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Fiammiferi a Marienbad
di Federico Peiretti
Il giardino “geometrico”
dell’albergo di L’anno scorso a Marienbad (1961), il film
di Alain Resnais.
Trent'anni fa, Giorgio Albertazzi era in vacanza
in un grande albergo dal fascino decadente, in una località non ben precisata
della Francia o della Germania. Inseguiva una bella signora, Delphine Seyrig,
e continuava a ripeterle, in modo quasi maniacale: "Noi ci conosciamo già,
ci siamo già amati, L'anno scorso a Marienbad". Accanto
ai due protagonisti del film di Alain Resnais, il “Giocatore”, un
enigmatico personaggio, probabile marito della bella signora, Sacha Pitoeff.
E' stato Alain Robbe-Grillet, sceneggiatore del film, che aveva studiato matematica
prima di arrivare al cinema, a portare nel film di Resnais simmetrie e labirinti
che creano la struttura particolare del racconto cinematografico e che ricordano
i disegni fantastici di Escher, il celebre pittore matematico. Inoltre, in primo
piano, ha collocato un gioco matematico, al quale Pitoeff risulta praticamente
invincibile. E’ un gioco per il quale servono dei gettoni, monete, sassi
o carte da gioco, ma generalmente si usano fiammiferi che vengono messi su diverse
file. Due giocatori, a turno, possono prelevare una parte o tutti i fiammiferi
di una fila, e soltanto di una fila. Perde il giocatore al quale rimane l'ultimo
fiammifero. Nella versione più comune sono previsti sedici fiammiferi,
disposti su quattro file rispettivamente di 1, 3, 5 e 7 fiammiferi. Pitoeff
continua a sfidare Albertazzi a questo gioco, tra camerieri e clienti dell'albergo
che li osservano immobili come statue. L'unico movimento, che diventa ossessione,
è quello del gioco. Un ospite dell'albergo osserva: "Chi fa la prima
mossa vince sempre... Si deve prendere sempre un numero pari di fiammiferi ...
il più piccolo numero intero dispari. E' una serie logaritmica. Si sceglie
ogni volta una riga diversa, si divide per tre ... sette per sette quarantanove".
Frammenti di un discorso volutamente oscuro (come tutto il film) che non ci
aiutano certo a capire il gioco.
Albertazzi di fronte a Pitoeff,
il giocatore, che non perde mai. L'anno scorso a Marienbad.
Si tratta in realtà del Nim, un
gioco originario dell'antica Cina che comparve per la prima volta in Europa
nel Cinquecento. Il suo nome deriva probabilmente dal tedesco nimm,
cioè prendere… i gettoni dal tavolo di gioco. Viene anche
chiamato Tactix e in cinese sarebbe il fan-tan. Una prima
completa analisi matematica del gioco venne svolta pubblicata nel 1901 da Charles
Leonard Bouton, docente di matematica alla Harvard University.
La strategia per vincere al gioco, valida anche nel caso di un numero diverso
di file e di fiammiferi, si fonda sul sistema binario, il sistema di numerazione
usato dai computer. Diamo una versione semplificata ma efficace di questa strategia,
rimandando il lettore interessato ad approfondire matematicamente l’argomento
alle pagine web indicate al termine di questa presentazione del gioco.
Una delle più comuni configurazioni
iniziali del Nim, con
1, 3, 5 e 7 fiammiferi disposti su quattro file.
Per prima cosa, si devono contare i fiammiferi di ogni fila e si trasformano
poi questi numeri nel sistema binario. E’ sufficiente quindi far corrispondere
1 a 1, 2 a 10, 3 a 11, 4 a 100, 5 a 101, 6 a 110, 7 a 111 e così via.
Si sommano poi i numeri binari così trovati. Se le cifre della somma
sono tutte uguali a zero oppure pari, la configurazione è vincente altrimenti,
se c’è anche una sola cifra dispari, è perdente. In quest’ultimo
caso, si procederà con una sottrazione di fiammiferi, in modo da trasformare
la configurazione in vincente. L'esempio di figura può chiarire le idee.
La somma dei fiammiferi sulle tre file è 132. La cifra dispari 3 ci segnala
che la configurazione di sinistra è perdente e possiamo trasformarla
in vincente sottraendo sei fiammiferi dalla terza fila. In questo modo infatti
la somma diventa 22, con le cifre tutte pari.
In chiusura del gioco, per vincere, sarà sufficiente lasciare un numero
dispari di file con un solo fiammifero.
