L’algebra astratta

di Lucio Lombardo Radice

Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia, cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non continuerei a farlo).

Lucio Lombardo Radice

La prima immagine che ci viene in mente, pensando a Lucio Lombardo Radice, è quella del professore che, all’inizio del film Non ho tempo di Ansano Giannarelli, chiede ai suoi allievi, che incontra per la prima volta: “Che cos’è la matematica?” Ne nasce una discussione vivace con Lombardo Radice polemico e provocatorio, curioso e appassionato com’era nel suo carattere e come lo abbiamo conosciuto nei dibattiti che teneva ovunque, senza risparmiarsi, per presentare la novità della scuola media unica, polemizzando con chi, come noi, non condivideva la sua scelta di un insegnante unico per Matematica e Scienze. E abbiamo avuto modo di apprezzare la sua disponibilità e la sua competenza, nel campo della didattica, quando lo abbiamo incontrato per sottoporgli alcuni nostri lavori e chiedergli qualche consiglio. Lombardo Radice era nato a Catania il 10 luglio 1916 e morì a Bruxelles il 21 novembre 1982. Solo nel 1945, dopo la guerra, riuscì ad avviare la sua carriera universitaria, bloccato dalla sua attività di antifascista e dalla partecipazione alla lotta di liberazione. Nel 1951 ottenne la libera docenza in Analisi algebrica e infinitesimale e nel 1956 fu chiamato all'Università di Palermo come professore straordinario di Geometria analitica. Vi restò fino al 1960 quando ottenne il trasferimento a Roma, dove nel 1971 passò alla cattedra di Algebra e nel 1974 a quella di Matematiche complementari.

Mario Garriba, protagonista del film di Ansano Giannarelli Non ho tempo, dedicato figura del matematico francese Evariste Galois. Lucio Lombardo Radice collaborò al film come consulente scientifico, interpretando anche la parte di un professore di matematica.

Tenne inoltre l'insegnamento di Storia della Matematica nella "Scuola di Perfezionamento in Matematica e Fisica", di cui fu vice-direttore dal febbraio 1963 al 1966. Lombardo Radice, membro del comitato centrale del PCI, si impegnò per il rinnovo della scuola italiana, rivendicando in particolare, per la matematica, l’importanza della storia della matematica nell’insegnamento, indispensabile per la comprensione delle teorie e dei risultati. Si occupò in particolare di geometrie finite e di geometrie combinatorie lavorando insieme a Beniamino Segre e a Guido Zappa.

  Mario Garriba in un altro fotogramma del film Non ho tempo di Ansano Giannarelli.

Quella che segue è un intervento radiofonico di Lucio Lombardo Radice. Una trasmissione del 1972 per un’introduzione all’algebra astratta, presentata pensando al pubblico della radio, ma con una capacità didattica e divulgativa straordinaria. Un intervento che diventa una chiara ed esauriente introduzione all’argomento così importante nel passaggio alla “matematica moderna”. “Sono concetti accessibili – afferma giustamente Lombardo Radice - anche a un ragazzo di undici - dodici anni, come dimostrano le esperienze di insegnamento matematico « nuovo» in corso in tutto il mondo”.

