2.1 Il gioco della zara

Canto sesto del Purgatorio
Le anime, alla stregua dei postulanti che fanno cerchio intorno a chi esce vittorioso dal gioco della zara, si affollano intorno a Virgilio e a Dante, invocando da quest’ultimo preghiere e suffragi perché venga abbreviata la loro permanenza nell’Antipurgatorio.

In questi versi alcuni commentatori hanno voluto riconoscere un approccio, ancorché ingenuo, all’analisi probabilistica.
Il gioco della zara è un gioco di DADI [ in arabo dado è zahar, da cui il nome del gioco in questione, il termine “azzardo” e verosimilmente anche il termine “zero” ].

Exechias ( vasaio greco del VI a.C.) - Musei Vaticani – Achille e Aiace Oileo giocano ai dadi.

Il gioco dei dadi ha tradizione antica; il termine greco per dado è , cioè cubo. I dadi, costituiti da cubetti d’avorio, di osso o di legno, parenti e discendenti diretti degli astragali, sono tra i più antichi oggetti usati per il gioco d’azzardo; gli astragali erano fatti ad imitazione dell’osso breve del tarso ( poteva anche essere l’osso stesso di capra o di montone)ed erano impiegati, fin dall’epoca omerica, in diversi giochi, dove i punti erano segnati sulle facce; 4 erano le facce stabili, di forma differente, ciascuna con un valore diverso, ed il lancio era effettuato con quattro astragali per volta; a causa delle loro forme, ovviamente diverse tra loro e tra le facce, che comportavano una elevata arbitrarietà dei risultati ottenibili con i lanci, i matematici del tempo non ravvisarono alcun tipo di regolarità meritevole di considerazione.
La tradizione della Grecia antica fa risalire l’invenzione del gioco dei dadi a Palamede [ Ciclo Troiano ( età arcaica ), Euripide ( 485-406? a.C. ), Aristofane (445 - fin oltre il 384 a.C., data di nascita di Aristotele e Demostene ) ], nella mitologia uno dei tre figli di Nauplio , fondatore della città di Nauplia e figlio di Poseidone; Palamede ebbe per madre Climene, figlia di Catreo concepito da Pasife, moglie di Minosse, mitico re di Creta, e madre del Minotauro. I greci collegavano il nome Palamede al verbo , che indica l’azione di ordire, macchinare, riferita all’astuzia e all’invenzione. Fu Palamede a smascherare la finzione di Odisseo quando, per sottrarsi all’obbligo di partire per la guerra di Troia, simulò di essere pazzo mostrandosi nell’atto di arare la sabbia ( o un campo ) per seminarvi sale; Palamede non si lasciò ingannare da questo stratagemma e pose il piccolo Telemaco davanti all’aratro ( o lo minacciò con la spada ), costringendo Odisseo a desistere dall’inganno. Per questo motivo Odisseo lo odiò e durante la guerra si vendicò di lui facendo in modo che venisse ritenuto colpevole di tradimento e lapidato; morendo esclamò “Verità, tu moristi prima di me!“. Si legge in Euripide [ Palamede, Fr. 588 N2, facente parte della tetralogia : Troiane, Alessandro (Paride), Palamede e Sisifo ] “ ..avete ucciso, o Danai, il tutto-saggio..”.
Che il gioco dei dadi fosse in uso presso i Greci lo si può ricavare dalle numerose raffigurazioni del gioco sulle anfore e sui lekythos del ceramico corinzio e attico e dalle frequenti citazioni letterarie: nel passo appartenente al prologo ( versi 1-95 ) della MEDEA di Euripide “ Pedagogo : Dopo essermi avvicinato ( al luogo in cui giocano ) ai dadi, dove siedono i più anziani, vicino alla sacra fonte di Pirene…..sentii un tale che diceva che Creonte, sovrano di questa terra, ha intenzione di scacciare da Corinto questi bambini con la loro madre...” ; e ne Le rane di Aristofane, nella disputa per la supremazia tra Eschilo ed Euripide con Dioniso come arbitro ironico e pungente, dove peraltro per bocca di Dioniso viene detto “ Achille gettò ai dadi due uno e un quattro “, leggiamo: “ Oh natura sapientissima. Oh Palamede! “. Da ciò si ricava la sua qualità antonomastica, ovvero la prestanza intellettuale, che lo fece ritenere l’inventore di alcuni segni dell’alfabeto, dei numeri, dell’uso delle monete e del calcolo della durata dei mesi oltre che del gioco dei dadi, che avrebbe ideato negli anni dell’assedio di Troia durante una carestia, per impedire che si pensasse troppo al cibo.
Secondo Erodoto ( 490/480 – 420/10? a.C. ) invece, per una identica ragione, furono i Lidi ad inventare il gioco dei dadi. Si legge [ Le Storie, libro I, 94 ] : “ Al tempo di ( Re ) Atis, figlio di Mane ( e della ninfa oceanina Calliroe ), una tremenda carestia si sarebbe abbattuta su tutta la Lidia ( Asia Minore, oggi Turchia ): per un certo tempo i Lidi avevano resistito a condurre la solita vita; ma poi…..s’erano dati a cercare dei rimedi….Così sarebbero stati allora scoperti i dadi, gli astragali, la palla e altre specie di giochi, tranne gli scacchi…. Per un’intera giornata si davano al gioco, per non essere indotti a cercare il cibo; il giorno seguente interrompevano i giochi e mangiavano… così per diciott’anni..”.Ed è certo ancor più riprovato che i Lidi avessero l’usanza del gioco, se è vero che deve il proprio al loro stesso nome: in latino gioco si dice Ludus e in greco i Lidi sono detti .
Gli antropologi tuttavia hanno smentito tutte queste paternità, da quando furono rinvenuti dadi rituali appartenenti a tempi preistorici, un dado cubico risalente al 2000 a.C. con le facce numerate da 1 a 6 rinvenuto in Egitto, ed altri in Cina e nelle Americhe.
Il gioco ebbe poi grande fortuna anche presso i Romani: ufficialmente era illegale, tranne che in occasione dei Saturnali.
L’esito incerto nel lancio dei dadi è richiamato nel De Divinatione ( II, 59 ) di Cicerone:
“Cosa c’è di più incerto del lancio dei dadi. Eppure ci sono giocatori che, a volte, ottengono una venere ( = quattro dadi con facce diverse ) e persino due o tre volte di seguito. “

