Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Numeri Primi

Algebra classica (Classical algebra)

L’algebra è una delle parti fondamentali  della matematica e si distingue didatticamente in algebra “classica” e algebra “moderna” o “astratta” (studio dei gruppi, degli anelli e dei campi). A livello scolastico l’algebra è una branca della matematica in cui i numeri incogniti sono rappresentati da lettere e lo scopo principale è ricavare da alcune equazioni i valori delle quantità incognite. Nella matematica avanzata l’uso di lettere al posto di numeri è soltanto un piccolo aspetto dell’algebra che si occupa delle proprietà di espressioni simboliche in quanto tali, della loro struttura e forma.

algebraIl termine Algebra proviene da al-giabr, espressione dovuta al matematico arabo Muhammad ibn  Musa  al-Khwarizmi che visse intorno all’anno 820 d.C.  e dal cui nome è derivata anche la parola algoritmo.
La  sua opera Al-Kitab  al-mukhtafar fi hisab al-giabr wa al-muqabala (Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere) spiega metodi generali per risolvere equazioni manipolando quantità incognite. Al-Khwarizmi usa parole, non  simboli ma i suoi metodi sono simili a quelli usati oggi.
Al-giabr significa “sommare  quantità uguali da entrambe le parti di un’equazione”, che è quanto facciamo ad esempio quando passiamo da   a  sommando 3 ad entrambi i membri.
Al-muqabala ha due significati: ha il significato speciale di “sottrarre quantità uguali da entrambe le parti di un’equazione” metodo che applichiamo ad esempio  per passare da  a  sottraendo 3 ad entrambi i membri dell’equazione; ha però anche il significato  generale di “confronto”, bilanciamento e consiste nel ridurre i termini simili nei due membri, cioè nel semplificare l’equazione come facciamo per esempio passando da  a
Le espressioni al-giabr e al–muqabala, riprese letteralmente dalla maggior parte degli studiosi arabi di algebra, compaiono in Occidente per la prima volta nel Liber abaci (1202) di Leonardo Pisano.
algebraDai documenti rinvenuti si può affermare che l’algebra è nata con l’antica matematica babilonese: secondo alcune testimonianze i babilonesi risolvevano equazioni abbastanza complicate già nel 2000 a.C. e soluzioni di problemi  sono descritte su tavolette cuneiformi del 1700 a.C. circa. L’algebra babilonese era retorica, verbale e senza simbologie ossia i vari procedimenti erano espressi a parole, le incognite dei problemi erano espresse con termini tratti dalla geometria anche se erano utilizzati in maniera del tutto astratta: uš, lunghezza, sag, larghezza, e a-sa, area. I babilonesi affrontarono equazioni di 2° grado, particolari equazioni di grado superiore al 2° e particolari sistemi. I Babilonesi, come gli Egizi, enunciavano e risolvevano i quesiti in maniera del tutto verbale senza spiegare il perchè del procedimento.
Presso i Greci si trovano le prime “dimostrazioni” anche se lo sviluppo del calcolo aritmetico e algebrico non è notevole come quello geometrico: nelle loro equazioni le incognite rappresentavano segmenti, rettangoli, quadrati, cubi, ossia grandezze geometriche. I greci avevano scoperto anche come usare le sezioni coniche per risolvere alcune equazioni cubiche. L’algebra moderna dimostra che i punti di intersezione di due coniche sono determinati da un’equazione di terzo o quarto grado (dipende dalla conica);  i greci non conoscevano il risultato generale, ma ne sfruttavano le conseguenze in casi particolari e usavano le coniche come un nuovo tipo di strumento geometrico.
Questo tipo di algebra si potrebbe definire geometrico e secondo alcuni matematici tali metodi non sono stati utili allo sviluppo autonomo dell’algebra in quanto il predominio della geometria finì per non far progredire la notazione algebrica. E infatti l’algebra  trovò adeguati sviluppi solo con
Erone di Alessandria (I sec a.C.)  e poi con  Diofanto  (250 d.C.). Si può infatti affermare che la storia dell’algebra inizia proprio con Diofanto che segna il passaggio dall’Algebra retorica all’Algebra sincopata.
Nella sua Arithmetica, consistente in origine di 13 libri e contenente circa 200 problemi, egli introduce delle abbreviazioni (sincopi):

