Il filetto per i giochi degli innamorati

di Federico Peiretti

 

Parva tabella capit ternos utrimque lapillos
in qua vicisse est continuasse suos.

 


Il Filetto è un gioco antico che Ovidio ricorda nel terzo libro dell’Ars amatoria: “La piccola scacchiera riceve tre sassolini per parte / e vincere consiste nell’allineare i propri su di essa”. E’ un gioco che Ovidio raccomanda alle donne per avere fortuna in amore: Mille facesse iocos; turpe est nescire puellam / ludere: ludendo saepe paratur amor.

Schema della scacchiera del Filetto

“Triste è la fanciulla che non sa giocare, sono mille i giochi che deve conoscere, /perché sovente il gioco prepara all’amore”. Il filetto era un gioco popolare presso i romani, anche Marziale parla del filetto e di una scacchiera del gioco in avorio, ma la sua origine è ancora più antica.
Una delle tracce più antiche del gioco si trova nel tempio di Kurna, nell’Alto Egitto, dove su una pietra è incisa una scacchiera del filetto che risale al 1400 a. C. In Cina era noto ai tempi di Confucio con il nome di Luk Tsut k’i'. Nel Medioevo era uno dei giochi più popolari e le scacchiere che ancora oggi si vedono incise sui sedili del coro dell’Abbazia di Westminster o della Cattedrale di Canterbury, testimoniano come i monaci tentassero di combattere la monotonia e la noia delle lunghe pratiche di devozione con lo stesso passatempo clandestino dei nostri studenti.

Una matita e un foglio di carta o un pezzo di gesso e una lavagna, è tutto quanto occorre e ancora oggi il filetto, noto anche come "Tris", oppure "Noughts and Crosses" all’inglese e all'americana "Tic-Tac-Toe", impegna in lunghe sfide molti studenti. Scopo del gioco è “fare filetto” ovvero riuscire ad allineare tre gettoni simboli uguali, crocette per un giocatore, punti o cerchietti per l’altro, su una scacchiera quadrata 3 x 3, quindi su nove caselle, cercando di impedire all’avversario di fare altrettanto. Vince il primo che riesce a fare filetto. In figura c’è un esempio di partita a filetto, vinta dal giocatore "x", con una fila verticale. I ragazzi olandesi accompagnavano un tempo la loro vittoria con l'esclamazione: "Boter, melk en kaas, ik ben de baas" (Burro, latte e formaggio, io sono il campione).
Nella sua forma più antica, si gioca su una scacchiera 3x3 con sei pedine, tre per ogni giocatore. Dopo aver sistemato a turno le pedine, se nessuno dei due giocatori ha fatto filetto si continua muovendo a turno una sola pedina in una casella adiacente, con movimenti in senso ortogonale. I ragazzi egiziani ne giocano ancora oggi una variante, diffusa anche in Francia, in cui sono permessi movimenti in una qualsiasi direzione ortogonale o diagonale.

Il Controfiletto si gioca invece con la regola opposta: vince il giocatore che costringe l'avversario a collocare tre segni o tre gettoni uguali in fila.
Nel Filetto pazzo ogni giocatore può tracciare nelle caselle il segno che più preferisce, crocette o cerchietti, vince il primo giocatore che chiude tre segni uguali in fila.

Si può complicare ulteriormente il filetto passando a scacchiere più grandi, 4 x 4, 5 x 5 oppure giocando “a campo aperto”, senza altri confini che non siano quelli del foglio quadrettato sul quale si gioca. In quest’ultimo caso, i segni uguali da mettere in fila diventano però cinque.

La scacchiera del Mulino

Una variante un po' più complessa del filetto è il Mulino le cui origini risalgono sempre a più di duemila anni fa. Due giocatori hanno a disposizione 9 pedine e, nella prima fase del gioco, a turno, collocano sulla scacchiera vuota le loro pedine, una alla volta, in un qualsiasi punto vuoto. Quando un giocatore forma una fila di 3 pedine in linea retta, cioè un mulino, ha diritto a togliere dalla scacchiera una pedina dell'avversario. Soltanto le pedine che formano mulino non si possono più toccare.

