Le tassellature di Penrose

Indice

1. Cos’è una tassellatura?

2. Gli oggetti impossibili di Roger Penrose

3. Le tassellature non periodiche

4. Coprire il piano con forme poligonali di Roger Penrose

5. Dalle tessere di Penrose ai quasicristalli

6. Tassellazioni con Cabri

7. Tassellature non periodiche in libreria e in rete

1. Cos’è una tassellatura?

Un esempio di tassellatura molto probabilmente ce l’avete in questo momento davanti a voi o meglio, sotto i vostri piedi. Il pavimento, che nella sua forma più comune è ricoperto di piastrelle quadrate. C’è una regola precisa però che dev’essere osservata: si ha una tassellatura soltanto quando le varie “tessere” che la compongono non si sovrappongono né lasciano spazi vuoti. Naturalmente la stessa regola la possiamo estendere allo spazio tridimensionale o all’iperspazio.
I pavimenti più comuni avranno una copertura di piastrelle quadrate oppure esagonali, con le quali è facile riempire un piano, replicando la stessa figura in diverse posizioni e facendo aderire le tessere fra loro. Anche una piastrella triangolare ricopre interamente il piano.
Osserviamo che una piastrella triangolare ha 3 assi di simmetria: ruotata di 120° risulta identica a quella di partenza. La mattonella quadrata ha invece 4 assi di simmetria e quella esagonale 6 assi di simmetria.

Triangoli, quadrati ed esagoni sono poligoni regolari che possono tassellare il piano.

Quella pentagonale ha 5 assi di simmetria, ma scopriamo che con i pentagoni non è possibile ricoprire il piano.

Affinché un poligono regolare tasselli il piano è necessario naturalmente che l’angolo interno sia un divisore di 360°. E questo vale per il triangolo, il quadrato e l’esagono. Non vale per il pentagono.

	L’arte di riempire un piano con uno schema ripetuto raggiunse il suo massimo sviluppo nella Spagna del tredicesimo secolo, dove i Mori usarono tutti i diciassette gruppi di simmetria nelle loro intrigate decorazioni dell’Alhambra. La loro preferenza per gli schemi astratti era dovuta alla stretta osservanza del precetto del Corano: “Tu non disegnerai alcuna figura...”.
La sala “Lindaraya” dell’Alhambra di Granada.	H. S. M. Coxeter

Abbiamo già incontrato le tassellature su questo sito, a proposito di Escher e dei suoi studi nati, dall’osservazione delle decorazioni dell’Alhambra di Granada.

Prima di proseguire, vediamo di definire meglio le tassellature. Le approfondiremo comunque più avanti, nella presentazione di Roger Penrose che ha dedicato una grande attenzione a questo argomento.
Con questo termine si intende una qualsiasi ripartizione del piano in un certo numero di figure dette tasselli. Si definisce poi tassellatura periodica una tassellatura che consente traslazioni almeno in due direzioni non parallele, come quelle che abbiamo appena visto. In caso contrario si dice non periodica. Un sistema di tasselli si dice aperiodico se con questi tasselli si ottiene una tassellatura non periodica.

2. Gli oggetti impossibili di Penrose

La tassellatura non periodica più famosa è quello studiata da Sir Roger Penrose, celebre fisico matematico, noto per i suoi lavori sui buchi neri e sulla teoria quantistica della gravità. E’ docente di Matematica dell'Università di Oxford.

Penrose è un grande esperto in giochi matematici e ritiene giustamente che la matematica sia il gioco più divertente. I suoi risultati eccezionali nel campo della cosmologia non sono così popolari come i suoi oggetti impossibili, e le tassellature non periodiche, che ritroviamo anche nel suo libro più noto, La mente nuova dell'imperatore. Un libro che nonostante la complessità degli argomenti affrontati, quando uscì nel 1989, diventò immediatamente un best seller. Per la prima volta i temi più attuali del dibattito scientifico venivano portati al grande pubblico da uno dei protagonisti di questa ricerca, in termini scientificamente corretti, ma comprensibili anche a chi non era del mestiere. "Un libro meraviglioso per profani intelligenti", lo definì Martin Gardner al quale, curiosamente, Penrose affidò la prefazione al libro.

Due oggetti impossibili (a sinistra) scoperti da Penrose quand'era ancora ragazzo, con l’aiuto del padre, e usati da M. C. Escher per alcune sue litografie (a destra).

