Matematica e... Calcolatori mentali

di Federico Peiretti

1.  Calcolatori prodigio del passato

2.  Calcolatori moderni

3.  Il nuovo campione

4.  I matematici in difficoltà nei calcoli

5.  Tecniche e trucchi per il calcolo mentale

6.  Il segreto dei calcolatori prodigio giapponesi

7.  In libreria e in rete

1.  Calcolatori prodigio del passato

Chi potrebbe immaginare oggi un calcolatore prodigio, fra Carlo Verdone o Gigi Proietti, uomo di spettacolo, con alto indice di gradimento? Eppure succedeva, in un passato neanche molto lontano, fino a cinquant’anni fa, quando i calcolatori prodigio riempivano i teatri di tutto il mondo. E il più popolare era un piemontese, Giacomo Inaudi, nato nel 1867 a Roccabruna, un bel paesino del cuneese, vicino a Dronero. Sembra che a sette anni fosse già in grado di fare a mente moltiplicazioni di cinque cifre.  Persa la madre, ancora giovanissimo, se ne andò con il fratello maggiore in Provenza. Il fratello suonava la fisarmonica e lui, facendosi accompagnare da una marmotta, passava a raccogliere i soldi fra la gente. Per aumentare gli incassi, chiedeva ai passanti di sottoporgli lunghe e complicate operazioni di calcolo, che risolveva a mente tra lo stupore generale.
In seguito fece il cameriere in un caffè di Marsiglia e diventò popolare per la sua abilità nel fare a mente i conti degli avventori e operazioni impossibili. Scoperto  da un grande impresario, passò dal caffè al teatro, proseguendo a livello internazionale la sua prestigiosa carriera, al termine della quale si ritirò alla periferia di Parigi, dove morì nel 1950. In un vecchio libro di presentazione del paese di Roccabruna, viene segnalato tra i roccabrunesi illustri:
“Era alto m. 1,52, corpo massiccio, di carattere dolce e modesto, usava tenere un atteggiamento riservato […] A 22 anni si esibì a Parigi nel teatro di Houdin ottenendo un successo straordinario […] Nel 1926 lo troviamo ancora in Francia, dove viene segnalato nelle riviste enciclopediche e dal prof. M. Lebesgue in un libro di introduzione alla teoria sui numeri”. A Roccabruna gli è stata dedicata una via: “Fu un genio della matematica” recita la motivazione, un po’ esagerata.
Le operazioni che Inaudi eseguiva in teatro, impiegando normalmente una decina di minuti per risolverle tutte, erano le seguenti:

1. una sottrazione fra due numeri di ventun cifre
2. un’addizione di cinque numeri di sei cifre ciascuno
3. il quadrato di un numero di quattro cifre
4. la divisione di due numeri di quattro cifre
5. la radice cubica di un numero di nove cifre
6. la radice quinta di un numero di dodici cifre

Inaudi iniziava ripetendo, ad alta voce, le cifre proposte dagli spettatori, mentre un assistente le scriveva su una lavagna, alla quale egli voltava le spalle. Successivamente l’assistente scriveva i risultati che Inaudi gli dettava e alla fine il calcolatore prodigio ripeteva, sempre senza guardare la lavagna, tutte le cifre che erano state scritte, in genere da trecento a quattrocento, fra gli applausi del pubblico.
Nel 1880 Inaudi venne esaminato dall’antropologo Pierre Paul Broca che scrisse: “Il ragazzo è molto intelligente, il suo sguardo è vivo e la sua fisionomia animata. Non ha alcuna timidezza, non sa scrivere né leggere. Ha i numeri in testa, ma non li scrive.