Quando tutte le pedine sono state sistemate sulla scacchiera i giocatori proseguono spostando a turno una qualsiasi delle loro pedine in un punto vuoto adiacente a quello in cui si trova, cercando sempre di fare mulino e quindi di togliere una pedina all'avversario. Si tenga presente che un mulino si può fare e disfare tante volte quante si vuole e ogni volta che si riforma si può togliere una pedina all'avversario, evitando sempre di toccare quelle che formano i suoi mulini. Si vince quando l'avversario rimane con due pedine oppure tutte le sue pedine sono bloccate e non può più muoversi.
Esistono anche versioni tridimensionali del filetto, giocato su cubi, per i quali valgono le stesse regole delle scacchiere piane: si tratta sempre di riuscire a riempire per primi una fila, orizzontale, verticale o diagonale con il proprio simbolo. In figura il giocatore con il segno "X" ha fatto filetto in diagonale, sul cubo 3 x 3 x 3.

Il Filetto nelle tre dimensioni

Ma ritorniamo al gioco più semplice, che tanto semplice in realtà non è. Le mosse possibili su una scacchiera piana 3 x 3 sono infatti 362.880, cioè 9x8x7x6x5x4x3x2x1. Quando si gioca a filetto senza molte riflessioni, si cerca in genere di mettere in fila due segni uguali per completare poi la riga sperando nella distrazione dell’avversario. Un po’ più di attenzione potrebbe invece rendere il gioco meno banale. Per prima cosa, possiamo rendere il gioco più interessante continuando anche dopo che uno dei due giocatori ha fatto filetto. Se l’altro giocatore, alla mossa seguente, riesce a fare filetto, il primo giocatore vince solo un punto, altrimenti ne vince due. La vittoria vale tre punti se il primo giocatore, al suo turno, riesce ancora a fare un secondo filetto.
Distinguiamo le caselle della scacchiera numerandole da 1 a 9, come indicato in figura. La casella più conveniente per aprire la partita è la 5, quella centrale che appartiene a quattro file diverse: le due diagonali, un’orizzontale e una verticale. Possiamo dire per questo che la casella 5 ha un valore quattro, mentre le caselle d’angolo, 1, 3, 7 e 9, valgono tre. Le caselle meno vantaggiose sono le rimanenti 2, 4, 6 e 8 che hanno soltanto un valore due. Se il primo giocatore apre con la casella 5, il secondo dovrà rispondere con 1, 3, 7 oppure 9. Se il primo giocatore non apre con 5, sarà il secondo ad occupare, in risposta, questa casella. Se non ci sono altri elementi di decisione converrà

Tre fotogrammi dal film Wargame di John Badham

ovviamente occupare sempre la casella di valore più alto.
Chiamiamo semi-fila la configurazione di due segni uguali allineati. Se un giocatore blocca ogni semi-fila dell’avversario ponendo il proprio segno nella casella ancora libera, non potrà mai perdere tre punti. Può essere però conveniente abbandonare questa regola quando c’è il rischio di una perdita doppia, ripiegando in questo caso su un’altra semi-fila. Se la minaccia è sulla diagonale, questa deve essere subito bloccata. Se un giocatore completa per primo una fila e questa è in diagonale, allora vince sicuramente almeno due punti, perché in questo caso ha il suo segno su ognuna delle otto possibili file e quindi l’altro giocatore non ha alcuna possibilità di fare a sua volta filetto.
Si osservi ancora che per completare due file sono necessari almeno cinque segni uguali e quindi il secondo giocatore non potrà mai vincere tre punti, perché ha a disposizione soltanto quattro mosse ed essendo nove le mosse possibili sulla scacchiera 3 x 3.
Questi ai quali abbiamo accennato non sono che abbozzi di alcuni ragionamenti matematici, che possiamo chiamare teoremi di un “universo” particolare, quello del filetto. L'analisi matematica che ne risulta e che si potrebbe ampliare con l'aiuto della teoria dei giochi, mette in evidenza, nel modo più semplice e chiaro, le tecniche e i metodi dell’indagine matematica. Se si prosegue, si scopre ben presto che giocando “razionalmente”, senza distrazioni, non ci sono mai vincitori e il gioco finisce sempre alla pari.
E’ proprio quest'ultima considerazione a fermare il computer impazzito di Wargame, il film di John Badham. L’ordine di cercare una strategia vincente per il filetto riesce a metterlo in crisi. Il computer si rende rapidamente conto che non tutti i giochi prevedono un vincitore e ferma il suo “gioco” della guerra che stava portando alla distruzione totale.