  • l’incongnita x del problema viene indicata con ς, la lettera finale della parola greca numero (αριϑμος, arithmos);
  • il quadrato di tale incongnita  veniva indicata con dove  rappresenta l’iniziale della parola greca potenza (Δúναμις, dúnamis);
  • il cubo  era denotato con  dall’iniziale della parola cubo (Κúβος, cubos);
  • la quarta potenza, chiamata quadrato-quadrato, veniva indicata con la quinta potenza, il quadrato-cubo, con e la potenza sesta, il cubo-cubo, con ;
  • il simbolo  era utilizzato per dire che ciò che seguiva era un numero puro.
  • mentre non c’era un simbolo per indicare l’operazione di somma che era sottintesa, per denotare la sottrazione si utilizzava.

L’espressione moderna  da Diofanto sarebbe stata scritta come
 
dove notiamo che le prime lettere dell’alfabeto greco  erano utilizzate per denotare rispettivamente i primi cinque numeri naturali. Si noti che il simbolo separa i monomi positivi da quelli negativi che compaiono al fondo dell’espressione e che i coefficienti seguono sempre quella che noi oggi chiamiamo parte letterale.
In un certo senso l'Arithmetica di Diofanto non è un manuale di algebra, ma una raccolta di problemi di algebra applicata.
algebraA questo riguardo, Diofanto è simile agli algebristi babilonesi, e la sua opera viene considerata da alcuni come "il fiore più bello dell'algebra babilonese". Tale caratterizzazione riconosce solo parzialmente a Diofanto i suoi meriti: i suoi numeri, infatti, sono interamente astratti e non si riferiscono a misure di grano o a dimensioni di terreni o a unità monetarie, come avveniva nell'algebra egiziana e  mesopotamica. Inoltre egli si interessava solo di soluzioni razionali esatte, mentre i babilonesi avevano una mentalità calcolistica ed erano pronti ad accettare approssimazioni di soluzioni irrazionali di equazioni.  Nell’opera diofantea compaiono sia equazioni determinate che indeterminate e sono presenti anche equazioni di grado superiore al terzo.
algebraAnche se le matematiche indiane non ebbero influenza diretta sull’Europa, sembra quasi sicuro che gli Arabi studiarono l’aritmetica e l’algebra indiane tramite i rappresentanti della scienza dei bramini, accolti nelle corti dei califfi del IX e X secolo; il simbolismo usato nei testi indiani, anche se rudimentale, appare sufficiente per poter classificare l’algebra indiana come quasi simbolica, più simile alla nostra di quanto non lo fosse quella diofantea.
Lo  sviluppo culturale e scientifico arabo raggiunse uno dei suoi momenti culminanti durante il califfato di Al–Mamun (809-833 d.C.) con la fondazione a Bagdad della “Casa del sapere” che richiamò scienziati e letterati; fra i tanti membri che ne fecero parte ci fu  proprio l’ autore  di Al-Jabr w’al muqabala, Mohammed Ibn Musa al–Khowarizmi.
Nell’algebra di al– Khwarizmi l’incognita viene chiamata “cosa“ o “radice“ (di una pianta) da cui deriva il nostro termine radice. Nella sua opera egli parte dalle equazioni e solo successivamente considera i problemi denotando una visione dell’equazione come oggetto matematico in sé, svincolato dalle applicazioni. La sua analisi si limita  a equazioni di primo e secondo grado che distingue in 6 tipi canonici e della cui risoluzione algebrica fornisce dimostrazioni geometriche seguendo l’eredità greca; seguendo l’interpretazione greca dei numeri come grandezze geometriche, al–Khwarizmi non prende in considerazione le soluzioni nulle o negative.
Ulteriori sviluppi si ebbero con l’opera di Omar al-Khayyam (1048-1123), celebre astronomo, poeta e matematico persiano. Nel  1075 nel suo trattato Sulle dimostrazioni dei problemi di al-giabr e al muqabala egli cataloga le equazioni cubiche in quattordici tipi e mostra come giungere alle soluzioni mediante intersezioni di coniche; anch’egli, come al– Khwarizmi, considera solamente le radici positive.