3. Le tassellature non periodiche

Esistono molti insiemi di tasselli che portano a tassellature non periodiche. Il proimo, scoperto nel 1966, era enorme, formata da 20.246 tessere. Successivamente diversi matematici scoprirono insiemi di tessere sempre più piccoli, fino alle più semplici coppie di tessere di Penrose. La coppia più famosa è quella formata dalla «punta» e dall'«aquilone», due tessere che si ottengono da un rombo avente gli angoli rispettivamente di 72° e 108°. Se si riporta sulla diagonale maggiore la misura del lato del rombo, come indicato in figura, si ottengono due parti, chiamate, come abbiamo detto, punta e aquilone, con le quali è possibile costruire una tassellatura non periodica. Ma si deve fare attenzione a non ricostruire il rombo, altrimenti si ricade su una tassellatura regolare. Per evitare questo si possono segnare le due tessere con linee di colore diverso, oppure dotarle di rientranze e sporgenze, come indicato più avanti. In questo modo si impedisce che le tessere si colleghino secondo figure regolari.
Si osservi che il rapporto tra i lati è il numero d’oro. La lunghezza di un lato è 1,618... volte quella dell’altro lato. E curiosamente il numero di “aquiloni”, in qualsiasi schema che ricopra il piano, è esattamente 1,618... volte quello delle “punte”. Un’altra coppia di tessere che costruiscono una tassellatura non periodica, è formata da due rombi e le vedremo più avanti, nella presentazione dello stesso Penrose.
Per divertirci a comporre tassellature aperiodiche, possiamo procurarci un certo numero di queste tessere di Penrose, almeno un centinaio, con l'aiuto di una fotocopiatrice o, più semplicemente, collegandoci ad uno degli indirizzi riportati più avanti, dove troveremo tutte le tessere virtuali necessarie per il nostro gioco.

Le due tessere di Penrose, segnate con archi blu e rossi, per evitare, rifacendo il rombo, di ricadere su una tassellatura periodica.

Nel Pentagono regolare è nascosto il numero d’oro e anche la “punta” e l’”aquilone”.

Le tre tessere di figura sono polimini, scoperti da Penrose, che possono ricoprire il piano in modo non periodico. In questo caso, come abbiamo detto, non c'è un motivo stabilito, che si ripeta all'infinito, ma la composizione varia in modo imprevedibile, costruendo un arabesco affascinante. E’ un esempio di quelli che vengono definiti "universi giocattolo" e che Penrose ha utilizzato nel suo libro per evidenziare i limiti del computer. E’ infatti possibile dimostrare che questa copertura del piano è realizzabile, tuttavia il computer non è in grado di simulare questo universo, non esiste cioè un programma che consenta al computer di stabilire quando un insieme di tessere di questo tipo possa ricoprire il piano.

Due esempi di collegamento delle tessere, seguendo gli archi colorati. Si ottengono in tal modo quelli che vengono chiamati rispettivamente “Stella” e “Sole” di Penrose.

	Though this be madness, yet there is a method in't. Amleto, Atto 2, Scena 2
Immagine da http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/penrose.htm

4. Coprire il piano con forme poligonali

Come ultimo esempio di un problema di matematica che non sia ricorsivo, consideriamo il problema di coprire il piano euclideo con forme poligonali: disponendo di un numero finito di tali forme diverse, ci chiediamo se sia possibile ricoprire completamente il piano, senza vuoti e senza sovrapposizioni, usando solo queste forme e non altre. Una tale disposizione di forme è chiamata tassellatura del piano. Sappiamo bene che tali tassellature sono possibili usando solo quadrati, o solo triangoli equilateri, o solo esagoni regolari, ma non usando pentagoni regolari. Per tassellare il piano si possono usare molte altre forme singole, come ciascuno dei due pentagoni irregolari illustrati nella figura 4.6. Usando un paio di forme la tassellatura può diventare può complessa. Due esempi semplici sono forniti nella figura 4.7. Tutti gli esempi presentati finora hanno la proprietà di essere periodici; ciò significa che sono esattamente ripetitivi in due direzioni indipendenti. In termini matematici, diciamo che c'è un parallelogrammo periodico: un parallelogrammo che, qualora venga marcato in qualche modo e poi ripetuto di continuo nelle due direzioni parallele ai suoi lati, riprodurrà il disegno della tassellatura dato. Un esempio è presentato nella figura 4.8, dove a sinistra è raffigurata una tassellatura con una figura a forma di corno, che a destra è messa in relazione a un parallelogrammo periodico di cui si indica la tassellatura periodica.

Figura 4.6. Due esempi di tassellatura periodica del piano, ognuno dei quali usa una singola forma (trovati da Majorie Rice nel 1976)

Figura 4.7. Due esempi di tassellatura periodica del piano, ognuna delle quali usa due forme.

Figura 4.8. Una tassellatura periodica, illustrata in relazione al suo parallelogramma periodico.