Somma quindici

Per giocare al Somma 15 si dispone sul tavolo una normale serie di carte dall'asso al nove e a turno ogni giocatore ne prende una. Vince chi per primo riesce ad avere tre carte la cui somma sia 15, contrastato in questo naturalmente dall'avversario.
Non si direbbe che il Filetto e il Somma 15 abbiano qualcosa in comune, eppure sono matematicamente uguali. Proviamo infatti a disporre i numeri dall'uno al nove su una scacchiera, in modo da ricostruire il "quadrato magico" 3 x 3, cioè il quadrato nel quale la somma dei numeri di ogni riga, colonna o diagonale sia sempre uguale a 15. In questo modo risulta evidente che per avere tre carte la cui somma sia 15, bisogna prendere tre carte disposte sulla stessa riga, colonna o diagonale. Come dicono i matematici i due giochi sono "strutturalmente isomorfi".


Pipopette

Un cubo 4 x 4 x 4 è formato da 64 cubetti. Se prendiamo le sezioni del cubo che separano tali cubetti, cioè i quindici quadrati 4 x 4 di figura, arriviamo al Pipopette, il gioco proposto da un grande esperto in giochi matematici, Pierre Berloquin. Un gioco sicuramente non facile, perché richiede una chiara visione spaziale, che pochi possiedono e può quindi essere un ottimo esercizio proprio per migliorare la nostra comprensione dello spazio. Ogni quadratino dei quadrati 4 x 4 corrisponde a una faccia di uno dei cubetti unitari. In figura abbiamo segnato le sei facce di uno di questi cubetti.
I giocatori a turno colorano una faccia di un cubetto (riportata su uno dei 15 quadrati), con un proprio colore. Segna un punto il giocatore che per primo riesce a colorare le sei facce di un cubetto. Il vincitore ricomincia a giocare per primo e vince la partita il giocatore che riesce a colorare più cubetti.

Per saperne di più

Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici UNO, Sansoni, 1972, pag. 32 – 39.

Per una accurata analisi matematica del gioco si veda:
Fred Schuh, The Master Book of Mathematical Recreations, Dover Publications, 1968, pag. 69 - 100.

Ampia analisi matematica del filetto:
http://home.capecod.net/~pbaum/ttt/cover.htm

Applet java del filetto, anche in versione topologica e altri giochi:
http://www.northnet.org/weeks/TorusGames/index.html

Versioni interattive del gioco e di alcune sue varianti:
http://www.ex.ac.uk/cimt/games/gamein.htm
http://www.boulter.com/ttt/
http://www.scifi.com/headroom/
http://www.usacitylink.com/xmas/tictactoe/
http://allaboutfrogs.org/funstuff/java/tictactoe/

Il filetto “matematico”:
http://www.funbrain.com/tictactoe/

Filetto e numeri:
http://nrich.maths.org/mathsf/journalf/mar00/game3/index.html

Il Planet tac toe della Nasa:
http://starchild.gsfc.nasa.gov/docs/StarChild/solar_system_level1/activity/planet_tac_toe.html

Il filetto tridimensionale:
http://home.earthlink.net/~cmalumphy/3d.html

Il filetto nella quarta dimensione:
http://www.geocities.com/ResearchTriangle/System/3517/tictac4d/tictac4d.html

Il filetto con il programma relativo:
http://www.jaked.org/ttt.html

Il filetto interattivo sul grande foglio quadrettato. Si devono mettere in fila o in diagonale cinque segni:
http://www.bonus.com/bonus/card/Super_TTT.html

Il gioco da scaricare gratuitamente sul proprio PC:
http://www.lawrencegoetz.com/programs

Il filetto, computer contro uomo, uomo contro uomo o computer contro s e stesso:
http://www.billsgames.com/tic-tac-web/

Il Renju, un gioco giapponese simile al filetto, ma più complicato:
http://mokun.tripod.com/xo/renju.htm

Due varianti del Tic Tac Toe: Three Men's Morris e il Nine Men's Morris, ricordate anche da Shakespeare in Sogno di una notte di mezza estate, Atto 2, Scena2: The Nine Men's Morris is filled up with mud. E' il mulino:
http://web.ukonline.co.uk/james.masters/TraditionalGames/NineMensMorris.htm