NUMERI

A cura di Camillo Grandi

febbraio 2007

NUMERI PERFETTI

Numeri perfetti: possiamo definirli (se non è troppo irriverente) gli 007 dei numeri? Sono i migliori, diceva già Luca Pacioli nel XV secolo:

Ancora si comme fra la gente più imperfecti e tristi che buoni e perfecti si trovano e li buoni sono pochi e rari: così fra li numeri pochi e rari sono li perfecti e molti e assai sonno li imperfecti: cioè superflui e diminuiti.

Erano numeri noti fin dai tempi più antichi, ai quali venivano attribuite proprietà magiche e misteriose. Il primo è il 6, ma vediamo in quale modo un numero viene, in generale, considerato perfetto.

Un numero si dice perfetto se la somma di tutti i suoi divisori, escluso il numero stesso, è ancora uguale al numero considerato.

In questo caso, 6 è divisibile per 1, 2 e 3 ed è 1 + 2 + 3 = 6. La somma dei suoi divisori propri riporta al numero stesso.
I matematici greci conoscevano altri tre numeri di questa "specie": 28, 496 e 8128. Il numero 28, ad esempio, è divisibile per 1, 2, 4, 7 e 14 (anche in questo caso escludiamo 28) ed è 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Jacopo de’ Barbari, Ritratto del matematico Fra’ Luca Pacioli, sec. XVI.

In genere se si sommano i divisori propri di un numero, cioè tutti i suoi divisori, tranne il numero stesso, si ottiene un numero che è più grande o più piccolo del numero considerato. Nel primo caso il numero viene chiamato sovrabbondante, nel secondo caso scarseggiante.

Ad esempio, 30 è un numero sovrabbondante, infatti la somma dei suoi divisori propri è maggiore di 30:
1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 = 42.
Mentre 50 è un numero scarseggiante, infatti la somma dei suoi divisori propri è minore di 50:
1 + 2 + 5 + 10 + 25 = 43.

E’ difficile trovare numeri perfetti, sono rari, ma affascinanti. A noi sembrano anche un po’ snob: hanno i loro divisori come tutti gli altri numeri, ma sono gli unici per i quali la somma dei divisori si chiude sul numero stesso.

Solo nel XV secolo venne identificato, da un matematico sconosciuto, il quinto numero perfetto: 33.550.336.
Il sesto e il settimo numero perfetto vennero scoperti da Pier Antonio Cataldi (1548 - 1626):
8.589.869.056 e 2.305.843.008.139.952.128

Si osservi che i primi quattro numeri perfetti possono essere scritti nel modo seguente:
2 x 3, 4 x 7, 16 x 31 e 64 x 127, cioè 2 x (4 - 1), 4 x ( 8 - 1), 16 x (32 - 1) e 64 x (128 - 1).
Da queste semplici osservazioni, evidenziando le potenze del 2 presenti in ogni numero perfetto, fu Euclide, nel 300 a. C., a dare per primo la formula dei numeri perfetti, nei suoi Elementi, Libro 9, Proposizione 36:

se p è un numero primo e, a sua volta 2 ^p - 1 è sempre primo, allora 2 ^p-1 x 1 (2^p - 1) è un numero perfetto.

Prendiamo, ad esempio, p = 5. Abbiamo 2⁵ - 1 = 31, che è ancora un numero primo e quindi 2⁴ x (2⁵ - 1) = 496 è un numero perfetto.
I numeri primi della forma 2^p - 1 si chiamano numeri primi di Mersenne, dal nome del frate minimo francese che ebbe l’idea di applicare tale formula alla ricerca dei numeri primi. E’ sufficiente perciò trovare un numero primo di Mersenne per avere, collegato a questo, un nuovo numero perfetto.
Ma senza calcolatore, i conti erano molto difficoltosi ed anche un matematico autorevole come Luca Pacioli sbagliò i calcoli, annunciando ai suoi colleghi matematici di aver trovato un "quattuordecimus numerus perfectus" di sedici cifre: 2²⁶ (2²⁷ - 1), che in realtà perfetto non è.

