (circa 490 a.C. - 425 a.C.); il paradosso di Achille e la tartaruga. Infinito potenziale e infinito attuale: la posizione di Aristotele.

«Se gli esseri sono molti è necessario che essi siano tanti quanti sono e né di più né di meno. Ma se sono tanti quanti sono, saranno limitati. Se sono molti, gli esseri sono infiniti. Infatti tra l'uno e l'altro di questi esseri ve ne saranno sempre altri e tra l'uno e l'altro di questi altri ancora. E così gli esseri sono infiniti».
Il famoso paradosso di Achille e la tartaruga, uno dei quattro argomenti di Zenone contro il moto, è descritto da Aristotele nella sua Fisica:
«Il secondo è l'argomento detto d'Achille. Esso dice che il più lento non sarà mai raggiunto nella corsa dal più veloce. Infatti è necessario che chi insegue giunga prima al punto da cui è partito chi fugge, cosicché il più lento si troverà necessariamente un po' più avanti del più veloce. La conseguenza di quest'argomento è che il più lento non vien raggiunto».
In un suo articolo Michele Emmer (vedi bibliografia) scrive:

La difficoltà si basa sulla divisibilità infinita dello spazio. Ma allora Achille raggiunge o no la tartaruga? Come si sarà capito vi sono due aspetti nel problema, uno filosofico «buono» ed uno matematico «cattivo», per dirla con Hegel. Si può dimostrare in modo semplicissimo il problema matematico con un risultato che dipende dalla velocità dei due corridori come è ovvio, credo, secondo la logica di chiunque. Il che non vuol dire che non resti il problema della divisibilità del tempo e dello spazio dal punto di vista filosofico. Nel suo ampio saggio Breve storia dell'infinito (Adelphi, 1980) il matematico Paolo Zellini considera l'argomento della dicotomia portato da Zenone per negare il moto. «In tale argomento si sostiene che chi desideri percorrere una unità di lunghezza non potrà mai portare a compimento la sua impresa perché dovrà percorrere la successione infinita di intervalli in cui l'unità è divisibile per dicotomia. «Per arrivare da 0 a 1 si raggiunge 1/2, poi 1/2+1/4=3/4, poi 7/8 e così via, percorrendo successivamente intervalli di ampiezza 1/2,1/4,1/8,1/16, ... 1/2 elevato ad n ... che appare manifestamente impossibile perché gli intervalli sono in numero infinito.
Con la nozione matematica di convergenza di una serie, in modo analogo al caso di Achille e la Tartaruga, si supera la difficoltà dimostrando che al crescere di n (quando n tende all'infinito) la somma parziale 1/2+ 1/4........... tende a 1. Se dal punto di vista matematico è chiaro che Achille raggiunge la tartaruga, e si può calcolare il tempo che ci impiega, aggiunge giustamente Zellini che «la dimostrazione di Zenone sembra tuttavia invulnerabile, nella sua intenzione ancor più che nel suo specifico svolgimento dialettico, da ogni confutazione che faccia uso della nozione matematica di limite... Come immagine speculare negativa dell'esemplare celato al di là di ogni rappresentazione l'apeiron (infinito) poteva essere allora un paradossale richiamo simbolico a Dio... L'idea potrebbe estendersi oltre, al male e al non-essere, fino a farne la prova che un mondo privo di Dio ne indica da lontano la prova».

- Euclide e l’infinità dei numeri primi; un esempio di infinito potenziale (in Gli Elementi, Libro IX, proposizione 20):
Esistono numeri primi in numero maggiore di quanti numeri si voglia proporre.
Riportiamo la dimostrazione qui di seguito, usando solo in parte il linguaggio di oggi.

“Siano a, b, c i numeri primi proposti. Dico che esistono numeri primi in maggior numero che a, b, c.”
Dimostriamo allora che esiste un quarto numero primo. Si costruisce allora il numero intero d=ABC+1 ; questo numero d non è divisibile per a, per b e per c. Se d è primo allora abbiamo dimostrato l’esistenza di un quarto numero primo. Se d non è primo esso ammette un divisore che è primo; chiamiamo questo numero h. Dimostriamo che h è diverso da a, b e c.
Se, infatti, il numero h fosse uguale ad uno dei tre numeri a, b, c, esso dividerebbe il prodotto abc. Ma si è supposto che il numero h divida anche d=abc+1, quindi d dividerebbe anche la differenza tra (d=abc+1) e abc, ossia l’unità, da cui l’assurdo. Euclide conclude:
“Dunque si sono trovati numeri primi, cioè a, b, c, d, più numerosi di quanti numeri si siano proposti all’inizio, cioè a, b, c. Come dovevasi dimostrare”.

