<< Capitolo precedente Indice Capitolo successivo >>

1. Pitagora disse: "Tutto è numero".

1.1 Introduzione.

Pitagora, profeta e mistico nato a Samo (1) intorno al 580 a.C., dopo lunghe peregrinazioni in Egitto e Babilonia e forse anche in India - durante le quali non solo raccolse informazioni matematiche e astronomiche, ma fece sue anche molte credenze religiose (2) - verso il 530 a.C. si stabilì a Crotone e vi fondò la sua Scuola.
Essa prosperò per una trentina d'anni, fino a che i Pitagorici , dopo aver stretto un'alleanza con la fazione aristocratica, furono perseguitati e cacciati dal partito democratico, la scuola fu bruciata e Pitagora fuggì a Metaponto, dove morì poco dopo.

Attraverso quale tipo di scoperta Pitagora giunse alla convinzione contenuta nella famosa massima:

TUTTO E' (NUMERO) RAZIONALE ?

1.2 Il racconto di Giamblico.

Le circostanze che furono fonte di ispirazione per Pitagora sono talmente casuali da costringere ad intravedere in controluce il disegno del destino. Secondo quanto racconta Giamblico, " … mentre passava dinanzi all'officina di un fabbro, per sorte divina udì dei martelli che, battendo il ferro sopra l'incudine, producevano echi in perfetto accordo armonico tra loro, eccettuata una sola coppia. Egli riconobbe in quei suoni gli accordi di ottava, di quinta e di quarta e notò che l'intervallo tra quarta e quinta era in se stesso dissonante ma tuttavia atto a colmare la differenza di grandezza tra i due. Rallegrato che con l'aiuto di un dio il suo proposito fosse giunto a compimento, entrò nell'officina e dopo molto prove scoperse che la differenza nell'altezza dei suoni dipendeva dalla massa dei martelli " (3) e dal rapporto intercorrente tra le stesse, che era di 1 a 2 per i martelli che davano l'ottava, di 2 a 3 per quelli che davano la quinta, di 3 a 4 per quelli che davano la quarta e di 8 a 9 per il tono. Tornato a casa, fissò un palo da angolo ad angolo diagonalmente in una stanza e vi appese quattro corde di uguale lunghezza materia e spessore, tese da pesi che avevano tra loro i rapporti dei martelli uditi in officina (i pesi erano di 6 unità, 8, 9 e 12). Facendo vibrare a coppie le corde così tese, ottenne le note consonanze.

1.3 La tetratti babilonese e i rapporti armonici.

Qualche perplessità sulla veridicità del racconto di Giamblico, così pittoresco, può essere avanzata pensando che, sin dai tempi più remoti, ciascun popolo ebbe una propria musica e un proprio strumentario e i principali rapporti numerici degli intervalli musicali dovevano di certo essere noti prima dei Pitagorici. Giamblico stesso racconta (4) che Pitagora avrebbe riportato da Babilonia in Grecia la "perfettissima" delle proporzioni, costituita dalla tetratti (6, 8, 9, 12) che ritroviamo intera nell'episodio appena citato e che riassume in sé tutti i rapporti essenziali per la scala armonica : l'ottava risulta essere un accordo di forma duplice, ossia

  • come prodotto di quinta e quarta unite, così come il rapporto 2 : 1 è il prodotto del rapporto emiolico con il rapporto epitritico e ed è tale da costituire una proporzione armonica del tipo 12 : 8 : 6. Infatti:

  • ovvero, al contrario, come prodotto di quarta e di quinta, così come il rapporto 2 : 1 è il prodotto di e a cui si può associare la proporzione continua 12 : 9 : 6. Analogamente:


Si noti come l'insieme dei due ordini (12, 8, 6) e (12, 9, 6) riporti all'intera serie babilonese (12, 9, 8, 6): si tratta di una proporzione discontinua, la somma dei cui termini più l'unità dà il ben noto numero 36, dove l'1 è aggiunto perché origine (inizio-principio) di tutti i numeri.
Nei codici pitagorici i rapporti di scala vengono rappresentati con il seguente grafico:


La scala risulterebbe di 5 toni e 2 semitoni (5) . Pitagora assegnò all'hypata ("ciò che regge") - il suono più grave dell'accordo diatonico dorico - il valore 6, alla mese ("nota media") il valore 8, alla paramese il 9 e alla nete - il suono più acuto - il 12. Sottolineò anche che l'intervallo tra la quinta e la quarta (6) era da considerarsi come l'elemento metrico della scala (=1 tono).

1.4 Il racconto di Giamblico è una favola?

Un' osservazione a cui dare il giusto rilievo è legata al fatto che ora sappiamo che l'altezza di un suono aumenta non in proporzione ai pesi ma alla loro radice quadrata: se si designa con 1 il suono che corrisponde al peso 1, per aversi l'ottava bisognerà non raddoppiare il peso, ma quadruplicarlo. Questo fatto può indurre a pensare che l'episodio narrato da Giamblico sia una sorta di favola suggestiva, ma parimenti si potrebbe ritenere che sia stato solamente "sfigurato", osservando che Pitagora avrebbe potuto ottenere quegli intervalli se le corde tese da pesi uguali fossero state di lunghezze variabili secondo quei rapporti di peso (7).
Pitagora potrebbe aver prima determinato le varie lunghezze delle corde rispondenti agli intervalli e poi aver pensato a determinare i pesi necessari a produrre, in una stessa corda, quegli intervalli (8). Non si può escludere, infatti, che il grande matematico, nonché esperto di musica, cercasse di costruire uno strumento che potesse essere di aiuto all'orecchio, così come il compasso, il regolo e la livella lo sono per la vista, in modo da supplire alla debolezza dei sensi nello stabilire le consonanze, quanam ratione firmiter et constanter consonantiarum momenta perdisceret. Boezio, I.
La questione fu a lungo dibattuta con conclusioni a volta fantasiose.