Un autografo di Giacomo Inaudi, quando finalmente imparò a leggere e scrivere.
Immagine da http://users.lk.net/~stepanov/mnemo/binetf.html

Jedediah Buxton, immagine da http://www.peaklandheritage.org.uk

Prima di Inaudi, fin dal Settecento, alcuni calcolatori prodigio avevano raggiunto una certa notorietà, come Tom Fuller, uno schiavo negro portato in Virginia all’età di 17 anni e soprannominato “Il calcolatore della Virginia”. In merito alla sua abilità di calcolo si racconta che un giorno, quando aveva già settant’anni, gli venne chiesto a bruciapelo quanti secondi ci fossero in un anno e mezzo. Fuller rispose, in meno di due minuti, 47 304 000. Subito dopo gli venne chiesto quanti secondi aveva già vissuto un uomo di settant’anni, diciassette giorni e due ore. Fuller rispose velocemente 2 210 800 800.

Jedediah Buxton, contemporaneo di Fuller, era invece un operaio inglese  che non aveva mai frequentato una scuola e non era neppure in grado di fare la propria firma. Oltre alla sua straordinaria abilità di calcolatore mentale, riusciva a misurare grandi distanze e superfici, percorrendole a piedi con passo regolare, sempre uguale. E’ stato per questo, molto probabilmente, l’ultimo dei bematisti, come si chiamavano nell’Antica Grecia i misuratori di distanze per mezzo del passo o bema, l’unità di misura del passo appunto, corrispondente a 0,74 metri. Buxton venne studiato dal celebre neurologo Oliver Sacks, che scrisse: “Quando gli chiesero quanto sarebbe stato necessario pagare per ferrare un cavallo fantastico con 140 zoccoli, se il prezzo fosse stato di un farthing (antica moneta da un quarto di penny) per il primo ferro, il doppio per il secondo  e così via, sempre raddoppiando, per i ferri successivi:
725.958.096.074.907.868.531.656.993.638.851.106 sterline, 2 scellini e 8 penny – rispose prontamente Buxton.

E analfabeta era anche un ragazzo siciliano cieco, figlio di  un pastore, soprannominato “Mangiamele”. Nel 1837, quando aveva dieci anni, venne accompagnato a Parigi per essere esaminato dai membri della Académie des Sciences. Riportiamo una delle operazioni che gli sottoposero: “Se prendiamo un numero e sommiamo il suo cubo a 5 volte il suo quadrato e a 43 volte il numero stesso e sottraiamo poi 40 al risultato, otteniamo zero. Qual è questo numero?” Mentre Arago, uno dei membri dell’Accademia, stava ancora ripetendo la domanda, Mangiamele rispose: “E’ il numero 5!”.

Ma il primo calcolatore, uomo di spettacolo,  è stato Zerah Colburn, un americano celebre per avere mani e piedi con sei dita, invece di cinque, il quale si esibì nei teatri di tutto il mondo. Aveva otto anni quando venne portato a Londra dove stupì il pubblico, che era venuto al suo spettacolo, risolvendo correttamente e in pochi secondi operazioni di questo genere: la sedicesima potenza di 8, la radice quadrata di 106.929, la radice cubica di 268.336.125, il numero dei secondi in 48 anni.
In Inghilterra, nel 1818, all’età di quattordici anni si trovò di fronte, in una storica sfida, un altro celebre calcolatore prodigio, un ragazzo inglese di dodici anni, George Parker Bidder, figlio di uno scalpellino. A vincere la sfida, secondo i resoconti americani, fu Colburn, secondo gli inglesi fu Bidder. Quest’ultimo ebbe poi una brillante carriera come ingegnere civile.

George Parker Bidder, 1806 – 1878, a sinistra, all’età di nove anni e Zerah Colburn, 1804 – 1840, a destra all’età di otto anni. Immagini da http://www.scienceandsociety.co.uk/

2.  Calcolatori moderni

Oggi i calcolatori mentali non fanno più spettacolo, ma è ancora impressionante vederli all’opera, su calcoli che sono diventati sempre più complicati. Fra i grandi campioni ricordiamo il russo Jakow Trachtenberg (1888 - 1953) noto per aver inventato il Metodo Trachtenberg, per lo sviluppo del calcolo mentale, un metodo che aveva potuto approfondire durante la sua prigionia in un lager nazista, dov’era stato rinchiuso nel periodo della Seconda Guerra mondiale, come prigioniero politico. Dopo la guerra si stabilì in Svizzera, dove iniziò a insegnare le sue tecniche di calcolo mentale e divenne presto molto popolare. Ebbe un successo particolare con i bambini che avevano difficoltà con il tradizionale metodo di insegnamento della matematica. Nel 1950 fondò a Zurigo il Mathematical Institute, noto a livello internazionale per i suoi metodi di insegnamento.