Ora ci sono molte tassellature del piano che non sono periodiche. La figura 4.9 presenta tre tassellature “a spirale” non periodiche, con la stessa tessera di forma a corno della figura 4.8. Questa particolare forma di tessera è nota come “versatile” (per ovvie ragioni!) e fu escogitata da B. Grünbaum e G. C. Shephard (1981, 1987), che si fondarono a quanto pare su una forma precedente dovuta a H. Voderberg. Si noti che la forma versatile tassellerà il piano sia in modo periodico sia in modo aperiodico. Questa proprietà è condivisa da molte altre forme di tessere singole e da insiemi di forme di tessere. Esistono singole tessere o insiemi di tessere che tassellano il piano solo in modo aperiodico? la risposta a questa domanda è «sì». Nella figura 4.10 ho raffigurato un insieme di sei tessere costruite dal matematico americano Raphael Robinson (1971) che tasselleranno l'intero piano, ma solo in un modo aperiodico.

Figura 4.9. Tre tassellature non periodiche “a spirale” che usano la stessa forma “versatile” presentata nella figura 4.8.

Figura 4.10. Le sei tessere di Raphael Robinson che tassellano il piano solo in modo non periodico

Val la pena di esaminare in modo un po' dettagliato come abbia avuto origine questo insieme aperiodico di tessere (cfr. Grünbaum e Shephard, 1987). Nel 1961 il logico cinese-americano Hao Wang affrontò il problema se esista o no una procedura di decisione per il problema della tassellatura, ossia se ci sia un algoritmo per decidere se un dato insieme finito di forme poligonali diverse tassellerà o no l'intero piano! Wang riuscì a dimostrare la possibilità di tale procedimento se si potesse mostrare che ogni insieme finito di tessere distinte che tassellerà in qualche modo il piano, lo tassellerà anche in modo periodico. A quel tempo si pensava forse, secondo me, che probabilmente non potesse esistere un insieme che violasse questa condizione, cioè un insieme di tessere «aperiodico». Nel 1966, però, seguendo alcune delle indicazioni fornite da Wang, Robert Berger riuscì a mostrare che non esiste alcuna procedura di decisione per il problema della tassellatura: anche il problema della tassellatura fa parte della matematica non ricorsiva!¹²
Dal precedente risultato di Wang segue quindi che deve esistere un insieme di tessere aperiodico, e Berger fu in effetti in grado di presentare il primo esemplare di questa categoria. Per la complessità del suo ragionamento, però, il suo insieme implicava un numero di tessere diverse estremamente grande: in origine 20 426. Applicando qualche altro ragionamento ingegnoso, Berger riuscì a ridurne il numero a 104. Poi, nel 1 971, Raphael Robinson riuscì a ridurre ulteriormente il numero alle sei tessere presentate nella figura 4.10.

Figura 4.11. Un altro insieme di sei tessere che tassellano il piano solo in modo non periodico

Un altro insieme aperiodico di sei tessere è rappresentato nella figura 4.11. E’ un insieme che produssi io stesso nel 1973 seguendo una linea di pensiero del tutto indipendente. (Tornerò su questo argomento nel capitolo 10, dove nella figura 10.3 è rappresentata una superficie tassellata con queste forme.) Venuto a conoscenza dell'insieme aperiodico di sei forme di Robinson, cominciai a pensare a come ridurne il numero; e con varie operazioni di taglia e incolla riuscii a ridurle a due. Nella figura 4.12 sono raffigurati due progetti alternativi. Le strutture necessariamente aperiodiche presentate dalle tassellature completate hanno molte proprietà notevoli, fra cui una struttura quasi periodica con simmetria pentagonale, a quanto pare cristallograficamente impossibile. Tornerò in seguito su questi argomenti.
E forse notevole che una tale area della matematica apparentemente «banale», simile in apparenza a un «gioco per bambini» - come quella di coprire il piano con forme congruenti -, faccia parte in realtà della matematica non ricorsiva. Di fatto in quest'area ci sono molti problemi difficili e insoluti. Non si sa, per esempio, se esista un sistema aperiodico formato da una singola tessera.

Figura 4.12. Due coppie di tessere, ognuna delle quali tassella il piano solo in modo non periodico (“tessere di Penrose”); e regioni del piano tassellate con ciascuna coppia

Wang, Berger e Robinson affrontarono il problema della tassellatura usando tessere fondate su quadrati. Io qui sto considerando poligoni di forma generale, e occorre un qualche modo adeguatamente computabile per visualizzare le singole tessere. Un modo per farlo potrebbe essere quello di dare i loro vertici come punti del piano di Argand, punti che possono essere forniti in modo perfettamente adeguato con numeri algebrici.