La dimostrazione di questa proposizione è ammirabile e andrebbe letta in classe, così come leggiamo le opere dei poeti e degli scrittori. Euclide non nomina mai la parola “infinito”, ma evoca l’infinità dei numeri primi in senso potenziale.

- Archimede e il metodo di esaustione. Si può proporre in classe il procedimento usato da Archimede per determinare l’area del cerchio e l’area del segmento parabolico.
- Galileo e l’infinito.
- La nascita del calcolo differenziale (Cavalieri, Torricelli, Fermat, Newton, Leibniz,…); le critiche di Berkeley in L’analista infedele.
- Bernhard Bolzano (1781-1848), I paradossi dell’infinito (Paradoxien des Unendlichen)

Bernhard Bolzano (1781-1848)
«Le affermazioni paradossali che si incontrario in matematica sono certamente per la maggior parte, benché non tutte, proposizioni che o contengono in modo immediato il concetto di infinito, o si fondano in qualche modo su tale concetto attraverso la dimostrazione per esse proposta. Ancor meno discutibile è il fatto che tale categoria di paradossi matematici includa precisamente quelli che meritano il nostro esame più accurato, in quanto la soluzione di problemi molto importanti di altre scienze, come la fisica e la metafisica, dipende da una soddisfacente confutazione delle loro apparenti contraddizioni». «Che l'infinito sia contrapposto ad ogni mero finito è già espresso nel termine stesso. I matematici hanno fatto uso del termine infinito in altro senso che questo: se trovano una quantità maggiore di qualsiasi numero di unità assunte, la chiamano infinitamente grande; se trovano una quantità così piccola che ogni suo multiplo è minore dell'unità, la chiamano infinitamente piccola; né riconoscono alcuna altra specie di infinito oltre queste due e oltre specie da esse derivate, infinitamente più grandi o infinitamente più piccole, che discendono tutte dallo stesso concetto. Alcuni filosofi però, per esempio Hegel e i suoi seguaci, non sono soddisfatti di questo infinito dei matematici e lo chiamano con disprezzo cattiva infinità, rivendicando la conoscenza di un infinito molto superiore, il vero infinito, l'infinito qualitativo, che essi trovano solo in Dio, e in generale nell'Assoluto».
(da Bernhard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1847/48, edizione italiana, I paradossi dell'infinito a cura di F. Voltaggio, Feltrinelli, 1965).

- La definizione di limite (Cauchy, Weierstrass,..): limite di una successione e limite di una funzione; approfondimenti sulla definizione di limite; infiniti e infinitesimi; gli asintoti di una funzione
- Teoria degli insiemi e confronto tra insiemi infiniti (G. Cantor)
- Paradossi e antinomie. La crisi dei fondamenti della matematica
- Il principio di induzione matematica (G. Peano)

Alcuni esempi di insiemi tra loro in corrispondenza biunivoca (hanno la stessa cardinalità):
- Due segmenti qualunque possono essere messi in corrispondenza biunivoca tramite una proiezione centrale.


I punti di AB sono “tanti quanti” quelli di A’B’

- Un semicirconferenza aperta (senza i punti estremi) può essere messa in corrispondenza biunivoca con una retta. Ad ogni punto P della semicirconferenza corrisponde un punto P’ e viceversa ad ogni punto P’ della retta corrisponde un punto della semicirconferenza.

In definitiva, quindi, ogni intervallo aperto può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insiemi dei punti di una retta. Quindi i punti di una retta sono “tanti quanti” sono i punti di un intervallo aperto. Nella figura seguente tale corrispondenza viene illustrata in modo grafico.
Si considera un segmento aperto AB e si disegna una semicirconferenza (privata dei punti estremi) tangente al segmento nel punto medio H di AB. Ad un punto P del segmento AB, facciamo corrispondere il punto Q (basta mandare la perpendicolare per P al segmento AB). Si considera ora la semiretta OQ di origine O. Tale semiretta fa corrispondere al punto Q il punto P’ della retta AB.
In questo modo abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra il segmento (aperto) AB e la retta r. Tale corrispondenza, scelto un opportuno sistema di assi cartesiani ortogonali, può essere espressa anche in modo analitico.