Shakuntala Devi

Shakuntala Devi, nata in India, a Bangalore, nel 1939, è invece una delle rare donne riconosciute come calcolatrici prodigio. Tra i suoi record, il calcolo, in 28 secondi di un prodotto di due numeri di 13 cifre, scelti a caso da un computer:
7.686.369.774.870 x 2.465.099.745.779.
La sua risposta corretta è stata:
18.947.668.177.995.426.462.773.730.
“Che ci crediate o no, non ho mai imparato a usare il computer – afferma Devi, che più che matematica si autodefinisce matemagica e aggiunge – Lo scopo della mia vita è di convincere tutti, in particolare i bambini, che la matematica è divertente, che è un’esperienza affascinante. E al centro dell’insegnamento della matematica ci deve essere per noi la matematica vedica in modo da salvare la gloriosa tradizione della matematica indiana”.

Tathagat Avatar Tulsi

Un altro grande campione è ancora un indiano, Tathagat Avatar Tulsi, nato a New Delhi nel 1987, abilissimo calcolatore mentale, che all’età di 12 anni aveva già conseguito  il “Master of Science” universitario in Fisica. Ed è entrato per questo nel Guiness dei primati come “Youngest Masters Graduate”. "Personalmente non ho alcun interesse per la matematica pura – dichiara – Voglio andare oltre e studiare la realtà per il bene dell’umanità”.

L’ultimo calcolatore prodigio che ha ancora avuto la fortuna di esibirsi in teatro è stato William Klein, nato ad Amsterdam nel 1912. Il suo interesse per i calcoli iniziò quando aveva otto anni e scoprì la fattorizzazione. “A scuola – ricorda  Klein – dovevamo scomporre i numeri in fattori fino a 500. Poi continuai per conto mio fino a 10.000, 15.000, 20000.  Poiché si ottengono sovente combinazioni simili di fattori, è logico che sappiamo, ad esempio, che 2.537 è 43 per 59, e stiamo facendo una piccola esibizione per la nonna dei vicini che festeggia gli ottant’anni, e loro ci chiedono quando fa 43 per 59, rispondiamo  immediatamente 2.537”. Klein si esibì nel primo dopo guerra come calcolatore prodigio truccato da fachiro indiano, con barba finta. Non parlava mai e scriveva i risultati su una lavagna, mentre un suo assistente li declamava. Proseguì poi la sua carriera al seguito di una compagnia teatrale. Nel 1949, quando era a Bruxelles, perse tutti i suoi risparmi e ripartì da zero, adattandosi a girare fra i nightclub e le birrerie della città con un amico che suonava la chitarra: “Poi entravo io con i miei numeri e le mie operazioni – ricorda Klein – mentre il mio amico girava fra i tavoli con il cappello in mano”.
Nell’estate del 1958, durante una tourné in Svizzera, andò a visitare il CERN, il Centro Europeo per la Ricerca Nucleare, dove riuscì a farsi assumere e dove rimase per diciotto anni. “Dal 1958 al 1965, quando i computer non erano ancora molto sviluppati – ricorda Klein – avevo molto lavoro da svolgere con i fisici del Centro che non erano in grado di trovare il software necessario per le loro ricerche né di realizzarlo personalmente. Poi le cose cambiarono, quando i giovani fisici impararono a produrre il software di cui avevano bisogno. Ma nessuno ebbe mai l’idea di chiedere il mio licenziamento, se non altro per problemi di pubblica immagine”.
J.Bernstein, che lo ha incontrato al CERN, così lo ricorda: "Nell'estate del 1961 a Ginevra mi capitò di lavorare con William Klein, programmatore e analista numerico del CERN, uno dei più veloci calcolatori umani che siano mai vissuti. Passavo l'estate studiando fisica al CERN e lavoravo con un amico a un certo problema; dopo circa una settimana eravamo giunti a una formula algebrica, ammirevole per diversi aspetti, che desideravamo calcolare. Il CERN aveva a disposizione un grosso calcolatore Ferranti Mercury, ma dato che a quel tempo non sapevamo nulla sui calcolatori chiedemmo aiuto e arrivò Klein. Guardò per pochi secondi la nostra formula borbottando qualcosa in olandese e poi ci diede dei valori numerici per alcune delle parti più difficili di essa; ciò gli serviva, disse, per impostare nella maniera più efficace il programma per il calcolatore”.
Nel 1974, Klein si appassionò al problema dell’estrazione di radice per grandi numeri. Tra i suoi record, nel 1974, l’estrazione della radice 23ma di un numero di 200 cifre in 18 minuti e 7 secondi, nel 1975 ridusse il suo tempo a 10 minuti e 32 secondi. Continuò poi a migliorare i suoi risultati, arrivando nel 1981 al  National Laboratory for High Energy Physics di Tsukuba in Giappone a calcolare la radice tredicesima di un numero di 100 cifre in 1 minuto e 28,8 secondi.