1.5 Coincidenza tra musica - matematica - natura.

Principio fondante della teoria musicale pitagorica è che il numero, come sostanza del mondo, è il modello originario di tutte le cose: insieme alle figure geometriche, che vengono intese come l'elemento sostanziale di cui consistono i corpi, esso costituisce, nella sua perfezione ideale, l'ordine contenuto nell'universo.
Il significato aritmetico e geometrico risultano fusi poiché la misura presuppone sempre una grandezza spaziale ordinata - e quindi geometrica - insieme al numero che l'esprime. A tal proposito, la figura del tetraktys, figura sacra su cui i Pitagorici avevano l'abitudine di giurare, esprime il vero significato del numero pitagorico: il numero 10, rappresentato come triangolo che ha il 4 come lato, costituisce una disposizione geometrica che è espressa in numeri ed esprime essa stessa un numero.

L'ispirazione iniziale e fortuita, quindi, fu il primo passo di un lungo percorso verso l'interpretazione del mondo che portò P. a costruire un complesso impianto teorico basato sulla sostanziale coincidenza tra MUSICA - MATEMATICA - NATURA:

  • i tre generi di musica, quella cosmica, quella umana e quella strumentale diventano il tema dominante della speculazione pitagorica e poi platonica (9), in cui il modello dell'universo è costruito in base ai rapporti armonici degli accordi musicali che diventano parte della struttura costituente l'anima del mondo;
  • il principio cosmico di numero - rapporto - armonia si traduce nell'affermazione della possibilità da parte dell'uomo di comprendere le leggi della natura e di poterle descrivere tramite il logos (10).

(1): Una delle isole del Dodecanneso, non lontana da Mileto, patria di Talete. Top

(2): Va detto che P. era coevo di Buddha, di Confucio e di Lao-Tse; il secolo in cui visse fu un periodo critico nello sviluppo della religione, oltre che della matematica. Top

(3): Giamblico: La vita di Pitagora, pag. 60. Top

(4): Giamblico commentò l'opera di Nicomaco di Gerasa Introductio arithmetica, che era stata tradotta in latino da Apuleio. Accanto a Moderato di Cadice, Nicomaco (II sec. d.C.) è una fonte importante per il neopitagorismo e il neoplatonismo. Scrisse una Introduzione all'armonia non pervenuta per intero; la si poté ricostruire in base ad alcuni Excerpta conservati su una breve raccolta di brani scelti che ne riassumeva i concetti salienti e in base all'adattamento che Boezio ne fece nel De instituzione musica. Egli scrisse anche una "teologia aritmetica" in cui riaffermava il carattere ontologico dei numeri come forme e archetipi delle cose: l'aritmetica era vista come una conoscenza iniziatica di carattere religioso, momento fondamentale per l'unione con Dio, identificato con l'uno. (cfr. Chadwick - Boezio -pgg 101, 102). Top

(5): Se dal tono si sottrae il semitono minore si ha come residuo il semitono maggiore pitagorico che supera il minore di un comma pitagorico. La soluzione matematica del temperamento (correzione), ottenuta con la divisione dell'ottava in 12 semitoni uguali, venne individuata solo nel XVIII sec. con l'attribuzione di un valore irrazionale al semitono. Per esempio, l'intervallo DO - RE viene così suddiviso: DO - DO# + DO# - RE, oppure DO - Reb + Reb - RE. Top

(6): E' detto iperottavo (superottavo) = 1 + 1/8 = 9/8, anche pari al quoziente tra quarta e quinta: 9/8 = 3/2 : 4/3. Top

(7): E. Montucla : Histoire de Mathematique 1758, I, 123 (cfr. Capparelli : La sapienza di Pitagora - II, pag. 627). Top

(8): Doveva solo aumentare gradatamente quei pesi fino a che la corda rendesse, con un'altra corda tesa dal peso base, quello stesso intervallo. Top

(9): Platone, riprendendo l'idea pitagorica, racconta nel Timeo come il Demiurgo abbia concepito il cosmo a sua immagine in base alle leggi dell'armonia musicale. Top

(10): Significante greco che riassume in sé, nella teoria pitagorica, tutti i significati di parola, ragione come ragione delle cose, causa, legge, rapporto e proporzione, significati che si ritrovano nel termine latino ratio nell'accezione di calcolo, misura, rapporto, ragione, causa e spiegazione, teoria, principio razionale…(rationem subiscere = spiegare perché - Cicerone). Si può riconoscere quindi come il termine logos, il verbo, possa essere stato considerato come l'organo creatore della divinità: "In principio era il verbo". Top