Federico Peiretti

L'algebra astratta

di Lucio Lombardo Radice


Piet Mondrian, Composition n. 1, 1930

La locuzione « algebra astratta» non è del tutto felice. Né è rigoroso l'aggettivo «moderna» adoperato un tempo per qualificare l'algebra dei primi decenni del nostro secolo. La prima sistemazione di tale nuova algebra fu compiuta dall'olandese Bartel Ludwig van der Waerden in un'opera pubblicata all'inizio degli anni trenta, dal titolo Algebra moderna. Dopo qualche decennio, questo libro è diventato un « classico », e l'autore ha saggiamente lasciato cadere l'aggettivo, riducendo il titolo alla sola parola Algebra. Il fatto è che, come è caduco il concetto di « moderno », così è del tutto relativa la qualifica di « astratto ». La matematica è sempre « astratta »; anche il numero naturale, suo fondamento primo, è bene un' astrazione! Quanto all'« algebra classica », quella che oggi si studia nelle scuole secondarie superiori (con qualche anticipazione alla scuola media) non solo è
un'astrazione, ma è un'astrazione di alto livello, frutto di una lunghissima elaborazione di parecchie civiltà, dalla greca all'indiana all'araba (il nome algebra viene dall'arabo). « Questa è algebra! » è addirittura un modo di dire, per indicare qualcosa di così astratto da risultare incomprensibile all'uomo comune; ed è un modo di dire nato ben prima del libro di Van der Waerden, o dei coevi primi volumi della monumentale opera Elementi di matematica del famoso gruppo Bourbaki. Ebbene, quell'« algebra» che nel linguaggio comune simboleggia il colmo dell'astrazione, diventa «concreta », per così dire « materiale », «fattuale », «empirica », rispetto ai nuovi sviluppi della teoria, rispetto cioè ad astrazioni di gran lunga più potenti. Bisogna però stare bene attenti a non considerare queste astrazioni come ultime: già oggi infatti le intravediamo superate e ridotte a materiale concreto da astrazioni di livello ancora più elevato. Si può dire che la storia dell'algebra è un'incarnazione particolarmente efficace e trasparente della dialettica dell' astrazione, che opera in tutte le costruzioni intellettuali, e nella quale un determinato livello di astrazione viene « negato» in un ulteriore sviluppo, viene considerato « caso particolare», « concreto» da un punto di vista più elevato e più comprensivo. Naturalmente, il «salto» da un livello ad un altro - che è pure un vero e proprio « salto », un momento di discontinuità - viene preparato da un'elaborazione, che nel passaggio dall'algebra indiano-araba all'algebra astratta nel senso di Bourbaki è durata parecchi secoli, diciamo pure un millennio.
È bene soffermarsi almeno su qualche punto critico di questa lunga elaborazione, prima di dare una idea (a di tentare di dare un'idea!) dell'odierna astrazione algebrica.
Verso la metà del XVI secolo, nell'Europa occidentale - alla quale l'algebra araba era arrivata facendo. il giro del Mediterraneo, attraverso la Spagna e i mercanti delle repubbliche marinare italiane i matematici possedevano quel calcolo algebrico « letterale» che oggi si insegna ai ragazzi tra i 14 e i 16 anni, o anche prima. Scrivevano una equazione, per esempio. in un'incognita x, usando. lettere quali a, b, c, ecc., per indicare coefficienti numerici suscettibili di valori scelti a piacere; trasportavano da un membro all' altro di una equazione un addendo cambiandone il segno (questa è l'operazione che gli arabi chiamavano. al-giabr, donde algebra per latinizzazione); cercavano formule generali per risolvere una equazione qualunque di un dato grado. Al nostro simbolismo algebrico di aggi, così chiaro, preciso ed elegante, si è arrivati dopo un altro secolo di lavoro. Chi ha occasione di vedere l'edizione originale dell'Algebra di Rafael Bombelli (che è del 1581), rischia di non riconoscere la più semplice equazione, perché il quadrato viene chiamato «censo» e il termine di primo grado. «cose », o perché i simboli delle quattro operazioni e delle estrazioni di radice sono molto diversi dagli attuali.
Si tratta, però, di differenze formali, non intrinseche: il livello di astrazione del calcolo letterale, della «equazione generale» di un dato grado. era stato raggiunto. Per quel che riguarda i numeri « accettati » dagli algebristi del Cinquecento, si erano fatti del pari grossi passi in avanti sulla via dell'astrazione. Venivano. accettati numeri negativi, venivano presi in considerazione radicali comunque complicati. Sempre, però, un« numero» per essere« numero» doveva essere il risultato di operazioni riconducibili a operazioni su interi concretamente eseguibili. La radice quadrata di 2, benché calcolabile solo con approssimazione, non presentava difficoltà concettuali: si trattava infatti di determinare, con crescente approssimazione, un numero decimale che moltiplicato per se stesso desse per risultato 2. Ciò che invece appariva assurdo ai primi algebristi del Cinquecento. era «accettare come numero» la radice quadrata di un numero negativo, per esempio la radice quadrata di - 1; perché il quadrato di un numero ordinario (o reale, come dicono i matematici) è sempre positivo, tanto nel caso che il numero sia positivo, quanto nel caso che sia negativo (una delle poche cose che tutti ricordano della matematica delle scuole è la famosa «regola dei segni» che dice: «meno per meno uguale più»). Eppure, per trovare le soluzioni reali di certe equazioni di terza grado, gli algebristi italiani furono costretti a fare i calcoli su questi numeri immaginari, privi di realtà; dovettero avventurarsi per obscuras ambages, percorrere misteriosi passaggi, come dirà con ammirazione (ma senza imitarli), attorno al 1630, il geometra purissimo Bonaventura Cavalieri.