3.  Il nuovo campione

Alexis Lemaire

Ora il campione mondiale di calcolo mentale, entrato giustamente nel Guiness dei primati, è uno studente d'informatica francese, Alexis Lemaire, 24 anni di Reims. La notizia è recente: il 3 giugno del 2005, in  267,765 secondi, meno di cinque minuti, ha estratto la radice tredicesima di un numero di 200 cifre, scelto a caso da un computer, dopo 577 tentativi. Testimoni d’eccezione i due matematici Jean-Paul Delahaye et Stanislas Dehaene. L’occasione è stato il Sesto Salone della cultura e dei giochi matematici, organizzato a Parigi dal CIJM, Comité international des jeux mathématiques. La prova si è svolta in questo modo: davanti a Lemaire scorrevano i numeri casuali presentati dal computer e lui li poteva scartare oppure tentare una risposta. La risposta esatta è arrivata dopo una sequenza di 577 numeri. Suo era già il record precedente ottenuto il 6 aprile del 2005, con 513 secondi, dopo 742 tentativi, per lo stesso tipo di operazione, e aveva già stupito l’ambiente matematico quando nel dicembre del 2004 aveva battuto il record mondiale del tedesco Gert Mittring, calcolando la radice tredicesima di un numero di 100 cifre in 3,62 secondi, contro i 13,55 secondi di Mittring. Il primo record registrato nel Guiness per lo stesso tipo di operazione è del 1970: 23 minuti.
Successivamente, sempre con numeri di cento cifre, come abbiamo già visto, William Klein, era arrivato nel 1981 a 1,29 minuti. Ma nessuno prima di Lemaire aveva mai tentato di calcolare mentalmente la radice tredicesima di un numero di duecento cifre. “L’operazione del mio nuovo record – ha dichiarato Lemaire – è cento volte più complicata di quella che avevo affrontato con Mittring, perché in questo caso c’è soltanto una probabilità su circa 400.000 miliardi di indovinare casualmente la risposta esatta, contro una probabilità su 8 milioni per l’operazione di dicembre”.
Per esercitarsi nei calcoli mentali Lemaire si serve di una calcolatrice scientifica che gli consente di risolvere rapidamente una gran quantità di operazioni e di esplorarne le caratteristiche. “A dodici anni – dice – iniziai a fare del calcolo mentale in pubblico, per gioco. Ad esempio, a scuola ero in grado di risolvere operazioni del tipo 473 diviso 7, dando istantaneamente il risultato con tutti i decimali che comparivano sulla calcolatrice”.
Lemaire, che nel suo tempo libero sta studiando contemporaneamente quaranta lingue. Ha promesso che presto rivelerà, almeno in parte, la sua tecnica di calcolo.