Un altro esempio paradossale che si può presentare in classe, per approfondire il concetto di infinito, va sotto il nome di “albergo di Hilbert”. Si tratta di uno strano albergo, con un numero infinito (numerabile) di stanze. Anche se l’albergo ha le stanze tutte occupate, è sempre possibile accogliere un nuovo cliente o addirittura liberare un numero infinito di stanze. Ad esempio si possono spostare tutti i clienti nelle stanze di numero pari; in questo modo si liberano tutte le infinite stanze di numero dispari. Si veda il seguente sito:
http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/infinity/inhotel.html

- La teoria degli insiemi di G. Cantor; cardinalità di un insieme; la parte può essere uguale al tutto; insiemi finiti ed infiniti.
La cardinalità dell’insieme dei numeri naturali viene indicata da Cantor con il simbolo 0 (aleph con 0); si tratta della prima lettera dell’alfabeto ebraico con l’indice 0. Ogni insieme che possa essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei naturali ha la stessa cardinalità dei numeri naturali. Ad esempio l’insieme dei numeri pari, che è un sottoinsieme dei numeri naturali, ha la stessa cardinalità dell’insieme dei numeri naturali. In questo senso, dunque, la parte può essere “uguale” al tutto.

Aleph 0

Georg Cantor (1845 - 1918)

- Dal numerabile al continuo; confronto tra insiemi infiniti.

- L’insieme dei numeri razionali è numerabile; i numeri reali hanno una cardinalità maggiore della cardinalità del numerabile
Nelle figure seguenti è riportata la dimostrazione che l’insieme dei numeri razionali assoluti è un insieme numerabile; la stessa dimostrazione può essere ripetuta per l’insieme dei numeri razionali relativi.
Nella prima riga vengono scritti tutte le frazioni con numeratore 1 e denominatore un numero naturale non nullo; nella seconda riga scriviamo tutte le frazioni con numeratore 2, e così via… In questo modo vengono scritti tutti i numeri razionali assoluti, eventualmente anche con delle ripetizioni. Le frecce indicate nella figura, che procedono in senso diagonale, mostrano la possibilità di mettere in una unica “fila” i numeri razionali assoluti.

Possiamo anche scrivere come indica la seguente figura, che indica una corrispondenza biunivoca tra i razionali assoluti ed i numeri naturali.

Quindi:
I numeri razionali sono in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (i due insiemi hanno la stessa cardinalità).

Il passo successivo che si può introdurre in classe è quello di dimostrare che i numeri reali dell’intervallo aperto ]0, 1[ non possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.
La dimostrazione viene condotta per assurdo. Supponiamo che i numeri reali dell’intervallo formino un insieme numerabile. In questo caso sarà possibile scriverli in un “elenco” numerabile in cui ciascun numero reale tra 0 e 1 sarà contrassegnato da un numero naturale n. Il primo numero reale dell’intervallo, si potrà scrivere come:
0, a1, a2, a3, a4, a5, a6,…
dove a1, a2, a3, a4, a5, a6,… sono le cifre dopo la virgola.
Costruiamo ora, seguendo il procedimento di Cantor, un nuovo numero reale compreso tra 0 ed 1, che non è elencato nella figura seguente.

Il numero ha come prima cifra 0. Al primo posto dopo la virgola si si sceglie una cifra diversa da a1, al secondo posto si sceglie una cifra diversa da b2, al terzo posto si sceglie una cifra diversa da c3, e così via…
Con questo procedimento, detto “diagonale”, viene costruito un numero reale compreso tra 0 e 1, che però è diverso da tutti quelli dell’elenco precedente, contro l’ipotesi che l’elenco indicasse tutti i numeri compresi tra 0 e 1. Si è arrivati dunque ad un assurdo.
Pertanto l’insieme dei numeri reali dell’intervallo ]0, 1[ non è “numerabile”. Ne consegue quindi che l’insieme dei numeri reali non può essere posto in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. La “cardinalità” (o “potenza”) dei numeri reali è quindi maggiore della cardinalità del numerabile. La cardinalità dei numeri reali si chiama cardinalità del “continuo” e si indica con la lettera gotica c.

- I punti del piano (e dello spazio) sono “tanti quanti” sono i punti di una retta.
A proposito di quest’ultimo teorema lo stesso Cantor, in una lettera a Dedekind del 1877, afferma: “Lo vedo ma non ci credo !”.
Si veda il sito:
http://cut-the-knot.com/do_you_know/cantor.html
In effetti l’enunciato è molto sorprendente perché in esso si afferma la possibilità di costruire una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta e i punti del piano.
In classe è stata fatta la dimostrazione che l’intervallo aperto ]0, 1[ può essere messo in corrispondenza biunivoca con il quadrato aperto “unitario” di vertici (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1).
Si tratta di costruire una corrispondenza biunivoca tra i punti del quadrato e i punti di un suo lato, ad esempio OU. In un sistema di riferimento cartesiano sia Q un quadrato di vertici (0,0); (0,1); (1,1), (1,0).