algebra

In seguito  la cultura degli Arabi penetrò in Europa favorendone così la rinascita culturale. In quel periodo si mise in luce Leonardo Pisano (1170-1250) detto anche Fibonacci: educato in Africa, viaggiò a lungo in Europa e in Asia Minore e fu famoso per il possesso dell’intera conoscenza matematica della sua generazione e di quelle precedenti.
algebraIl suo Liber abaci (1202) si presenta come la summa del sapere aritmetico e algebrico del mondo arabo, ma non mancano problemi pratici di calcolo derivanti da questioni legate ad attività commerciali. Degna di nota è la Summa de Arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità di Luca Pacioli (1445-1514), pubblicata a stampa nel 1494: scritta in volgare, era un compendio delle conoscenze del tempo e lega la matematica a una gran varietà di applicazioni pratiche.
La sua algebra è retorica: egli segue Leonardo Pisano e gli Arabi, ma presenta un uso più largo di forme abbreviate dell’algebra sincopata; alle lettere p (plus) e m (minus) ormai largamente usate come abbreviazione per somma e sottrazione, Pacioli aggiunge l’uso di co, ce e ae rispettivamente per cosa (l’incognita), censo (quadrato) e aequalis (uguale).
I matematici italiani del Rinascimento compirono poi uno dei maggiori progressi in algebra quando scoprirono che esistevano regole algebriche per la risoluzione  delle equazioni cubiche: furono gli anni di Antonio Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Tartaglia, Girolamo Cardano, Scipione dal Ferro, Ludovico Ferrari e delle loro famose disfide a partire dal 1535.
Scipione dal Ferro (1465-1526), professore di matematica a Bologna, trovò la formula risolutiva per le equazioni cubiche mancanti del termine di secondo grado intorno al 1515, ma non pubblicò il suo metodo perché a quel tempo le scoperte venivano tenute segrete e i rivali sfidati a risolvere gli stessi problemi. Scipione confidò il suo metodo ad Antonio Maria Fior.
Nulla accadde prima dell’entrata in scena di Niccolò Fontana da Brescia (1499-1557), detto Tartaglia perché un colpo di sciabola in faccia ricevuto da un soldato francese lo aveva lasciato balbuziente; cresciuto in ristrettezze economiche imparò da solo il latino, il greco e la matematica.
Nel 1535 Fior sfidò Tartaglia a risolvere trenta equazioni cubiche e Tartaglia vinse poiché, come scrisse egli stesso nella sua opera Quesiti et invenzioni diverse (1546), tutti i problemi erano riconducibili all’equazione e poi perchè circa otto giorni prima della disfida egli aveva trovato la regola generale per risolvere tali equazioni.
C’è una lunga e nota polemica sulla divulgazione della formula risolutiva delle equazioni di terzo grado trovata in modo indipendente da Tartaglia dopo Scipione dal Ferro e comunicata da Tartaglia, sotto il vincolo del segreto, a Gerolamo Cardano (1501-1576) che, nonostante l’impegno preso, nel 1545 la pubblicò nell’Ars magna insieme alla formula risolutiva per le equazioni di quarto grado dovuta invece a Ludovico Ferrari, allievo di Cardano.
algebraLa formula per le equazioni di terzo grado permetteva di trovare tutte le radici reali dell’equazione, ma quando le radici erano tutte e tre reali con molteplicità uno (caso irriducibile) poteva succedere che nell’utilizzare la formula ci si scontrasse con il problema mai affrontato di estrarre la radice cubica di numeri in cui compariva la radice quadrata di numeri negativi. Si deve al matematico bolognese Rafael Bombelli nella sua Algebra del 1572 la riflessione sulla necessità di introdurre nuovi numeri, detti poi complessi, che egli denotò con a p.d.m. b (a più di meno b) e con a m.d.m. b (a meno di meno b) corrispondenti rispettivamente ai nostri a+ib e a-ib; con l’utilizzo dei nuovi numeri egli riuscì a risolvere anche il caso irriducibile.