Jean-Paul Delahaye, testimone della sua prova, ha dichiarato: “Lemaire è riuscito a elaborare un algoritmo di calcolo specifico per questo tipo di operazioni e a controllarne molto bene la tecnica. Per ridurre al minimo i tempi di calcolo, sfrutta inoltre la sua formidabile memoria”  spiega Delahaye – e come sanno tutti gli sportivi, per arrivare al successo e necessario un allenamento intensivo. In questo caso non dei suoi muscoli, ma dei suoi neuroni”.
Perché, si chiederà il lettore, la radice tredicesima? L’estrazione di radici con indice un  numero primo, impedisce  di arrivare al risultato con una scomposizione in radici più semplici. Un esempio, banale: per estrarre la radice ottava di 256, potremmo ripetere semplicemente tre volte la radice quadrata.
"La scienza del calcolo mentale – afferma Lemaire – non è mai stata approfondita e ci sono un sacco di cose da scoprire".

Aggiornamento: Dopo la pubblicazione di questo lavoro, Alexis Lemaire (che oggi non è più studente, ma ricercatore nel campo dell'intelligenza artificiale, a Reims) ha stabilito due nuovi record. Il primo a New York dove, il 15 novembre 2007, in 72,4 secondi ha trovato la radice tredicesima 2.397.207.667.966.701 di un numero di 200 cifre. L'ultimo è dell'11 dicembre 2007 , al Museo delle Scienze di Londra, dove in 70,2 secondi ha trovato la radice tredicesima 2.407.899.893.032.210 del numero di 200 cifre:
91 474 397 281 474 512 894 803 677 416 201 430 283 564 210 503 432 385 339 561 327 276 933 454 229 609 304 646 471 925 094 518 114 771 016 258 896 592 907 441 426 349 897 556 504 145 570 960 203 925 503 679 105 245 199 142 338 806 082 494 254 050 610 000 000 000 000.
Il numero è stato scelto a caso da un computer e con la sua impresa Lemaire ha stabilito il nuovo record mondiale.

4.  I matematici in difficoltà nei calcoli

I matematici sono per tradizione dei pessimi calcolatori che si perdono anche nel più banale conto della spesa. Ci sono state comunque delle eccezioni. Alcuni matematici sono stati degli autentici calcolatori prodigio.

John Wallis, 1616 – 1703

Citiamo,  ad esempio, John Wallis che, si racconta, riuscì a calcolare mentalmente la radice quadrata di 3 x 1040,  impiegando però diverse ore per arrivare al risultato. Gauss si vantava di aver imparato a far di conto all’età di tre anni, prima ancora di saper parlare. Si racconta che trovò un errore nei conti fatti dal padre per il salario di alcuni suoi dipendenti. Von Neumann strabiliava i colleghi di Los Alamos per la sua rapidità nei calcoli a mente, a 6 anni era già in grado di dividere mentalmente due  numeri di otto cifre, a 8 anni conosceva perfettamente l’analisi infinitesimale e a 12 aveva già letto, e capito, la Teoria delle Funzioni di Borel. L’unico matematico che abbia descritto dettagliatamente i suoi procedimenti di calcolo mentale è stato Alexander Craig Aitken (1895 – 1967), docente all’Università di Edinburgo. Ecco, ad esempio, la sua spiegazione del calcolo di 123 per 456:
“Per prima cosa osservo che 123 per 45 è 5535 e che 123 per 6 è 738. Quindi 5535 più 738 dà 56.088. Nel momento in cui registro 56.088, ho verificato che dividendo questo numero per 8, ottengo 7011 che diviso per 9 dà 779. So che 779 è 41 per 19. E 41 per 3 è 123, mentre 19 per 24 è 456. E’ una verifica, come si vede dell’operazione stessa. Per tutti questi calcoli impiego circa un secondo”.
In generale, possiamo dire che sovente i matematici procedono per errori e approssimazioni successive. Ma sono proprio i dubbi dei matematici, i loro errori, che fanno progredire la matematica e che la rendono più "umana". Non si scoraggi quindi lo studente che ci sta leggendo, se ha sbagliato i calcoli di una espressione algebrica, non vuol dire che non sa la matematica, ma soltanto che non è un computer.