Il gioco resta tuttavia concepito in base alla previsione dell’uscita di un numero ed è inevitabile che i giocatori vengano indotti a riflettere su quali possano essere i numeri più propizi su cui puntare e quali quelli da escludere.
Ai tempi di Dante la teoria della probabilità modernamente intesa era ancora di là da venire, e tuttavia, pur senza voler sostenere che nei versi citati se ne possa intravedere una vera e propria anticipazione, è lecito riconoscere, nell’atteggiamento del giocatore perdente che riflette sulla frequenza delle uscite di certi numeri, un’idea embrionale di probabilità frequentista .
Esaminiamo i versi insieme ad alcuni commenti agli stessi che, insieme alle riportate regole del gioco, ne offrono alcuni elementi interpretativi.
Leggiamo in nota nella Divina Commedia della Biblioteca Classica in dispense ( 85 ) il commento del Buti:
“E nota che questo gioco si chiama zara per li punti divietati, che sono in tre dadi esclusive da sette in giù e da quattordici in su; e però quando vegnano quelli punti, diceno li giocatori: Zara; quasi dica: Nulla, come Zero nell’abaco, e questi sono vietati, perché non hanno tre parità come ha sette e quattordici e li punti che sono in quel mezzo.”
Leggiamo in nota nella Divina Commedia(La Nuova Italia Editrice) il commento del Sapegno:
“Il gioco si faceva gettando su un tavoliere tre dadi e consisteva nell’indovinare in anticipo i numeri risultanti delle loro possibili combinazioni. Quei numeri, al disotto di 7 e al di sopra del 14 , come il 3, il 4, il 17 e il 18, che potevano nascere da una sola anziché da più combinazioni, erano considerati nulli.. “
Sui numeri divietati, secondo il Buti, non si può puntare, in quanto, come anche dice Bruno D’Amore , sono da considerare come valori neutri, come in una roulette con lo zero e senza banco: se escono si dice zero e si ripete il lancio. Bruno D’Amore (1), commentando i commenti, compreso quello dell’Enciclopedia Dantesca, che alla voce “zara”riporta :”Erano considerati nulli [….] i numeri ottenibili con una sola combinazione tra i tre dadi ( ossia i due numeri più bassi e i due numeri più alti possibili: 3 e 4, 17 e 18 per il gioco dei tre dadi )”, deplora la presenza dell’errore matematico che compare in tutti quanti; l’analisi del gioco è facile: il 10 e l’11 sono i numeri che hanno probabilità maggiori di uscire, mentre il 3 e il 18 hanno in effetti probabilità 1/216( 1/ tanti quanti sono gli eventi possibili ), in quanto la loro possibilità di uscita è unica, ma ciò non accade per il 4 e il 17 che già hanno probabilità di uscita tripla.
Va comunque precisato che quando il Buti parla di parità o il Sapegno di combinazioni o l’Enciclopedia Dantesca di possibilità dobbiamo considerare questi significanti non con il significato che possono assumere nella teoria della probabilità, ma piuttosto in relazione alle modalità di ottenere il numero su cui si punta con i valori numerici presenti sulle facce dei dadi, dal momento che, al tempo di Dante non si ragionava a priori in base al calcolo dalle probabilità, ma caso mai in base alla possibilità di formare il 3, il 4, il 5 e così via tutti gli altri, con i numeri presenti sulle facce dei dadi; senza pensare quindi a disposizioni e permutazioni, ma Repetendo le volte, ripensando cioè ai numeri usciti nelle gettate dei dadi( come commenta il Serravalle, con il 3 e il 4, il 17 e il 18 rarius e con il 5 e il 6, il 15 e il 16 rare i quali vengono detti habere malas voltas , sed voltae (quelli tra il 7 e il 13) quae sunt inter tredecim et sptem dicuntur bonae voltae [numerus punctorum vocatur volta ] ). Nel commento alla Commedia di Giovanni della Lana ( 1325 ) si legge :”Quel numero che in più modi può venire quella è detta la miglior volta di ragione” .