Fu proprio il Bombelli che abbiamo poco fa menzionato - ingegnere idraulico e matematico al tempo stesso - a dare sistemazione teorica al calcolo sui numeri immaginari e complessi, prima di lui compiuto forzatamente ed empiricamente. Si tratta di cosa ben diversa dalla codificazione, per esempio, delle regole di calcolo sui negativi o sulle radici. Numeri negativi e radici sono bene misura di qualche cosa: di un debito, del lato di un quadrato di area data, o di un cubo di volume assegnato e così via. Ma la radice quadrata di - 1, di quale realtà è misura? di quale rappresentazione concreta è suscettibile?

Piet Mondrian, Red tree, 1908

La risposta di Bombelli, in sostanza, è che non ha importanza alcuna il fatto che la radice quadrata di « meno uno» sia reale o immaginaria, risultato di una misura, di un calcolo effettivo o parto dell'immaginazione. Consideriamo la radice quadrata di - 1 come un puro simbolo, che possiamo chiamare i (iniziale di «immaginario»), e che gode della proprietà di dare per risultato - 1 se viene moltiplicato per se stesso, cioè se viene elevato al quadrato. Dopo di che chiamiamo numero complesso la somma (formale) di un numero reale a e di i moltiplicato per un altro numero reale b, cioè il simbolo a + b x i, e impiantiamo un calcolo su questi simboli, imponendo la validità delle regole di calcolo ordinarie (per esempio commutatività e distributività), più la regola speciale i2 = - 1.

C'è così un salto dal livello di astrazione dell' aritmetica del concreto a quello del calcolo formale su puri simboli. Per arrivare al concetto di «struttura algebrica », cioè al livello di astrazione successivo, occorre concepire tutto in modo formale e simbolico. Si devono cioè introdurre calcoli nei quali né i « numeri» né le « operazioni» sono definiti in modo concreto; ciò che è dato, sono soltanto le regole, le cosiddette « proprietà formali» delle operazioni.
Il primo a rendersi pienamente conto di questo nuovo livello di astrazione fu l'inglese George Boole, che fondò verso la metà del secolo scorso l'algebra della logica, considerando per esempio come «numeri» (cioè come oggetti del calcolo), gli «attributi» (rosso, uomo, solido, fiore ecc...) e come «operazioni» la congiunzione, espressa dalla particella «e », l'alternativa, espressa dalla particella « o » (nel senso del latino vel), la negazione « non ». Ma già all'inizio del passato secolo grandi novatori della matematica, come il francese Galois, il norvegese Abel, il tedesco Gauss, avevano costruito o sviluppato concretamente calcoli non numerici, in primo luogo il calcolo che ha per « oggetti» le permutazioni di un certo numero di elementi (nel linguaggio corrente, sono i «cambiamenti di posto» di oggetti messi in fila, per esempio numeri di una successione finita), e per « operazione» l'esecuzione successiva di due permutazioni (dopo un primo cambiamento dei posti, ne eseguo un altro: il risultato complessivo può essere raggiunto con un unico cambiamento di posto).

Occorre però arrivare alla svolta del secolo, agli anni tra la fine dell'Ottocento e l'inizio del nostro secolo, perché il concetto di struttura algebrica si chiarisca pienamente e diventi strumento di lavoro quotidiano del matematico. Una struttura algebrica è un aggregato, o « insieme », di elementi di natura imprecisata e del resto qualunque, che si possono comporre tra di loro (per solito due a due, ma in linea di principio anche tre a tre, quattro a quattro, ecc.), mediante operazioni anch'esse di natura non precisata, in modo da dare come risultato un altro elemento dello stesso insieme. Alle operazioni possono essere imposte delle proprietà formali, sul tipo della associatività, della commutatività (indipendenza del risultato dall'ordine di composizione), e così via. Non si tratta, in definitiva, di un concetto troppo difficile (beninteso, ora che è stato chiarito da un lungo lavoro); non è insomma « algebra» nel senso di astruseria incomprensibile, come vorrebbe il luogo comune.