5.  Tecniche e trucchi per il calcolo mentale

Vogliamo rivelare al lettore un trucco, molto semplice, grazie al quale potrà passare per calcolatore prodigio e strabiliare gli amici. Si tratta di moltiplicare fra loro due numeri di nove cifre. Il primo numero però è fisso e dovrà essere fornito da un compare o dallo stesso calcolatore: 142 857 143. Il risultato di questo numero “magico”, moltiplicato per qualsiasi altro numero, sempre di nove cifre, è il numero che si ottiene scrivendo il secondo numero due volte di seguito, dividendo poi il numero così ottenuto per 7, e questa è l’unica operazione richiesta. Ad esempio, moltiplichiamo 142 857 143 per 546 321 188.  Il prodotto è il risultato della divisione di 546 321 188 546 321 188 per 7: 780 458 840 780 458 84.

Senza trucchi possiamo arrivare a risolvere mentalmente moltiplicazioni con numeri di due o tre cifre. Nei casi più semplici, ad esempio,  se uno dei due fattori è una potenza del 10, non ci sono difficoltà: sappiamo che ogni unità viene spostata di tante posizioni quanti sono gli zeri della potenza del dieci. Per moltiplicare 765 per 1000, aggiungiamo quindi i tre zeri e in questo modo le unità diventano migliaia, le decine diventano decine di migliaia e le centinaia, centinaia di migliaia: 765.000. Anche per moltiplicazioni riconducibili a potenze del 10, il gioco è semplice. Ad esempio:
74 x 101 = 74 x 100 + 74 x 1 = 7.400 + 74 = 7474
Al di là di questi calcoli particolari, la maggior parte di noi si ferma. Ma non sarebbe difficile cercare altre proprietà, come fanno i calcolatori prodigio, ad esempio, come abbiamo detto, studiando meglio la scomposizione in fattori.
C’è un metodo però che ci consente di fare rapidi progressi. Si utilizza, per la moltiplicazione,  una tecnica nota come schema a crocetta, completamente diversa dalla tecnica che tutti noi conosciamo. E’ proprio uno dei metodi usati dai calcolatori mentali, esposto già nel Quattrocento da Luca Pacioli nel suo libro Summa de Arithmetica. Si tratta di moltiplicare ogni cifra di un numero per tutte le cifre dell’altro numero, secondo lo schema indicato negli esempi di figura. Successivamente si sommano i risultati parziali così ottenuti. Questo calcolo richiede soltanto una certa attenzione all’ordine delle unità che via via si ottengono, ad esempio, unità per decine saranno ancora decine, decine per decine saranno centinaia. Attenzione inoltre ai riporti. Per capirci eseguiamo, ad esempio, la moltiplicazione 23 x 46, lasciando l’altra operazione di figura al lettore.
Certo con numeri di più di tre cifre il gioco diventa complicato. Ma con un po’ di allenamento si potrà veramente passare per un genio del calcolo. Buon divertimento.

Vediamo lo schema dell’operazione di destra, tenendo presente che tutto dev’essere svolto mentalmente. Abbiamo, partendo naturalmente dalle unità: 23 x 46 = 18 unità, cioè 8 più una decina + 24 decine più una di riporto, cioè 5 decine più 2 centinaia + 8 centinaia più 2 di riporto, cioè zero centinaia più un migliaio. Al solito, la teoria è sempre più complicata della pratica: lasciate perdere la spiegazione e provate a risolvere personalmentequalche operazione, controllando ogni volta il risultato su una calcolatrice.