Tanto per capirci, non appare diverso, una volta che i dadi fossero per terra fermi dopo il lancio, per esempio per quanto riguarda il 4, l’effetto visivo dell’ {1,1,2} da quello dell’ {1,2,1} o da quello del {2,1,1}; veniva semplicemente rilevata come unica parità, possibilità, combinazione, modalità, per ottenere il 4, quella propiziata da un 2 e da due 1; e se questo certamente non è calcolo delle probabilità, è propriamente il modo di ragionare, storicamente contestualizzato, dei giocatori di quei versi del Purgatorio.
A questo punto si può facilmente intuire la ragione che determinò nel gioco la regola dell’esclusione dei numeri 3, 4, 17 e 18, dal momento che qualsiasi giocatore non sprovveduto, seppur privo di una conoscenza corretta del calcolo della probabilità, non avrebbe mai puntato su quei numeri poiché la semplice esperienza ( probabilità frequentista? ), per quanto ingenuamente empirica, o una corretta valutazione sulle modalità possibili delle terne di numeri, mettevano in risalto che quei numeri uscivano, e non potevano che uscire, molto più raramente degli altri; da qui l’inutilità di considerarli parte del gioco.
Per la precisione bisogna dire però che il 7 non ha tre parità come dice il Buti, ma quattro ( 3+2+2; 4+2+1; 3+3+1; 5+1+1,), e con il 7 il 14 ( 5+5+4; 4+4+6; 6+6+2; 6+5+3 ). E li punti che sono in quel mezzo, ancora contrariamente a quanto afferma il Buti, di parità ne hanno ben di più e in diversa quantità; per esempio l’ 8 ne ha 5 : 3+3+2; 4+3+1; 5+2+1; 6+1+1; 4+2+2 ; il 9 ne ha 6 : 7+1+1; 6+2+1; 5+2+2; 4+3+2; 3+3+3; 4+4+1; e così via.
In ogni caso, alla luce delle precedenti osservazioni, per quanto ovviamente sia condivisibile la critica, sotto il profilo matematico, che B. D’Amore rivolge ai vari commentatori, possiamo a loro favore ( attenuante ? ) attribuire una sorta di identificazione con la realtà storica e con l’atteggiamento mentale dei giocatori, nella descrizione del gioco.
L’analisi del gioco venne correttamente effettuata, in termini non ancora probabilistici, da Galileo che, nel trattato “ Sopra le scoperte dei dadi (2)“risolve finalmente la questione in seguito alla richiesta a lui posta dal Granduca di Toscana, dalla quale si può intuire come il modo di pensare matematico del tempo ai numeri di puntata fosse ancora limitato all’aspetto della modalità, intesa come terna costituita dai numeri dalla cui somma è possibile ottenere un numero dato. La richiesta era stata formulata più o meno così:
“Come mai il 10 e l’11 escono più frequentemente del 9 e del 12 pur essendo lo stesso il numero delle combinazioni per ottenerli? ( combinazioni, in questo contesto = gruppo di tre numeri che devono dare come somma un numero dato )”
Nella risposta Galileo esordisce dicendo:
“ Che alcuni punti nel gioco dei dadi sieno più vantaggiosi di altri, vi ha la sua ragione assai manifesta, la quale è il poter quelli più facilmente e più frequentemente scoprirsi che questi, il che dipende dal potersi formare con più sorte di numeri, onde il 3 e il 18, come punti che in un sol modo si possono con tre punti comporre.”
E poi esamina la questione spiegando che in realtà, analizzando tutti i possibili punteggi ottenibili con il lancio di tre dadi, sia il 10 che l’11 si possono ottenere in 27 modi diversi, mentre il 9 e il 12 in soli 25 modi diversi ; vediamolo :
Prima di proseguire dobbiamo renderci conto che, per ottenere un dato numero sommando i tre numeri che si presentano sulle tre facce dei dadi , ciascuno di questi numeri può uscire su un dado, oppure sull’altro o sull’altro ancora, purché, indipendentemente dal dado sul quale sono usciti, l’evento complessivo sia quello che siano usciti tutti e tre. Partendo da questa osservazione prendiamo in esame, tanto per cominciare, come possono andare le cose per il 3, il 4, il 5, il 6 e il 7 :

