Polimini

Josef Albers, Omaggio al quadrato, 1929

Solomon W. Golomb

Un semplice foglio a quadretti è il punto di partenza per scoprire un universo straordinario, ricco di strutture originali e curiose, dalle quali si può ricavare una serie infinita di giochi divertenti. Un foglio come quello che aveva davanti a sé Solomon W. Golomb, nel 1953 quando, giovane studente di Harvard, per superare la noia di una lezione poco interessante, incominciò a tracciare una serie di figure che avevano il quadretto come punto di partenza.
Da bravo matematico, tentò poi di classificarle, cercando di stabilire quante figure diverse fosse possibile costruire con un quadretto, con due, tre, quattro quadretti e così via, stabilendo però una regola precisa: i quadretti che componevano le varie figure dovevano avere almeno un lato in comune e si dovevano considerare equivalenti tutte quelle che potevano essere sovrapposte con un movimento qualsiasi.
Golomb chiamò polimini le figure così ottenute. In particolare, battezzò monomino il quadretto base, duomino l'unica figura che si può costruire con due quadretti, trimini quelle formate da tre quadretti, tetramini quelle di quattro quadretti, pentamini di cinque e così via, sempre tenendo presente la regola che i quadretti devono avere almeno un lato in comune e che si devono escludere le figure equivalenti.

Il monomino, il duomino, i due trimini e i cinque tetramini possibili, secondo le regole stabilite da Solomon W. Golomb

Egli presentò all'Harvard Mathematics Club il suo gioco, che divenne ben presto molto popolare fra gli studenti. Fu poi Martin Gardner, il massimo esperto in giochi matematici, a rilanciarlo in tutto il mondo attraverso le sue pagine di Scientific American.

I dodici pentamini. Per identificali possiamo collegarli alle lettere dell'alfabeto più vicine alla loro forma

I dodici pentamini, riportati in figura, sono alla base di alcuni fra i più bei giochi matematici, talmente affascinanti da meritare un'ampia citazione in uno dei racconti di Arthur C. Clarke, Terra imperiale, dove i pentamini sono uno dei giochi più popolari tra gli abitanti di Titano, il satellite di Saturno, colonizzato dall'uomo nel ventiduesimo secolo. E' il gioco che viene regalato a Duncan, ultimo rampollo della dinastia dei Mackenzie, dominatori di Titano, per mettere alla prova le sue capacità di logica e di intuizione. Lo studio di queste dodici figure e delle loro possibili combinazioni, afferma Arthur C. Clarke, era stato per Duncan la rivelazione dell'infinito.
La sfida è quella di costruire un rettangolo di 3 x 20 quadretti utilizzando i dodici pentamini. Un'impresa difficile visto che - ricorda Clarke - esistono soltanto due soluzioni su un milione di miliardi di possibili combinazioni.
Il lettore può costruirsi i dodici pentamini con quadratini in legno o in cartoncino e provare poi a ricostruire i rettangoli 3 x 20, 4 x 15, 5 x 12 e 6 x 10 per i quali esistono migliaia di soluzioni diverse.

In alto, il diabolico rettangolo 3 x 20: il più difficile da ricomporre, e un rettangolo 5 x 12 costruito con i dodici pentamini.

Riportiamo, come esempi, uno dei due diabolici rettangoli 3 x 20 e uno dei tanti rettangoli 5 x 12.

Su Internet abbiamo trovato l'artista dei polimini, Guenter Albrecht - Buehler, il quale realizza pregevoli mosaici in legno prendendo i polimini come tasselli per i suoi lavori. Uno di questi è riportato in figura.

Guenter Albrecht- Buehler Il castello magico, 1988

Vediamo altri due possibili giochi sempre legati ai pentamini. Il primo consiste nella ricerca dei rettangoli 5 x 13, costruiti con i dodici pentamini, e naturalmente un buco che deve avere la forma di uno dei pentamini. Riportiamo in figura una delle tante soluzioni possibili.

Un rettangolo 5 x 13, con un buco a forma del pentamino P e il pentamino costruito con nove dei pentamini di base a forma di C .

Il secondo è stato suggerito da R. M. Robinson, matematico dell'Università di Berkley. Si tratta di una costruzione con i pentamini che ha battezzato il problema della triplicazione: si deve costruire un modello di ogni pentamino tre volte più grande, usando nove dei pentamini di base. In questa pagina è riportato l'ingrandimento del pentamino C.

Una composizione di Guenter Albrecht Buehler in stile Escher: come nasce W da F e x.

