Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Ottagono

Ottagono  (Octagon)

Ottagono è un poligono piano con otto lati. L’ottagono regolare convesso è un poligono regolare avente i lati della stessa lunghezza e gli angoli della stessa ampiezza.

OttagonoCome ogni poligono regolare, l’ottagono regolare è inscrivibile e circoscrittibile ad  una circonferenza; esso ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati (4 passanti per i vertici e 4 passanti per i punti medi dei lati); il centro di simmetria dell’ottagono è il centro della circonferenza inscritta (coincidente con il centro di quella circoscritta).
Dato che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è (n-2)  angoli piatti, un poligono regolare ha tutti gli angoli congruenti a  di un angolo piatto; nel caso dell’ottagono si ha che ogni angolo misura  e quindi tutti gli ottagoni regolari hanno angoli di 135°.
E’ possibile utilizzare il seguente metodo per costruire un ottagono regolare a partire dalla conoscenza della misura del suo lato. Si tracci il lato AB di lunghezza l e sia H il punto medio di AB; con raggio HA si descriva la circonferenza di diametro AB e si indichi con N una delle sue intersezioni con l’asse del segmento di AB; con centro in N e raggio NA si tracci la circonferenza che interseca l’asse di AB in O; il punto O è il centro della circonferenza circoscritta all’ottagono. Sarà quindi sufficiente riportare su di essa la lunghezza l a partire da B sette voltefino a quando si arriverà in A.

Ottagono

Ottagono

 

 

 

La  misura del lato di un ottagono regolare è dove r è il raggio della circonferenza circoscritta.
Sia AB il lato dell’ottagono e  il lato del quadrato ACEG; osserviamo che il triangolo  è rettangolo e isoscele perchè formato dalle diagonali di un quadrato. Applicando il 2° teorema di Euclide ad  OM, altezza relativa all’ipotenusa, si avrà

 

Ottagono
Risulta inoltre che  Ottagono
OttagonoSi consideri ora il triangolo : esso è rettangolo perchè inscritto in una semicirconferenza. Poiché AB è un cateto e BM la sua proiezione sull’ipotenusa BF, per il 1° teorema di Euclide si potrà scrivere:

Per calcolare la lunghezza dell’apotema di un ottagono regolare, ovvero il raggio della circonferenza ad esso inscritta, è sufficiente applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ; se r è il raggio della circonferenza circoscritta, allora l’apotema OH ha il seguente valore.

Ottagono

Sfruttando i due risultati ottenuti, vale a dire la lunghezza del lato e dell’apotema di un ottagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r, possiamo trovare il valore dell’area di tale ottagono. Si avrà  

Ottagono

OttagonoIl numero otto è simbolico: nella tradizione cristiana, molto diffuso per i battisteri, indica il giorno perfetto, il giorno della vittoria e del ritorno di Cristo, il giorno senza fine. Dopo  i nostri giorni ciclati sul sette, la settimana, verrà “l’ottavo giorno in cui Gesù, glorioso, giungerà su di un cangiante destriero (hypposleukos) e verrà per il Giudizio di Dio sulla storia”.
Ottagono

 

 

 

 

 

 

Si trova l’ottagono nella Cappella Palatina di Aquisgrana dove gli imperatori venivano incoronati con una corona anch’essa ottagonale, in  San Vitale a Ravenna, nella Cupola della Roccia e nella Moschea Al Aqsa a Gerusalemme, nei battisteri di Parma e Firenze.
 
OttagonoAnche Castel del Monte in Puglia, rappresentato sulle monete da un centesimo di euro, è un edificio di pianta ottagonale, come ottagonali sono le torrette presenti ad ogni vertice.

Guarino Guarini (1624-1683) nel 1666 riceve dal duca Carlo Emanuele II  l’incarico di edificare a Torino una nuova chiesa dedicata a San Lorenzo, opera che verrà inaugurata  il 12 maggio 1680.
Guarini, uomo di profonda cultura scientifica e teologica, mistico e sperimentatore, matematico, astronomo e instancabile ricercatore, concepiva l’architettura quale arte che poteva meglio delle altre esprimere la tensione religiosa verso il divino. La figura dell’architetto era, per Guarini, una guida che, mediante la tecnica costruttiva, poteva rappresentare il mezzo per creare stupore e suscitare meraviglia.

Sull’ottagono egli imposta la struttura architettonica della chiesa: guardando la cupola vediamo una struttura di archi incrociati che formano un fiore di luce a otto petali.

Ottagono

L’ottagono è una figura ricorrente anche nelle pavimentazioni. Ne sono un esempio  i pavimenti della Chiesa conventuale della Certosa di  Calci (Pisa). Ottagono
Ottagono Ottagoni regolari  si trovano anche  in una decorazione del soffitto a cassettoni nella cella del grande tempio (del 36 d.C. circa) di Palmira in Siria.

OttagonoRitroviamo la forma dell’ottagono anche nei  segnali di stop. Tale forma venne scelta in Canada, e subito adottata anche negli Stati Uniti, paesi in cui le nevicate abbondanti spesso rendono illeggibili i cartelli stradali: pur se coperto di neve gelata, un segnale ottagonale si riconosce a prima vista e ciò basta per informare della presenza di un incrocio pericoloso.
Si può costruire un puzzle analogo al Tangram a partire dall’ottagono regolare chiamato puzzle di Zornbrecher. Per la suddivisione dell’ottagono nei sette pezzi si procede così: si tracciano le diagonali GB e AD che si incontrano nel punto M. Si tracciano poi gli assi di simmetria KL e IJ e si individuano i punti N,O e P; infine si uniscono H e C con M.

Ottagono Ottagono

Con i sette pezzi così costruiti, si possono creare figure come le seguenti.

Ottagono