Un esempio dovrebbe chiarire tale concetto. Se consideriamo le sole frazioni, positive e negative, cioè i numeri razionali relativi, oppure i numeri reali relativi, oppure i numeri complessi, noi possiamo elencare le seguenti proprietà formali comuni alle due operazioni di addizione e di moltiplicazione, definite in tutti e tre i casi:

  • sono operazioni associative e commutative;
  • vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione;
  • esiste uno « zero », cioè un numero che addizionato ad ogni altro non lo altera, ed esiste un opposto per ogni numero, cioè un numero che sommato ad esso dà lo zero;
  • esiste un “uno”, cioè un numero che moltiplicato per ogni altro non lo altera; ogni numero che non sia lo zero ha un Inverso, cioè un numero che moltiplicato per esso dà per risultato 1.

Ebbene: le proprietà elencate sono « formali », possono cioè essere imposte a due operazioni qualunque (chiamate solo convenzionalmente addizione e moltiplicazione) che agiscono su elementi di un insieme qualunque. Diremo che un insieme con due operazioni siffatte, verificanti le proprietà elencate, ha una struttura algebrica di campo.
Arriviamo così al concetto di campo, che è un'astrazione di livello più elevato dei numeri razionali, reali o complessi. Perché? Perché i numeri complessi, ad esempio, da questo nuovo punto di vista, divengono un caso particolare, un esempio o modello di campo; sono una concretizzazione del concetto astratto di campo, il quale a sua volta è una concretizzazione del concetto, ancora più astratto, di struttura algebrica.

Piet Mondrian, Gray tree, 1911

L'unificazione dei concetti di « campo razionale », « campo reale », «campo complesso» nell'unico concetto, più astratto, di « campo », non presenta soltanto interesse teorico, ha una grande importanza pratica. L'astrazione è, in definitiva, un procedimento che permette di dominare un complesso di « concreti» sempre più vasto. Quanto più elevata l'astrazione, quanto più comprensivo di casi particolari determinati il concetto formale, tanto più potenti i risultati, tanto più varie le applicazioni. Il luogo comune secondo il quale le astrazioni sarebbero vuote e inutili, è radicalmente errato, almeno in algebra. Il fatto è che nel linguaggio comune troppo spesso si adoperano i termini «astratto », «astrazione» per indicare concetti imprecisi, arbitrari, parole più o meno vuote di significato. Al contrario, un'autentica astrazione, come il concetto di campo or ora illustrato, è piena zeppa di significati possibili, pur non avendo in sé un significato determinato. È uno schema estratto dal confronto di molti «concreti» (i razionali, i reali, i complessi), nel quale rientrano moltissimi altri concreti, anzi potenzialmente infiniti casi particolari. (Non possiamo, in questa breve rassegna, fornire altri esempi di «campi concreti », ci limitiamo ad asserire che ne esistono infiniti). Perciò, un teorema da noi dimostrato per un campo in generale è infinitamente più potente di un teorema relativo a un campo particolare, diciamo, ad esempio, al campo reale. Infatti, quest'ultimo teorema potrebbe magari essere una singolarità dell'oggetto particolare (per esempio, nel caso dei numeri reali, il fatto che una somma di quadrati non è mai negativa, cosa falsa nel campo dei complessi), mentre un teorema valido per un campo in generale è valido per ogni campo particolare; si moltiplica in tanti, in infiniti teoremi, che sono le sue « traduzioni» nei molti, negli infiniti modelli concreti del concetto astratto di campo.