Un altro gioco consiste nel ricoprire, con i dodici pentamini, una scacchiera 8 x 8. Poiché i polimini possono ricoprire soltanto 60 quadretti ne rimarranno naturalmente quattro vuoti in posizioni diverse, raggruppati o separati. Una delle possibili disposizioni è riportata in figura.

Il ricoprimento della scacchiera con i 12 pentamini.

Sempre la scacchiera può servire per un gioco competitivo proposto da Golomb. Si deve fabbricare una serie di pentamini, ognuno dei quali combaci esattamente con i quadretti della scacchiera. A turno, due giocatori scelgono poi un pentamino, collocandolo a piacere sulla scacchiera. Perde il giocatore che non riesce più a collocare un pezzo senza che vada a sovrapporsi agli altri.
"Il gioco - dice Golomb - ha un minimo di 5 mosse, un massimo di 12 e non può mai finire alla pari".

A questo punto il lettore curioso può allargare la sua indagine tentando di ritrovare gli altri polimini, formati da un numero maggiore di quadretti. Abbiamo visto che sono 12 i pentamini, mentre gli esamini sono 35 e 108 gli eptamini, 369 gli ottomini, 1285 i polimini formati da nove quadretti, 4655 quelli con dieci, 17073 quelli con undici, 63600 quelli con dodici quadretti e così via.
Dietro a questa successione numerica c'è una grande sfida matematica: non si conosce ancora la legge che collega il numero dei quadretti di partenza al numero dei corrispondenti polimini. E' una sfida ai lettori più bravi.

Per allargare le frontiere dei polimini si può poi passare alla terza dimensione prendendo semplicemente come base dei cubetti, collegati fra loro almeno su una faccia. Otteniamo in tal modo i dodici pentamini solidi. Con questi è possibile costruire una scatola di 60 cubetti, cioè 3 x 4 x 5: esistono 3940 diverse soluzioni. Una di queste è in figura, altre ne troverà il lettore curioso.
Ma il gioco infinito è soltanto all'inizio. Si possono infatti immaginare altri universi paralleli, dove al posto del quadretto troviamo, come elemento base il triangolo equilatero, l'esagono regolare che possono creare piacevoli strutture, simili a quelle che abbiamo appena visto. Ma di queste parleremo in altra occasione.

I dodici pentamini solidi, nello spazio a tre dimensioni.

Si può aprire un altro divertente campo di indagine studiando la saturazione del piano, cioè la sua copertura senza sovrapposizioni o buchi, usando come tessere polimini, polimondi o poliexi. Non ci sono difficoltà con con monomini, duomini, trimini o tetramini, ma ci sono già tre pentamini che per saturare il piano devono essere accoppiati con altri pentamini equivalenti ruotati di 180° rispetto al pentamino di partenza. Uno di questi, riportato in figura, è C. Anche alcuni degli esamini devono essere accoppiati con altri equivalenti ruotati di 180°, ma le cose si complicano già con gli eptamini, con quattro dei quali non è assolutamente possibile saturare il piano.

Per saperne di più

Il testo di riferimento per i polimini:
Solomon W. Golomb, Polyominoes: Puzzles Patterns, Problems, and Packings , Princeton University Press, 1994.

Una visita al sito di Golomb è d'obbligo:
http://commsci.usc.edu/faculty/golomb.html

Informazioni sui polimini:
http://www.treasure-troves.com/math/PolyominoTiling.html
http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/polyomino.html
http://www.cwi.nl/~jankok/etc/Polyomino.html
http://www.xs4all.nl/~gp/pentomino.html
http://home.scarlet.be/~demeod/

Un articolo di Ivars Peterson sui polimini:
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_9_27_99.html

Il gioco da scaricare gratuitamente sul proprio PC:
http://www2.hunterlink.net.au/~ddrge/games/games.html

Le soluzioni dei 35 esamini e dei 108 eptamini:
http://wwwjn.inf.athz.ch/ambros/polyo-list.html

Le opere dell'artista dei polimini, Guenter Albrecht - Buehler:
http://pubweb.acns.nwu.edu/~qbuehler/index.html

Versione interattiva dei pentamini
http://home.planetinternet.be/~odettedm/indexfr.html

La soluzione automatica al problema della scacchiera 8 x 8:
http://godel.hws.edu/java/pent1.html

I pentamini in due e in tre dimensioni:
http://lonestar.texas.net/~jenicek/pentomin/pentomin.html

I pentamini tridimensionali e la scatola 3 x 4 x 5:
http://members.cts.com/crash/h/hindskw/pentomno.html

La pagina dei polimondi, dei poliexi e di altri poli - forme
http://www.geocities.com/alclarke0/

Polimini e immaginazione, i sexomini e gli esagameti:
http://www.geocities.com/liviozuc/