A questo punto possiamo ritenere, esaminata la tabella, di poter applicare il seguente criterio:

1. Se il numero da ottenere è ricavabile dalla somma di tre numeri uguali, c’è un solo modo per farlo.
2. Se il numero da ottenere è ricavabile dalla somma di due numeri uguali e da un altro numero, i modi per farlo sono tre.
3. Se il numero da ottenere è ricavabile dalla somma di tre numeri diversi, i modi per farlo sono sei.
   

Se chiamiamo ordinamenti possibili degli elementi di un insieme finito tutti i gruppi che si possono fare prendendo tutti gli elementi dell’insieme dato, purché ciascun gruppo differisca dagli altri per il modo con il quale gli elementi sono stati ordinati, potremmo dire che:

• Gli ordinamenti su tre numeri uguali sono pari a 1
• Gli ordinamenti su tre numeri, due dei quali sono uguali, sono pari a 3
• Gli ordinamenti su tre numeri tra loro diversi sono pari a 6

Applichiamo i l criterio individuato agli altri numeri che si possono ottenere con i tre dadi:

Athena osserva Achille e Aiace che giocano a dadi. Secondo quarto del V sec. a.C.

In totale gli ordinamenti ( gli eventi ) possibili sono 216
Questo dato avremmo anche potuto ricavarlo così :
Facendo un tiro con un dado i casi possibili sono 6; facendo due tiri consecutivi ( o tirando due dadi ) ad ognuna delle sei possibilità del primo tiro ( o del primo dado ) si accoppia ciascuna delle sei possibilità del secondo tiro o del secondo dado e i casi possibili diventano
6 x 6 = 6² = 36; se poi i tiri o i dadi sono tre avremo 6 x 6 x 6 = 6³ = 216 possibilità. Per n tiri o n dadi 6ⁿ possibilità.
Negli ordinamenti della fascia gialla si ritrova il calcolo puramente matematico che fece Galileo per rispondere alla questione che gli era stata posta. Con il calcolo del rapporto F/t tra i casi “ Favorevoli “ e “ tutti i casi possibili “ si calcola quella che si chiama “ PROBABILITA’ CLASSICA o A PRIORI “ dell’evento.
L’esperienza ( Probabilità frequentista ) finisce per confermare la previsione della ragione, e i nostri giocatori, solo confrontando la quantità delle uscite dei vari numeri in base al numero delle giocate potevano riconoscere che la frequenza d’uscita di certi numeri era maggiore o minore di quella di altri; il criterio della probabilità frequentista, quindi, non poteva che essere presente in forma abbastanza consapevole a tutti i giocatori di dadi.

(1) Docente universitario di didattica dalla matematica. (up)

(2) VIII volume della Edizione Nazionale, pag. 591 – 595. (up)