5. Dalle tessere di Penrose ai quasicristalli

Quello che all’apparenza sembra soltanto un gioco, un divertente puzzle con tessere che ricoprono il piano, componendo affascinanti disegni sempre diversi, ha avuto un’importante applicazione. Ha permesso infatti di chiarire la struttura cristallina, cioè la disposizione degli atomi, di un gruppo di sostanze, chiamate quasicristalli, che sfidavano le leggi classiche della cristallografia. Le tassellature non periodiche, con le tessere di Penrose, sono il modello di riferimento di queste sostanze. Ricordiamo soltanto che generalmente i corpi solidi si presentano allo stato amorfo, con gli atomi disposti in modo casuale e disordinato, come il vetro, oppure allo stato cristallino, come il sale da cucina, con gli atomi disposti in ordine geometrico su reticoli tridimensionali, costituiti da miliardi di celle tutte uguali, ognuna delle quali in genere non è più grande di un decimilionesimo di centimetro. Regole geometriche, stabilite 150 anni fa, consentono di definire forme e proprietà dei cristalli. Una di tali regole afferma che le uniche simmetrie di rotazione permesse per una struttura cristallina sono quelle binaria, ternaria, quaternaria e senaria, tali cioè che la struttura del cristallo torna a coincidere con se stessa, dopo una rotazione di mezzo giro oppure dopo un terzo, un quarto, un sesto di giro. Ora le strutture delle tassellature aperiodiche hanno ««quasi»» una simmetria quinaria. Si possono cioè trovare dei movimenti che portano la struttura ««quasi»» a coincidere con se stessa: ««Non occorre che ci preoccupiamo qui del preciso significato di questa affermazione - dice Penrose - l'unico punto che ci interessa è che, se si avesse una sostanza in cui gli atomi fossero disposti ai vertici della forma, questa ci apparirebbe come una struttura cristallina, e nondimeno presenterebbe una simmetria quinaria proibita!»». Nel 1984, dieci anni dopo la scoperta delle tassellature non periodiche, Daniel Schechtman, un fisico israeliano, scoprì l'impossibile: una lega di alluminio e manganese che presentava una simmetria quinaria. Fino ad oggi sono state scoperte più di cento sostanze simili, per la maggior parte leghe dell'alluminio, battezzate quasicristalli. Nello stesso periodo in cui Schechtman scopriva i quasicristalli, Paul Steinhardt, docente di matematica alla Princeton University, avanzava l'ipotesi che gli atomi di una sostanza potessero costruire strutture aperiodiche simili alle tassellature di Penrose. Strutture che avrebbero potuto giustificare la simmetria quinaria dei quasicristalli.

Un quasi – cristallo, con una struttura cristallina chiaramente impossibile. Immagine da http://www.jyi.org/

Al posto dei due rombi di Penrose, Steinhardt propose di usare due romboidi che riempivano completamente lo spazio tridimensionale. Successivamente, una matematica tedesca, Petra Gummelt, suggerì di utilizzare un'unica tessera decagonale al posto dei due rombi.
Una tessera che compone ancora tassellature non periodiche, ma soltanto se vengono consentite sovrapposizioni. La conferma di questo modello matematico per i quasicristalli è arrivata su Nature poco tempo fa. Steinhardt ha annunciato la verifica sperimentale di questa ipotesi: la tassellatura ottenuta con le tessere decagonali, in parte sovrapposte, coincide perfettamente con la figura di diffrazione ai raggi X di un quasicristallo, studiato in Giappone dal Centro Nazionale delle Ricerche sui Metalli: una lega di alluminio, nichel e cobalto la cui formula è Al72Ni20Co8.

Il quasi – cristallo Al72Ni20Co8 Immagine da http://stem.ornl.gov

«Con una miglior comprensione del processo di formazione dei quasicristalli – afferma Steinhardt – e un miglior controllo della loro struttura e della loro composizione chimica, sarà possibile scoprire nuove applicazioni di questi materiali che risultano più duri dei cristalli e con una maggiore resistività elettrica alle basse temperature». Quello che all’origine non era che un semplice gioco è diventato il fondamento di un’importante ricerca scientifica. E questo conferma ancora una volta che la matematica non è che un gioco. Ma un gioco importante, perché è quello della natura.

6. Tassellazioni con Cabri

Siamo grati a CABRILOG S.A.S., Software Matematici Innovativi, Francia, www.cabri.com, per il permesso che ci ha concesso di pubblicare le pagine del Manuale CABRI GEOMETRE II plus, sulla costruzione di alcune tassellazioni.

