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Applicazioni e curiosità
Le guerre vengono
classificate in base al numero di morti e si parla così di magnitudo
3, 4 oppure 7 ad indicare l'esponente che sulla base 10 indica approssimativamente
il numero di morti, cioè, in sostanza, il logaritmo in base 10
del numero dei morti. Così se sentite dire che una certa guerra
ha appena magnitudo doppia rispetto ad una guerra precedente, ci si
deve allarmare perché quanto a numeri di morti, quella guerra
ne ha avuti ben più del doppio. Ad esempio, una guerra di magnitudo
M = 3 avrebbe poco più di un migliaio di vittime, mentre una
guerra di magnitudo M = 6 avrebbe più di un milione di morti.
In finanza
l'ultimo ritrovato per scovare gli evasori, è collegato con i
logaritmi ed è opera del matematico Mark Nigrini che ha
a sua volta utilizzato una legge scoperta nel 1881 dal matematico Simon
Newcomb, poi formalizzata dal fisico Frank Benford nel 1938
.
Newcomb aveva notato che nella biblioteca dell'Università le
tavole dei logaritmi, allora molto utilizzate, erano più consumate
all'inizio che alla fine e ne dedusse che i numeri utilizzati nei calcoli
dai suoi colleghi iniziavano più spesso con 1 che con 2, con
2 che con 3 e così via.
Da questa osservazione ricavò una legge empirica di distribuzione
dei numeri utilizzati dagli scienziati che si può riassumere
nella formula:
Probabilità (che la prima
cifra del numero sia d) =
Dove d indica una delle cifre da 1 a 9 .
Benford mise alla prova la formula utilizzando i più disparati
insieme di dati numerici.
Notò così che non tutte le tabelle di dati obbediscono
alla legge: i dati più ordinati, ad esempio la tavola contenente
i quadrati dei numeri, non rispetta la legge, mentre le tabelle più
disomogenee la soddisfano quasi del tutto.
Nigrini ha poi trovato un utilizzo della legge di Benford elaborando
dei programmi che permettono di individuare distribuzioni numeriche
sospette nelle dichiarazioni dei redditi: infatti quando una persona
cerca di inventare una sequenza di numeri casuali per simulare la sua
situazione finanziaria, ottiene invece dei numeri molto correlati tra
loro.
In questo modo gli evasori producono delle dichiarazioni dei redditi
che analizzate evidenziano notevoli deviazioni dalla legge di Benford.
Quindi per sapere se l'evasore ha compilato onestamente la dichiarazione
dei redditi basta controllare la frequenza delle varie cifre utilizzate
per scrivere i numeri.
 Inoltre
i logaritmi, in astronomia, vengono utilizzati
nella definizione di Magnitudine di una stella. Le Magnitudini
stellari sono dei logaritmi e ciò in concordanza con quanto avviene
nel nostro occhio in cui logaritmica ( e non lineare) è
la risposta agli stimoli luminosi. Ed in questo modo possiamo vedere
sia un barlume di luce che un grande fulmine.
Il primo a parlare di Magnitudine stellare fu Ipparco di Nicea
(300 a.C.). Egli definì di prima grandezza le stelle più
luminose, di sesta quelle appena percettibili. Le stelle di seconda
grandezza erano circa 2 volte e mezza più deboli di quelle di
prima. Oggi un astro di magnitudine 1 è 100 volte più
luminoso di uno di magnitudine 6, per cui, se vogliamo conoscere l'esatto
rapporto di luminosità tra una magnitudine e la successiva, dobbiamo
dividere 100 in 5 parti tra loro in proporzione geometrica, ovvero in
modo che rimanga costante il rapporto tra una parte e quella immediatamente
precedente. Questo equivale a calcolare la
Così prendendo questo numero come base per dei logaritmi, che
chiameremo logaritmi stellari, scriviamo la progressione
1, 2,512; 6,310; 15,849; ......
I numeri indicati rappresentano le successive potenze di 2,521
Da quest'ultima sequenza si vede che i successivi
numeri naturali che vengono utilizzati per la magnitudo non sono
altro che i logaritmi (cioè gli esponenti) a cui
bisogna elevare la base 2,512.. per ottenere il valore della luminosità
di una stella.
I logaritmi sono collegati con i terremoti.
La scala Richter, infatti, misura la magnitudine di un terremoto
in base alla quantità di energia liberata all'epicentro. E' importante
sapere che la scala usata è logaritmica perché un terremoto
di magnitudine 8 non è doppiamente più disastroso di uno
di magnitudine 4. Poiché si lavora su esponenti,
10^8 rappresenta 10000 x 10^4
cioè 10 000 volte più disastroso!
I logaritmi non hanno ormai più misteri:
ma se qualcosa ancora non è chiaro si può
ricominciare il viaggio andando a rivedere i punti oscuri, oppure
si può approfondire cercando notizie sui testi riportati in bibliografia
oppure ancora si può navigare in Rete seguendo i Links consigliati:
http://digilander.iol.it/gilmao/compiti/Terze/testlog2.htm
dove è possibile trovare in sintesi le proprietà dei logaritmi
ed un test per verificare di averle comprese.
http://digilander.iol.it/AntonioMariaVecchia
dove è possibile trovare nell'artcolo "La natura è
logaritmica?" numerose situazioni in cui interviene il concetto
di logaritmo.
http://scuolaer.regione.emilia-romagna.it/contets/article.asp?ArticleID=3633
dove è possibile trovare la storia dei logaritmi integrata con
la storia politica e culturale del tempo.
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