Un punto P del quadrato avrà coordinate (x, y), dove x e y sono numeri reali compresi tra 0 e 1 e possono essere scritti in forma decimale:
x = 0,a1, a2, a3, a4, a5, a6,... y = 0,b1, b2, b3, b4, b5, b6,...
dove ai e bi sono cifre comprese tra 0 e 9 (ad esempio 0,539236...).
Alla coppia ordinata (x, y), che identifica univocamente il punto P, si può far corrispondere il numero reale compreso tra 0 e 1
c = 0,a1, b1, a2, b2, a3, b3,...
che identifica univocamente un punto del lato del quadrato.
Viceversa ad un qualunque punto del lato OU cui corrisponde univocamente il numero decimale
c = 0,c1, c2, c3, c4, c5, c6,...
si può far corrispondere la coppia ordinata formata da x = 0,c1, c3, c5,... e y = 0, c2,c4,c6,... che individua un punto del quadrato.
La corrispondenza biunivoca tra punti del quadrato e punti di un suo lato è così costruita e l’affermazione iniziale è pertanto dimostrata.
La corrispondenza ora definita, tuttavia, sfugge alla nostra intuizione perché non è facilmente visualizzabile anche con i software matematici più sofisticati oggi a disposizione.
Per convincersi della possibilità di mettere in corrispondenza i punti di una retta ed i punti del piano, si possono vedere delle curve particolari, che progressivamente riempiono il piano, nella seguente pagina:
http://cut-the-knot.com/do_you_know/hilbert.html
Una delle curve più famose che progressivamente “riempie” il piano è la curva di Peano.

Peano propone l’esempio di una curva “ricorsiva” che, al limite, riempie tutto il piano. Talvolta tale curva viene anche chiamata curva di Hilbert. Si veda la pagina citata sopra dove, tramite un “applet” un programma che viene eseguito in una pagina Web, è possibile fare esperimenti interattivi sulla curva di Peano:
http://cut-the-knot.com/do_you_know/hilbert.html

Giuseppe Peano (1858-1932)

Ci sono analoghe curve che “riempiono tutto lo spazio” e che stabilisco dunque una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta ed i punti dello spazio tridimensionale.

- I paradossi e le antinomie
Lucio Lombardo Radice nel suo libro (purtroppo ormai introvabile se non in una buona biblioteca) L’infinito, Editori Riuniti, Roma 1981, dà le seguenti definizioni di paradosso e di antinomia:
paradosso = affermazione incredibile, contraria alla opinione corrente ed intuitiva;
antinomia = contraddizione; si ha una antinomia se in una data teoria è possibile dimostrare una affermazione e contemporaneamente la sua negazione (p ed anche “non p”).

- La crisi dei fondamenti della matematica
Usando la teoria degli insiemi è possibile costruire delle antinomie. La più famosa delle antinomie è quella formulata da Bertrand Russell (1903). In seguito al ritrovamento di queste antinomie si sviluppa una discussione su quali siano i fondamenti della matematica, che va sotto il nome di “crisi dei fondamenti” e nascono dubbi sulla teoria degli insiemi creata da Cantor. A proposito di questi dubbi David Hilbert (1921) afferma: “Nessuno ci scaccerà dal paradiso che Cantor ha creato per noi”.

- L’ipotesi del continuo (Kurt Gödel e Paul J. Cohen)
Che cos’è l’ipotesi del continuo? Sinteticamente ci si riferisce alla seguente domanda:
Tra la cardinalità dei razionali e quella dei reali esiste una cardinalità intermedia?
Nella prima metà del XX secolo ai matematici si è posta tale questione che è di natura simile a quella del V postulato de Gli Elementi di Euclide: “L’ipotesi del continuo è vera o falsa?”
Si trattava di dimostrare che non c’era un cardinale intermedio tra “aleph0” e “aleph1”, tra la cardinalità del numerabile e quella del continuo.
La risposta fu data in modo graduale. Nel 1938 Kurt Gödel dimostrò che non si poteva dimostrare che l’ipotesi del continuo fosse falsa rimanendo nel quadro della teoria assiomatica degli insiemi formulata da Ernst Zermelo (1871-1953) e Abraham A. Fränkel (1891-1965).
Nel 1963 Paul J. Cohen dimostrò che non si poteva dimostrare che l’ipotesi del continuo fosse vera nel quadro della teoria degli insiemi.
Dunque la questione dell’ipotesi del continuo è in decidibile rimanendo all’interno della teoria degli insiemi. Si può supporre dunque supporre che non esista un cardinale intermedio tra il numerabile e il continuo, come si può supporre il contrario e questa supposizione non creerà contraddizioni.