Capitolo 7

Tassellazioni I

In questo capitolo costruiremo alcune tassellazioni del piano con dei poligoni. Cominciamo con qualche definizione semplificata, ma sufficiente per il seguito. Il lettore interessato potrà consultare il testo di riferimento di Branko Griinbaum e Geoffrey C. Shephard, Tilings and Patterns, Freeman, New York 1987. Esiste anche un gran numero di siti Internet sulle tassellazioni e sui gruppi di simmetria.
Si dice che un insieme di parti chiuse del piano è una tassellazione (o pavimentazione) del piano se gli interni delle parti sono disgiunti a due a due e l'unione di tutte le parti è l'intero piano. Le parti del piano utilizzate sono chiamate mattonelle (o facce) della tassellazione. L'intersezione non ridotta a un punto di due mattonelle è chiamata spigolo della tassellazione, e l'intersezione ridotta a un punto di due o più mattonelle è chiamata vertice della tassellazione.
Per una tassellazione P, si indica con S(P) l'insieme delle isometrie f del piano tali che l'immagine di ogni mattonella di P tramite f è una mattonella di P. S(P) è un gruppo, chiamato il gruppo delle simmetrie della tassellazione. Per questo gruppo si possono considerare diversi casi:

• S(P) non contiene alcuna traslazione. S(P) è allora isomorfo a un gruppo ciclico, eventualmente ridotto all'identità, generato da una rotazione di angolo 2p/n, o a un gruppo diedrale, gruppo delle simmetrie di un poligono regolare con n lati.

• S(P) contiene delle traslazioni di vettori tutti collineari. S(P) è allora isomorfo a uno dei 7 gruppi dei fregi.

• S(P) contiene due traslazioni di vettori non collineari. Allora S(P) è isomorfo a uno dei 17 gruppi cristallografici e la tassellazione è detta periodica.

Se tutte le mattonelle della tassellazione possono essere ottenute tramite un'isometria a partire da una sola mattonella, si dice che la tassellazione è monoedrale.
Qui prendiamo in esame soltanto il caso delle tassellazioni monoedrali ottenute con poligoni.
Ci proponiamo innanzitutto di costruire una tassellazione monoedrale in cui una mattonella è un triangolo qualunque.

Costruiamo un triangolo ABC qualunque con l'aiuto dello strumento [oggetti rettilinei] Triangolo, poi il punto medio I di uno dei lati, per esempio BC, con lo strumento [costruzioni] Punto medio. Sia D il simmetrico di A rispetto al punto I, ottenuto con lo strumento [trasformazioni]Simmetria centrale, selezionando dapprima l'oggetto da trasformare A, poi il centro di simmetria I.

Il quadrilatero ABCD è un parallelogramma e si può utilizzare per pavimentare il piano. Si costruiscono i due vettori AB e AC, con lo strumento [oggetti rettilinei]Vettore, e poi vengono utilizzati per duplicare i triangoli ABC e BCD tramite una traslazione, con lo strumento [trasformazioni] Traslazione.

FIGURA 7.1 - Sinistra. A partire da un triangolo ABC qualunque, si costruisce il suo simmetrico rispetto al punto medio di uno dei suoi lati (qui, BC). Si ottiene allora un parallelogramma ABCD. Destra. Lo strumento [trasformazioni]Traslazione permette di costruire le immagini dei due triangoli con le traslazioni di vettori AB e AC.

Lo stesso approccio permette di pavimentare il piano con un quadrilatero qualunque, convesso o no. Si prende il simmetrico del quadrilatero rispetto al punto medio di un lato, e si otterrà un esagono con i lati paralleli due a due, che tassella il piano per traslazione.
Il caso degli altri poligoni convessi è molto più complicato. A partire da 7 lati, si può dimostrare che nessun poligono convesso può pavimentare il piano. Ci sono 3 tipi di esagoni convessi che tassellano il piano, e almeno 14 tipi di pentagoni convessi che tassellano il piano, ogni tipo essendo definito da un insieme di condizioni sugli angoli e le lunghezze dei lati. Nel caso dei pentagoni, non si sa al momento attuale se i 14 tipi conosciuti forniscono tutte le soluzioni al problema. L'ultimo tipo conosciuto è stato scoperto nel 1985. Anche per i poligoni non convessi la questione, a nostra conoscenza, non è stata ancora risolta.

FIGURA 7.2 - Lo stesso tipo di costruzione permette di pavimentare il piano con un quadrilatero qualunque, eventualmente non convesso, purché non incrociato

ESERCIZIO 12 - Costruire un pentagono convesso ABCDE che verifichi le condizioni seguenti: l'angolo in A è Â = 60°, l'angolo in C è C = 120°, AB = AE, CB = C D.

Queste condizioni non determinano un pentagono unico, ma una famiglia di pentagoni. Il numero di punti liberi della costruzione sarà dunque almeno tre.
Con delle rotazioni successive di centro A e di angolo 60° (strumento [trasformazioni] Rotazione, che richiede inizialmente l'oggetto da trasformare, un angolo e il centro) costruire un "fiore" di 6 pentagoni. L'angolo è un numero scelto sul foglio con lo strumento [testo e simboli] Numeri.
I "fiori" ottenuti possono allora essere assemblati tramite traslazione per pavimentare il piano. La tassellazione ottenuta è il "tipo 5" della classificazione data in Tilings and Patterns. Questa tassellazione è stata pubblicata da K. Reinhardt nel 1918.