Un esempio molto semplice a chiarimento di tale affermazione. Partendo dalle sole proprietà formali delle operazioni di un campo, con una breve catena di deduzioni, si dimostra facilmente che il prodotto di due elementi - chiamiamoli a e b - è zero, se, e solo se, almeno uno dei due elementi è zero. Ebbene: possiamo allora essere certi che questa proprietà, la nota legge di annullamento del prodotto, è valida in ogni possibile « campo» concretamente definito.
La potenza di questo livello di astrazione algebrica, del concetto cioè di « struttura algebrica », è un bell'esempio della potenza della definizione assiomatica. Il metodo assiomatico non è specifico dell'algebra; domina oggi infatti tutta la matematica. Si tratta di definire degli « enti », senza specificare la natura degli elementi che li compongono, delle relazioni o operazioni che connettono tali elementi, ma limitandosi a imporre un certo numero di proprietà formali (assiomi) a tali relazioni o operazioni. È esattamente quello che abbiamo fatto per definire la struttura algebrica di campo. Avremmo potuto mettere, tra gli assiomi di un campo, anche la legge di annullamento del prodotto. Ma sarebbe stata un'aggiunta superflua, perché quella legge è deducibile dalle rimanenti proprietà.
Sorge cosi il problema di ridurre al minimo indispensabile gli assiomi che definiscono un dato ente, per esempio, un «campo», cioè di assicurarsi che essi sono « indipendenti», che nessuno di essi è un teorema dimostrabile a partire dagli altri.
Una volta compiuto questo lavoro, è molto naturale chiedersi che cosa vien fuori se si «lascia cadere », cioè se si omette, qualche assioma. Per esempio: i numeri interi relativi (positivi e negativi, più lo zero) non sono un modello di « campo» perché non vale per essi l'invertibilità degli elementi diversi da zero, con l'eccezione di + 1 e di - 1. (L'inverso di 1 è 1, e l'inverso di - 1 è - l; ma l'inverso, per esempio, di 2 è 1/2, e 1/2 è una frazione propria, non è un intero).
La « caduta» di questo assioma porta con sé la « caduta» di una dimostrazione formale della legge di annullamento del prodotto. Essa rimane valida per il caso particolare degli interi; esistono però strutture algebriche che hanno le proprietà formali elencate per gli interi, e nelle quali un prodotto può essere zero senza che sia zero nessuno dei due fattori. La cosa si vede bene, ad esempio, sul « calcolo dei resti» nella divisione per dodici (1).
Gli interi, le classi-resto nella divisione per dodici, e moltissimi altri enti matematici di primario interesse, non rientrano nel concetto di campo, bensì in quello di anello commutativo, che si ottiene da quello di campo lasciando «cadere» la richiesta di esistenza dell' 1 e con ciò di esistenza .dell'inverso per gli elementi diversi da zero (se si mantiene la richiesta che ci sia un «uno», si ottiene la sottoclasse, meno interessante, degli anelli commutativi con unità, alla quale appartengono gli interi e l'esempio sopra illustrato).
Naturalmente, quanti più assiomi faccio cadere, tanto più potente è il concetto astratto che ottengo. Il concetto di anello commutativo contiene in sé quello di « anello commutativo con unità », il quale a sua volta contiene in sé quello di campo. Il concetto di anello commutativo è poi racchiuso in quello di anello, che si ottiene rinunciando anche alla proprietà commutativa della moltiplicazione.

Piet Mondrian, Flowering apple tree, 1917

Occorre però dire che quel che si guadagna in ampiezza concettuale si perde in quantità di risultati. La legge di annullamento del prodotto è un teorema della teoria dei campi, non è invece un teorema della teoria - più generale - degli anelli, e neppure di quella - intermedia, per così dire - degli anelli commutativi.
C'è una specie di proporzionalità inversa tra la generalità di una teoria e la ricchezza dei suoi risultati. Si pone perciò all'algebrista il problema di fissare un grado di generalità « ottimale » per una teoria astratta, nella quale si vogliano incluse, come casi particolari, alcune strutture determinate, per esempio i numeri razionali, reali, complessi e interi. In quest'ultimo caso, la teoria dei campi è troppo ristretta, quella degli anelli troppo ampia; sarà bene ragionare su di un anello commutativo. (Sia detto tra parentesi: la scelta degli assiomi, che appare da un punto di vista logico-formale limitata solo dalla compatibilità logica delle richieste, è in verità, nello sviluppo storico del pensiero matematico, motivata o addirittura « imposta» da esigenze di contenuto, del tipo di quella or ora accennata).