Esempio di una mossa per passare
da una configurazione perdente a quella vincente
Questa strategia è valida anche nel caso
in cui il gioco preveda che il vincitore sia il giocatore che prende l'ultimo
fiammifero. Cambia soltanto il finale: si procede in modo da avere due file
con lo stesso numero di fiammiferi, cercando poi di mantenerle sempre con un
numero uguale di fiammiferi.
Un'altra divertente variante è il Poker Nim. In questo caso
è previsto che il giocatore, al suo turno, possa togliere fiammiferi
oppure aggiungerne, utilizzando quelli tolti nelle mosse precedenti.
Il Lasker's Nim prevede invece che il giocatore
possa spezzare una fila di fiammiferi in due file più piccole. In questo
caso il giocatore dovrà aspettare il prossimo turno per poter rimuovere
fiammiferi.
A proposito di fiammiferi.
Rompere il cerchio
E’ un rompicapo per i cinefili, molto bello che evidenzia quanto possano
pesare i condizionamenti dei … “luoghi” comuni.
Nel film Rompere il cerchio del regista
ungherese Peter Bacsò, il protagonista chiede a un amico di costruire
quattro triangoli equilateri con 6 fiammiferi, in modo che i lati di tutti i
triangoli abbiano una lunghezza corrispondente a quella di un intero fiammifero
(con la disposizione di figura se ne hanno quasi tre). La risposta alla fine
di questo articolo.
Il pesce giapponese
Dal Giappone arriva invece il rompicapo del pesce:
con 8 fiammiferi e una monetina si forma il pesce di figura. Si deve ricostruire
il pesce in modo che sia orientato nella direzione opposta spostando soltanto
3 fiammiferi e la monetina.
Le soluzioni al fondo dell’articolo
Per saperne di più
Fred Schuh, The master book of Mathematical
Recreations, Dover Publications, 1968, pag. 144 - 154
Martin Gardner, Enigmi e giochi matematici UNO,
Sansoni 1972, pag. 130 – 139.
Se si cerca "Nim" su Internet, con un
qualsiasi motore di ricerca, compaiono più di mille pagine, segno dell’interesse
che continua a suscitare questo gioco. Dagli indirizzi che presentiamo, e attraverso
i numerosi collegamenti che compaiono alle diverse pagine, si potrà scoprire
ogni aspetto del Nim.
Strategie di gioco, anche per il NIM:
http://alpha01.dm.unito.it/personalpages/cerruti/doc-html/giochi/giochi.html
Il gioco anche nella versione interattiva:
http://nunky.csr.unibo.it/~petrillo/
http://axp.mat.uniroma2.it/~tauraso/Java/Nim/nim.html
Le più accurate presentazioni del Nim:
http://www.brandeis.edu/sumsch/students/math/berry_eric/nimtest.html
http://dept-info.labri.u-bordeaux.fr/~loeb/nim/a.html
http://www.journey.sunysb.edu/Wise/Games/Nim.html
http://www.cs.mcgill.ca/~adeline/Nim.html
http://www.recreomath.qc.ca/dict_nim.htm
Anche la United States Naval Academy presenta una approfondita analisi del gioco,
offrendone una versione da scaricare sul proprio computer:
http://web.usna.navy.mil/~wdj/nim.htm
L'articolo della Britannica dedicato alla teoria
dei numeri con l'analisi matematica del Nim, nella variante Wythoff:
http://208.154.71.60/bcom/eb/article/printable/7/0,5722,117297,00.html
Alcune versioni interattive del gioco:
http://zaphod.uchicago.edu/~bryan/nim/
http://www.cut-the-knot.com/nim_st.html
http://www.freearcade.com/Nim.jav/Nim_body.html
http://www.chlond.demon.co.uk/Nim.html
Il Nim giocato con pile di monetine:
http://www.madras.fife.sch.uk/maths/games/nim.html
Il Nim nella variante di Wythoff, con la versione
interattiva del gioco:
http://www.cut-the-knot.com/pythagoras/withoff.html
Una variante del Nim con i pirati dei sette mari:
http://www.thebestweb.com/iss/testOfGame.asp
Altre varianti del Nim e una versione da scaricare gratuitamente sul proprio
computer:
http://www.ex.ac.uk/cimt/games/gameout.htm
Una divertente variante del Nim
http://www.5x5poker.com/puzzles/23match/23match.htm
Risposte
Rompere il cerchio
Per costruire i 4 triangoli equilateri bisogna “rompere il cerchio”,
abbandonare le due dimensione del piano e passare alle tre dimensioni: con i
6 fiammiferi si costruisce una piramide le cui 4 facce sono i triangoli richiesti.
Il pesce giapponese
Il pesce inverte la direzione spostando 3 fiammiferi
e la monetina.
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