FIGURA 7.3 - Sinistra. Costruzione di un pentagono che verifica le condizioni A = 60°, è = 120°, AB = AE e CB = CD. I punti A, B e C sono liberi nel piano. Destra. Il pentagono di base è riprodotto con rotazioni di centro A e angolo di 60°, per formare un "fiore" a sei petali. I "fiori" sono assemblati tramite traslazione per ricoprire il piano.

Questa tassellazione è non solo monoedrale, ossia con tutte le mattonelle identiche a meno di isometrie, ma in più è anche isoedrale, ovvero tutte le mattonelle giocano lo stesso ruolo nella tassellazione. Più precisamente, se una isometria trasforma una mattonella in un'altra mattonella della tassellazione, allora questa isometria fa parte del gruppo delle simmetrie della tassellazione.
ESERCIZIO* 13 - Costruire un pentagono ABCDE che verifica le condizioni E = 90°, A + D = 180°, 2B - D = 180°, 2C + D = 360°, EA = ED = AB + CD.

FIGURA 7.4 - Pentagono di "tipo 10" secondo la classificazione del libro "Tilings and Patterns". Questo pentagono serve come base per una tassellazione monoedrale del piano. I punti E e A sono liberi e il punto I è libero su un arco di circonferenza.

La tassellazione è realizzata facendo all'inizio tre copie della mattonella tramite rotazioni successive di 90° attorno al punto E, per ottenere un quadrato troncato. Poi questi quadrati troncati sono accostati in "strisce" tramite traslazione in una direzione. Le "strisce" di quadrati sono separate da "strisce" di pentagoni, come nella figura riportata di seguito.

FIGURA 7.5 - Pavimentazione monoedrale con dei pentagoni convessi. Questa tassellazione è dovuta a Richard E. James III, trovata in seguito alla pubblicazione di un articolo di Martin Gardner nello "Scientific American" nel 1975. Si può trovare questo articolo, completato, in Martin Gardner, "Time travel and other mathematical bewilderments", Freeman, 1987.

Capitolo 8

Tassellazioni II

Questo capitolo fa riferimento alle definizioni date nel capitolo precedente "Tassellazioni l''.
Esistono degli insiemi di poligoni a partire dai quali non si può costruire nessuna tassellazione periodica. La più conosciuta è certamente quella delle "mattonelle" di Penrose, dal nome del matematico Roger Penrose che le ha scoperte nel 1974. Queste mattonelle sono chiamate "Kite" (aquilone) e "Dart" (freccia). Sulle mattonelle è disegnato un motivo colorato e solo gli assemblaggi che rispettano la corrispondenza dei colori sono permessi; questo scarta le tassellazioni periodiche. Queste due mattonelle sono dei quadrilateri con gli angoli multipli di θ = 36° e i lati di lunghezza 1 e φ, con &phi = (1 + v5)/2, un celebre numero detto rapporto aureo. Il motivo colorato qui presentato è dovuto a John Conway e fornisce delle sorprendenti curve che presentano un'invarianza per rotazioni dell'angolo θ

FIGURA 8.1 - Mattonelle "Dart" (a sinistra) e "Kite" (a destra).

Poiché le mattonelle "Kite" e "Dart" sono un po' laboriose da disegnare, ci proponiamo di creare delle macro-costruzioni che permettano di ottenere liberamente, con un paio di clic del mouse, il loro disegno sul foglio di lavoro.
Una macro-costruzione (o macro) permette di ottenere una figura in corrispondenza a un sottoinsieme di oggetti della figura. Per definire una macro occorre assegnare, in una figura, un insieme di oggetti iniziali e un insieme di oggetti finali, che si possa costruire a partire da quelli iniziali. Una volta definita la macro, nella casella degli strumenti [macro] si ha a disposizione un nuovo strumento. Questo, per essere utilizzato, richiede la selezione di un insieme similare di oggetti iniziali, e riproduce la costruzione memorizzata nella macro a partire da questi oggetti. Nel momento della creazione della macro, abbiamo la possibilità di darle un nome, di disegnare la sua icona e di salvarla in un file separato. È anche possibile utilizzare la macro di una figura in un'altra figura: basta aprire simultaneamente le due figure e in questo modo la macro sarà utilizzabile in entrambe. Una macro è incorporata nel file di una figura se essa è stata utilizzata o definita in questa.

Si può "sovraccaricare" la definizione di una macro, definendo una macro con lo stesso nome che, pur avendo oggetti iniziali diversi, costruisce gli stessi oggetti finali.
Cabri Géomètre allora domanda, nel momento della definizione della macro, se occorre sostituire la precedente macro o se si desidera completarla. Se si sceglie di completarla, allora si potrà utilizzare indifferentemente una delle due macro. In questo modo, per esempio, si può definire una macro che prenda in ingresso sia due punti che un segmento.