Sempre partendo dal concetto di campo, possiamo però scegliere un'altra via, del tutto diversa dalla precedente, per costruire altri tipi di struttura algebrica. Possiamo fissare l'attenzione su di un'operazione soltanto, per esempio, sull'addizione, e mantenere solo gli assiomi relativi all'addizione, cioè le sole proprietà formali dell'addizione. Si viene cosi a definire una struttura algebrica importantissima, quella di gruppo commutativo, che si generalizza nella struttura di gruppo se si lascia cadere la proprietà commutativa.
Se si vuole dare una definizione generale dell' algebra astratta, si dovrà dire che essa è quel ramo della ricerca matematica che studia le strutture algebriche (insiemi con operazioni le quali verificano determinati assiomi). Se guardiamo lo sviluppo storico concreto dell'algebra astratta, possiamo però dire che essa è composta essenzialmente da due parti: la teoria dei gruppi e la teoria degli anelli. Fino a questo momento.

Piet Mondrian, Composition n. II; composition in line and color, 1913

Nuove strutture algebriche vengono fuori in modo «naturale» dalla ricerca matematica (in particolare geometrica, topologica, logica), in una qualche misura anche dalla ricerca fisica e sperimentale. Cosi, hanno avuto grande sviluppo la teoria degli anelli non associativi (si lascia «cadere» anche la legge associativa del prodotto), o la teoria dei semigruppi (si conserva solo la legge associativa dell'unica operazione in gioco in un gruppo). Si tratta, tuttavia, di ampliamenti delle teorie ormai classiche dei gruppi e degli anelli. Si studiano oggi però anche strutture di tutt'altro tipo, per esempio dotate di un'operazione «ternaria» (nella addizione e nella moltiplicazione, anche astratte, si « compongono» due elementi, l'operazione è quindi binaria; si ha invece un'operazione ternaria quando a ogni terna ordinata di elementi è associato un elemento come risultato della composizione tre a tre) Lasciamo da parte la teoria dei reticoli, che deriva dalla algebrizzazione della logica iniziata dal Boole nella metà dell'Ottocento. Si tratta di una teoria molto ricca di applicazioni, non solo alla logica, ma che tuttavia è coltivata soprattutto dai logici-matematici. Tale teoria si potrebbe forse aggiungere a quelle dei gruppi e degli anelli come terza componente fondamentale dell'algebra astratta, nel suo sviluppo concreto attuale.
Parlando del livello raggiunto dall'astrazione algebrica, non si può fare a meno di soffermarsi sul concetto, fondamentale, di isomorfismo tra due strutture algebriche assegnate in modo determinato, per esempio tra due gruppi « concreti ». Ciò significa che l'un gruppo si ottiene dall' altro con un opportuno cambiamento di nome degli elementi. Per essere rigorosi, due gruppi si dicono isomorfi quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dell'uno quelli dell' altro in modo tale che il corrispondente del composto coincida col composto dei corrispondenti (si ottiene cioè lo stesso risultato se prima si compongono gli elementi nel gruppo di partenza e poi si passa al corrispondente del risultato ottenuto nel gruppo di arrivo, oppure se prima si passa ai corrispondenti degli elementi del gruppo di partenza e poi si esegue la loro composizione nel gruppo di arrivo).