6.  Il segreto dei calcolatori prodigio giapponesi

Un ragazzo giapponese al calcolo sul Soroban

Perché i giapponesi sono così bravi nel calcolo mentale? Il loro segreto è il Soroban, ovvero il tipo di abaco in uso in Giappone, che imparano a usare fin da piccoli, prima di imparare a scrivere. Questo strumento, unito a una  particolare tecnica di meditazione, l’Anzan (che significa letteralmente “calcolo mentale”) produce dei formidabili e giovanissimi calcolatori prodigio.
Per capire come funziona e come si usa il Soroban, e molti altri tipi di abaco, si veda la pagina di Polymath  Informatica e… abaco.  L’Anzan che potremmo definire “lo zen e l’arte di eseguire dei calcoli”, sviluppa la capacità di concentrazione. Si tratta, in pratica, di proiettare il Soroban nella propria mente e spostare le palline delle varie unità soltanto mentalmente e non sull’abaco reale. Certo è necessario un grande allenamento, ma i risultati sono eccezionali.

Soroban giapponese

Uno dei  grandi campioni è Hiroaki Tsuchiya, un giovane di diciott’anni che oggi frequenta  il Post – Doc all’Università di Erlangen. A tredici anni aveva già vinto, a Kyoto, il titolo nazionale di campione di Anzan calcolando a mente, in pochi secondi, 992,587318 diviso 5.647,723:  0,17575000013279688115015555826658. “E’ fondamentale una grande capacità di concentrazione – osserva Hiroaki – se ti distrai, hai perso”.
I giapponesi, nonostante il proliferare dei computer, non hanno mai abbandonato l’Anzan, che viene praticato parallelamente alla meditazione buddista e serve non solo per migliorare le proprie capacità di calcolo, ma essenzialmente come aiuto psicologico nell’affrontare lo studio scolastico della matematica. “Usare le calcolatrici porta la nebbia nel cervello – afferma il maestro Kazuyuki Takayanagi – molto meglio l’Anzan, che può liberare energie sconosciute anche nella vita quotidiana”.
Invece di pensare al numero 1 – osserva ancora il maestro Koji Suzuki – possiamo immaginare di avere una mela in tasca. E’ concreta, ha un peso. Con l’Anzan dobbiamo cercare di vedere le palline dell’abaco.”E’ impressionante vedere i campioni di Anzan all’opera, con le loro dita che si muovono velocissime su un immaginario Soroban, spostando immaginari blocchi di palline.

7.  In libreria e in rete

J.Bernstein,  La macchina analitica, Il saggiatore, 1963

Jakow Trachtenberg, Ann Cutler, Rudolph Mcshane, The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics, Souvenir Press, 1989

W. J. Howard, Doing Simple Math in Your Head, Chicago Review Press, 2001

Henry Sticker, How to Calculate Quickly : Full Course in Speed Arithmetic, Dover Publications, 1955

Shakuntala Devi, Awaken The Genius In Your Child, Vega, 1999

Shakuntala Devi, Puzzles to Puzzle You, Orient Paperbacks,India, 2005

Un ampia e accurata selezione di articoli e documenti preziosi, dedicati ai calcolatori prodigio:
http://users.lk.net/~stepanov/mnemo/mnemoare.html

Il sito di J. Trachtenberg:
http://www.speed-math.com/

La matematica vedica:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Dic_07/Vedica.htm
http://www.hinduism.co.za/vedic.htm

Calcolatori mentali:
http://encyclopedia.laborlawtalk.com/Mental_calculator

L’home page di Alexis Lemaire:
http://www.13throot.com

Le Olimpiadi dei giochi della mente:
http://www.msoworld.com/

Il manuale del perfetto abachista:
http://webhome.idirect.com/~totton/soroban/Manual.pdf

Federico Peiretti