Andiamo allora a definire una macro Dart 1 L che, a partire da due punti A e B, costruisce una mattonella "Dart" che si appoggia sul segmento AB, considerando B a partire da A, tale che AB sia un lato corto (da cui l'1 del nome) della mattonella e l'estremo dell'arco appartenente ad AB sia più lontano da A che da B (da cui la L, per "lontano"). Definiremo anche la macro Dart 1 C, costruendo una mattonella "Dart" a partire da due punti A e B, tale che il lato AB sia ancora un lato corto, ma che l'estremo dell'arco appartenente ad AB sia più vicino ad A che a B (da cui il C del nome per "vicino"). Nello stesso modo definiremo la macro Dart phi L, Dart phi C e le quattro macro corrispondenti per "Kite".

Per definire queste macro, bisogna prima disegnare le mattonelle a partire da due punti. Prendiamo dunque due punti qualunque A e B, costruiti con lo strumento [punti] Punto, che rappresenteranno la lunghezza unitaria delle mattonelle. Si costruisce dapprima la retta AB, con lo strumento [oggetti rettilinei] Retta, poi la retta perpendicolare a AB passante per A, con lo strumento [costruzioni] Retta perpendicolare, e la circonferenza di centro A passante per B con lo strumento [ curve] Circonferenza. Si costruisce infine un punto d'intersezione C della perpendicolare a AB con la circonferenza. Con lo strumento [punti] Punto si selezionerà l'intersezione "sopra" il segmento AB.
Per prima cosa dividiamo la circonferenza in l0 parti uguali. Costruiamo il simmetrico B' di A rispetto a B, e il simmetrico A' di B rispetto ad A. Si usa lo strumento [trasformazioni] Simmetria centrale, selezionando dapprima il punto da trasformare, poi il centro di simmetria. Sulla retta AB, se A ha ascissa 0 e B ha ascissa 1, allora B' è in 2 e A' in -1. Abbiamo anche bisogno del punto medio A’’ tra A e A', ottenuto con lo strumento [costruzioni] Punto medio. Con le convenzioni precedenti l'ascissa di A’’ su AB è -1/2. Si costruisce quindi la circonferenza di centro A’’ e passante per C. Questa circonferenza interseca la retta AB in due punti, P ("a sinistra" di A) e Q “a destra" di A). Le ascisse di P e Q sono rispettivamente –φ e φ – 1. Le perpendicolari ad AB passanti per P e Q intersecano la circonferenza di centro A passante per B' in quattro punti, vertici di un pentagono regolare il cui quinto vertice è B'. Si completa il decagono regolare per simmetria, per ottenere la figura riportata nel seguito. Si costruisce così l'angolo θ = 36° e la lunghezza φ = (1 + v5)/2, due grandezze intimamente legate al pentagono regolare.

FIGURA 8.2 - Sinistra. Suddivisione del cerchio in l0 settori uguali. Destra. Si riporta la suddivisione sulla circonferenza di raggio φ, e si nascondono gli elementi che non servono per il seguito.

Tracciamo la circonferenza di centro A passante per P. Il raggio di questa circonferenza è dunque φ.

Si riporta la suddivisione in 10 parti su questa circonferenza, poi si nascondono gli elementi di costruzione con lo strumento [attributi] Mostra/Nascondi, per lasciare visibili soltanto gli elementi della seguente figura. I vertici del decagono regolare inscritto nella circonferenza di raggio φ sono denominati R, 1, 2, 3, 4, P, 6, 7, 8 e 9.

Il seguito delle costruzioni deve essere fatto prendendo a modello la figura seguente.

Si costruiscono i segmenti che congiungono il punto P e i punti 2 e 8 con lo strumento [oggetti rettilinei] Segmento, poi i due quadrilateri con lo strumento [oggetti rettilinei] Poligono. Si disegnano poi le circonferenze sostegno degli archi, con [curve] Circonferenza, poi finalmente gli archi con [curve] Arco di circonferenza. Un arco di circonferenza è definito da tre punti: i suoi due estremi e un punto interno, che è il secondo punto selezionato. Si nasconderanno poi i punti che definiscono gli archi, per evitare che essi compaiano nel momento dell'utilizzazione delle macro. L'aspetto degli archi e dei quadrilateri viene modificato utilizzando gli strumenti [attributi] Spessore e [attributi] Colore.

FIGURA 8.3 - Costruzione delle due mattonelle e degli archi colorati.

Possiamo ora creare due delle macro necessarie. Attiviamo lo strumento [macro] Oggetti iniziali, e selezioniamo B e poi A.