Dopo i grandi sviluppi del ‘500 restava insoluto il problema se fosse possibile risolvere per radicali, cioè trovare un’espressione algebrica che esprimesse le soluzioni dell’equazione a partire dai suoi coefficienti, le equazioni di grado superiore al quarto.
algebraL’impossibilità fu provata da Paolo Ruffini (1765-1822) nel 1813 e da Niels Henrik Abel (1802-1829) nel 1824, ma furono le idee di Évariste Galois (1811-1832) a rendere chiaro ed evidente perché sia possibile risolvere per radicali tutte le equazioni di grado quattro o inferiore. Galois trovò un criterio generale per stabilire se una particolare equazione polinomiale di grado maggiore di 4 ha le soluzioni esprimibili mediante operazioni algebriche e radicali. Come dice Ian Stewart, con Galois “l’algebra diventa maggiorenne”, comincia a imporsi un nuovo tipo di algebra  il cui oggetto di studio  saranno i concetti più sofisticati di permutazioni, trasformazioni, matrici, gruppi, anelli e campi.
Tornando all’evoluzione delle notazioni algebriche, il primo esempio di utilizzo dei simboli + e – risale al 1481: essi comparvero in ambito commerciale, usati dai mercanti tedeschi per distinguere gli articoli sottopeso e quelli sovrappeso.
François Viète (1540-1603) enunciò molti dei suoi risultati in forma simbolica, ma con notazione comunque molto differente dall’attuale; egli utilizzava le consonanti per rappresentare quantità note e le vocali per le incognite.
Nel 1557 il matematico inglese Robert Record nel suo The Whetstone of Witte  inventò il simbolo = per l’uguaglianza  e scrisse che non poteva pensare a due cose più simili di due segmenti
uguali paralleli. Viète invece  usava inizialmente la parola aequalis e in seguito l’aveva sostituita con  , mentre Descartes usava .
William Oughtred (1574-1660) introdusse il simbolo x per la moltiplicazione anche se fu criticato algebraapertamente    da Leibniz perchè poteva essere confuso con la lettera x.
I simboli > e < sono dovuti a Thomas Harriot. Le parentesi rotonde ( ) comparvero nel 1544, mentre le [ ] e le {} furono usate da Viète nel 1539 circa. Descartes usava il simbolo di radice quadrata √, che è un’elaborazione della lettera r di radice, ma scriveva  per la radice cubica.
Un personaggio influente, ma poco noto fu  Nicolas Chuquet il cui libro Triparty en la science de nombres del 1484 discuteva di aritmetica, radici e incognite. Trattando in maniera sistematica delle potenze  delle incognite cominciò a usare gli apici per gli esponenti anche se non aveva ancora alcun simbolo esplicito per l’incognita, mancanza che fu poi colmata da Descartes che introdusse una notazione simile alla nostra con una sola eccezione: scriveva  invece che . Newton poi scrisse le potenze dell’incognita proprio come noi compresi gli esponenti negativi e frazionari.
L’algebra, nata come metodo per formulare in maniera sistematica i problemi aritmetici, al tempo di Viète aveva acquisito dignità di per sé: mentre prima simbolismo algebrico e manipolazione erano un modo per enunciare ed eseguire procedimenti aritmetici e i numeri erano il punto centrale, Viète nella sua opera del 1591 In artem analyticam isagoge  spiegava che l’algebra è un metodo per operare su forme generali, mentre l’aritmetica opera su numeri specifici.
L’algebra diventò così la matematica delle espressioni simboliche, primo passo verso il suo “status” moderno, divenne la scienza relativa alle quantità generali e poi in maniera più sicura diventò lo studio delle strutture. Le formule risolutive si unificarono e mostrarono che non erano tanto importanti i valori numerici delle soluzioni quanto il loro comportamento e le loro proprietà.