Il volume della sfera e la scodella di Galileo

Il volume della sfera è stato determinato per la prima volta da Archimede, nel III sec. a.C. Riportiamo una dimostrazione della formula che permette di determinare il volume V della sfera in funzione del raggio r, data da Luca Valerio, professore di matematica all'Università di Roma, ai primi del 1600.
La dimostrazione di Luca Valerio è comunemente nota col nome di dimostrazione della scodella di Galileo, perché Galileo la riporta in uno dei suoi scritti.

Questa dimostrazione si basa sul principio di Cavalieri.

Per determinare il volume di una sfera Luca Valerio considerò:

• un cilindro con altezza uguale al raggio r del cerchio di base;

• la semisfera inscritta in tale cilindro;

• il cono inscritto in tale cilindro, avente il vertice nel centro O della semisfera.

Togliendo dal cilindro la semisfera si ottiene una figura solida concava: la scodella di Galileo

Luca Valerio dimostrò che la scodella è equiestesa al cono .
Tagliamo il cilindro con un piano α parallelo al piano π della base. Il piano α interseca il cono e la scodella in due figure piane S e S₁. S è un cerchio mentre S₁ è una corona circolare.

Indicati con A e B gli estremi di un diametro della base del cilindro contenuta nel piano π, consideriamo il piano δ passante per i punti A,B, O .
I punti comuni ai piani δ e α e al cono sono C e N. I punti comuni ai piani δ e α e alla semisfera sono D e M. I punti comuni ai piani δ e α e al cilindro sono E e Z.
Indichiamo infine con H il piede della perpendicolare t condotta da O al piano α e con K il punto di intersezione di t con il piano π.

Il triangolo OKB è rettangolo in K ed è isoscele in quanto i cateti OK e KB sono congruenti.
Il triangolo rettangolo OHN, avendo l'angolo in O in comune e HN parallelo a KB, è simile al triangolo OKB; pertanto anche il triangolo OHN è isoscele e quindi OH=HN.

Se indichiamo con h la lunghezza del segmento OH, cioè la distanza del punto O dal piano α, l'area del cerchio S vale

Area S=π*h²

Per determinare l'area della corona circolare S₁ dobbiamo determinare la lunghezza del segmento HM. Consideriamo in merito il triangolo rettangolo OHM; l'ipotenusa è il raggio r della semisfera; applicando il teorema di Pitagora si ricava

L'area della corona circolare S₁ vale quindi

.

Le due sezioni S e S₁ del piano α con il cono e la scodella hanno quindi la stessa aera. In base al principio di Cavalieri i due solidi sono equiestesi: hanno pertanto lo stesso volume.
Per determinare allora il volume della semisfera basterà sottrarre al volume del cilindro il volume del cono .

Il volume della sfera vale allora