L'ordine di selezione degli oggetti dello stesso tipo è importante; essi dovranno essere selezionati nello stesso ordine desiderato nel momento dell'utilizzazione della macro. Attiviamo ora lo strumento [macro] Oggetti finali, e selezioniamo il poligono Dart e i suoi due archi. Infine, la macro viene definita attivando lo strumento [macro] Definizione della macro. La chiameremo Dart 1 L. Nel momento della definizione della macro, si può disegnare l'icona dello strumento, assegnarle un nome, inserire qualche riga di commento, dare un nome al primo oggetto creato e proteggere la macro con una password (scelta utile in classe, per definire delle "scatole nere", ossia delle caselle di strumenti dei quali si conoscono solo gli oggetti iniziali e finali).
Una volta che la macro è stata definita, nella casella degli strumenti [macro] appare un nuovo strumento. Andiamo a verificare il funzionamento della nostra nuova macro. Selezioniamo lo strumento [macro] Dart 1 L, e due nuovi punti U e V. Si ottiene una nuova mattonella Dart, basata sui punti U e V.

FIGURA 8.4 - Sinistra. Applicazione della macro Dart 1 L a due nuovi punti U e V. Destra. Inizio della tassellazione "Sole", costruita con l'aiuto delle nostre due macro.

A partire dalla nostra costruzione, si definisce nello stesso modo la macro Kite 1 L. Usando queste due macro, si può cominciare a costruire la tassellazione "Sole", che ha lo stesso gruppo di simmetrie del pentagono regolare.

ESERCIZIO 14 – Definire le altre sei macro e continuare la tassellazione del “Sole”. Disegnare la tassellazione “Stella”, il cui centro è formato da cinque mattonelle Dart che puntano verso il vertice centrale.

ESERCIZIO 15 – Elencare le 7 configurazioni possibili con le mattonelle di Penrose attorno a un vertice.

7. Tassellature non periodiche in libreria e in rete

Tassellature su Polymath:

Matematica e...Tassellature
Il mondo di Escher

La mente nuova dell’Imperatore
Prefazione di Martin Gardner

Il numero d’oro di Federico Peiretti

M. Gardner, Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles, Scientific American, n. 236, gennaio 1977

Roger Penrose, La mente nuova dell’imperatore, pp. 180 – 189, 548 – 554, Rizzoli, 1992

P. Bellingeri, M. Dedò, S. Di Sieno, C. Turrini, Il ritmo delle forme, Parte II, Mimesis, 2001

Ivars Peterson, Il turista matematico, pp. 260 – 273, Rizzoli, 1991

Tassellature non periodiche di Federico Peiretti, LA STAMPA, TuttoScienze, 11/8/93

I quasicristalli, giocare con le tessere di Penrose di Federico Peiretti, LA STAMPA, TuttoScienze, 17/2/99.

http://www2.spsu.edu/math/tile/index.htm
Una stupenda lezione sulle tassellature.

http://mathworld.wolfram.com/topics/Tiling.html
Uno dei più sicuri riferimenti per le tassellature è la pagina di Mathworld

http://plus.maths.org/issue18/features/penrose/
Un articolo della rivista online PLUS.

http://www.scienceu.com/geometry/articles/tiling/wallpaper.html
Le diciassette tessere della carta da parati, Wallpaper tilings, come introduzione alle simmetrie, con esempi animati.
http://mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html
Una bella introduzione alle tassellature di Suzanne Alejandre.

http://mitglied.lycos.de/polyforms/
Poliforme per le tassellature
e in particolare i “Politani” e i “Poliaboli”
http://mitglied.lycos.de/polyforms/polytans/hextanplus.html

http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/1684/Penrose.html
Un applet molto divertente di ShuXiang Zeng, per costruire tassellature non periodica di Penrose, con tessere di tutti i colori.

http://wwwphy.princeton.edu/~steinh/quasi/
Un saggio sui quasi cristalli e altri studi di Paul J. Steinhardt, Dipartimento di Fisica dell’Università di Princeton.

http://haides.caltech.edu/~lifshitz/symmetry.html
Una chiara ed esauriente introduzione alla teoria dei quasicristalli.

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/sym.html
I link alle principali pagine di “Simmetria e teoria dei gruppi”

Lucio Saffaro, Tassellatura non archimedea

http://www.angelusnovus.it/catalogo/saffaro.htm
Le tassellature di Lucio Saffaro

http://www.geom.uiuc.edu/java/Kali/
Java Kali, un programma per visualizzare le simmetrie delle figure finite del piano, dei fregi e delle carte da parati.

http://matematica.uni-bocconi.it/tassellatura1/tracce.htm
Dalla tassellatura del piano alla pavimentazione di spazi urbani, un articolo di Judith Flagg Moran e Kim Williams

¹² Hanf (1974) e Myers (1974) hanno mostrato inoltre che esiste un singolo insieme (formato da un gran numero di tessere) che tassellerà il piano solo in un modo non computabile. (up)