I numeri perfetti che si conoscono sono sempre pari ed Eulero, nel Settecento, verificò che sono dati, tutti, soltanto dalla formula di Euclide.
Sempre Eulero, nel 1772, trovò l’ottavo numero perfetto:
2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176
In formula, con p = 31: 2³⁰ x (2³¹ - 1). Un numero molto grande, all’epoca dei calcoli senza calcolatore, che autorizzò un matematico, Peter Barlow, a scrivere nella sua Teoria dei Numeri, pubblicata nel 1811:

La ricerca dei numeri perfetti invece continuò, anche senza calcolatore, arrivando alla scoperta di dodici numeri di questa specie. Il più grande di questi, è 2¹²⁶ (2¹²⁷ - 1), un numero di 77 cifre che impegnò per diversi mesi, nel 1877, Edouard Lucas, il grande esperto in giochi matematici.
L’anno dei numeri perfetti è stato il 1952 quando vennero scoperti, in pochi mesi, ben cinque nuovi numeri primi di Mersenne,
2⁵²¹ - 1, 2⁶⁰⁷ - 1, 2¹²⁷⁹ - 1, 2²²⁰³ - 1 e 2²²⁸¹ - 1
ognuno dei quali dava quindi origine a un nuovo numero perfetto.
Il venticinquesimo numero perfetto venne scoperto da due ragazzi di diciotto anni, Laura Nickel e Curt Noll, i 30 ottobre del 1978, usando un calcolatore della Univeristy of California.
La formula di Mersenne è quella più usata dai cosiddetti cacciatori di numeri primi che vanno alla ricerca dei numeri primi più grandi. Si parte da un numero primo già noto, lo si applica alla formula 2 p - 1 e si controlla, con appositi programmi, se il numero così trovato è ancora primo. In questo modo, fino a oggi, sono stati trovati 44 numeri primi di Mersenne e quindi 44 corrispondenti numeri perfetti.
Il più grande di questi, scoperto nel 2006, è: 2 ^32582656 (2 ^32582657 - 1)
E’ un numero che non possiamo naturalmente scrivere per esteso: le sue cifre riempirebbero le pagine di un volume. Sono infatti 19.616.714 cifre. Qualcuno le vuole vedere? Attenti però, non spaventatevi in mezzo a tutte quelle cifre!

http://amicable.adsl.dk/aliquot/c1/perfx44.txt

Osserviamo ancora che non sono mai stati trovati numeri perfetti dispari, ma potrebbero anche esistere. I matematici hanno però provato che, se esistono, devono avere almeno 300 cifre decimali e devono essere composti almeno da 29 fattori primi.

Una curiosità:
si può dimostrare che ogni numero perfetto, tranne il 6, è uguale a somme di successioni dei numeri dispari al cubo.
Ad esempio: 496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³
8.128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³+ 13³ + 15³

E’ facile verificare che la somma dei reciproci di tutti i divisori di un numero perfetto, incluso in questo caso il numero stesso, è sempre uguale a 2.
Ad esempio: 1/1 + ½ + ¼ + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

A questo punto abbiamo soltanto accennato ad uno degli argomenti più affascinanti della teoria dei numeri. Al lettore non resta che proseguire nella ricerca, “così per gioco”, aiutandosi anche con le migliaia di pagine che Internet dedica ai numeri perfetti.

In rete e in libreria

Richard W. Shoemaker, Perfect Numbers, National Council of Teachers of Mathematics, 1973

Martin Gardner - Show di Magia Matematica, Zanichelli, 1980

A. E. Ingham, R. C. Vaughan, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge University Press, 1990

John H. Conway e Richard K. Guy - Il libro dei numeri - Hoepli, 1999

Marcus Du Sautoy, L’enigma dei numeri primi, L’ipotesi di Riemann, il più grande mistero della matematica, Rizzoli, 2004

David Wells, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, Wiley, 2005

Angela Bulloch, Prime Numbers, Walther Konig, 2007

Numeri Perfetti su Mathworld:
http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html

Nell’archivio della St Andrew’s University si trova un’ampia presentazione storica dei numeri perfetti:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/perfect_numbers.html

Numeri Perfetti sulla Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number

Nel sito dello Swarthmore College sono elencati per esteso i primi 23 numeri perfetti:
http://forum.swarthmore.edu/dr.math/problems/perfect.html

La più dettagliata presentazione dei numeri perfetti, in quattro lezioni, arriva da Singapore:
http://home1.pacific.net.sg/~novelway/MEW2/lesson1.html

La pagina dei numeri di Mersenne:
http://primes.utm.edu/mersenne/index.html

La pagina dei Numeri Perfetti di Smith, H. J.
http://www.geocities.com/hjsmithh/Perfect/index.html

L’elenco di tutti i Numeri Perfetti:
http://amicable.homepage.dk/perfect.htm