Certo, così è detto in modo ben più rigoroso, ma assai meno comprensibile. È meglio ritornare all'idea di due gruppi che differiscono solo per i « nomi» degli elementi e delle operazioni, solo per i « contenuti », ma non per la «forma », che quindi possono essere portati a «combaciare» perfettamente, quando si « traducono» opportunamente i nomi. Un esempio a chiarimento.
Gli elementi 1 e -l formano un gruppo rispetto all' ordinaria moltiplicazione; 1 x 1 è 1, - 1 x -1 è del pari 1, 1 x -1 è - 1. «Pari» ,e «dispari» sono pure i due elementi di un gruppo rispetto all' addizione ordinaria; pari più pari è pari, dispari più dispari è anche pari, mentre pari più dispari è dispari. Se si «traduce» 1 con « pari» e -l con « dispari », e si sostituisce alla moltiplicazione l'addizione, i due gruppi si sovrappongono: hanno la « stessa forma ».
Nell'algebra astratta, strutture algebriche isomorfe vengono considerate uguali, vengono identificate. Quello che conta è lo « schema formale », non il suo contenuto; quello che conta è la « struttura operatoria », non i nomi degli oggetti e delle leggi di composizione.
Il concetto di isomorfismo può essere risultato difficile, o addirittura incomprensibile, in questa breve spiegazione. In verità, esso è. accessibile anche a un ragazzo di undici - dodici anni, come dimostrano le esperienze di insegnamento matematico « nuovo» in corso in tutto il mondo. Il concetto di isomorfismo non è solo importante come tecnica algebrica, ma anche come idea generale. Per esempio, la corrispondenza tra « natura» e « conoscenza della natura », o « scienza », non mi sembra un « adeguamento dell'intelletto alla cosa », ma piuttosto un «isomorfismo» tra processo naturale e sua rappresentazione intellettuale.
Nuovi livelli di astrazione si cominciano a vedere nella teoria delle categorie, che tende a unificare teorie relative a strutture matematiche astratte tra di loro diverse, e nell'algebra universale, che si propone di ottenere risultati validi per strutture algebriche quali si vogliano. Di conseguenza, c'è da attendersi che l'attuale astrazione algebrica diventi rapidamente patrimonio culturale elementare, così come è accaduto per l'algebra che oggi chiamiamo classica, e che a suo tempo sembrava « aristocratica» e « sublime ».

(Trasmesso il 14 aprile 1972).

 

Lucio Lombardo Radice, bibliografia essenziale

Fascismo e anticomunismo : appunti e ricordi 1935-1945, Einaudi, 1947

Taccuino pedagogico, La Nuova Italia, 1983

L’educazione della mente, Editori Riuniti, 1962

Istituzioni di algebra astratta, Feltrinelli, 1965

Il metodo matematico, con Lina Mancini Proia, Principato, 1979

La matematica da Pitagora a Newton, Franco Muzzio Editore, 2003

L’infinito, Editori Riuniti, 1981

Nikolaj Ivanovic Lobacevskij, Nuovi principi della geometria, Traduzione di Lucio Lombardo Radice, Boringhieri, 1974.


(1) Scegliamo questo caso perché intuitivamente familiare a tutti, dal momento che, quando calcoliamo le ore su un comune orologio, compiamo, anche senza saperlo, un calcolo dei resti modulo 12, ossia consideriamo come « ore» quelle che si ottengono dividendo il risultato dei calcoli per 12 e tenendo buono solo il resto di tale divisione. Ad esempio: sono le 10; tra cinque ore, che ora segnerà l'orologio? Rispondiamo subito: segnerà le 3. Infatti, 10 + 5 = 15 e 15 : 12 = 1 con resto 3. Noi diciamo che saranno le 3 perché trascuriamo i giri completi del quadrante, cioè i multipli di 12, e quindi valgono come ore solo i resti della divisione per 12. Pertanto i resti della divisione per 12 sono le ore segnate sul quadrante e tali resti sono, appunto, dodici in tutto: dalle ore 0 alle ore 11, poiché le ore 0 e le ore 12 coincidono.
Quanto si è detto per la somma dei «resti modulo 12» vale anche per il prodotto di «resti modulo 12 »: così, non solo è vero che 10 + 5 = resto di 15: 12 = 3, ma è anche vero che 10 x 5 = resto di 50: 12 = 2. Potremo quindi sintetizzare tutto in una semplice regola: il risultato di una somma o di un prodotto di due «resti» (modulo 12) si ottiene addizionando o moltiplicando tali resti, dividendo ciò che si ottiene per il modulo (cioè per 12) e prendendo come risultato il resto di questa divisione. Ebbene, è facile vedere che, applicando tale regola, si può avere come risultato zero moltiplicando due fattori entrambi diversi da zero; ad esempio « resto 3 » x « resto 4» = « resto O »: infatti 3 x 4 = resto di 12 : 12 = 0. (up)