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I NANETTI MISTERIOSI
di Ennio Peres
Il seguente, sorprendente gioco grafico (realizzato
nel 1985 da Susanna Serafini, per la Clementoni) è una variante di un
ingegnoso rompicapo ideato nel 1896 dall’enigmista statunitense, Sam Loyd.
Il trucco su cui si basa, sfrutta un ragionamento matematico piuttosto elementare;
la sua individuazione, però, non è affatto immediata.
Preparazione
Stampateate le tre figure rettangolari riprodotte
qui sotto; incollatele su un cartoncino rigido e ritagliatele lungo i bordi..
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| Figura 1 |
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| Figura 2 |
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| Figura 3 |
Presentazione
- Disponete su una superficie piana i tre cartoncini
ottenuti in base alle precedenti istruzioni e accostateli nel modo indicato
in fig. 4.
- Chiedete ai vostri spettatori di contare i nanetti che si vedono nel disegno
così composto. Tutti converranno che ce ne sono 15; né uno di
più, né uno di meno...
Figura. 4
- Scambiate di posto i due cartoncini superiori
(come indicato in fig. 5) e pregate i vostri spettatori di contare nuovamente
i nanetti… Incredibilmente, questa volta saranno solo 14: uno di loro
sarà scomparso nel nulla!
Figura 5
Spiegazione del trucco
Come si può notare, nell’insieme dei
tre cartoncini sono raffigurate 28 porzioni di nanetti, di varia misura: 14
nell’insieme dei due cartoncini superiori e 14 in quello inferiore.
Posizionando i cartoncini come indicato in fig. 4, si abbinano solo 13 coppie
di porzioni, mentre ne rimangono isolate due molto grandi (una sopra e una sotto),
che corrispondono praticamente a due nanetti interi (precisamente il 6°
e il 13° da sinistra). In questa configurazione, quindi, i nanetti che si
vedono sono: 13+1+1 = 15.
Se si inverte la posizione dei due cartoncini superiori (fig. 5), ciascuna delle
14 porzioni inferiori, combacia perfettamente con una delle 14 superiori. In
questa configurazione, quindi, appaiono solo 14 nanetti.
È bene chiarire che non ha senso chiedersi quale nanetto sparisca; infatti,
tutti gli elementi iconografici presenti all’inizio si ritrovano anche
alla fine, anche se disposti in un altro modo.
Ovviamente, siccome negli spostamenti dei due cartoncini nulla si crea e nulla
si distrugge, i 15 nanetti che appaiono nella fig. 4 sono tutti mediamente un
po’ più piccoli dei 14 che si vedono nella fig. 5.
La struttura di base
La costruzione grafica che consente l’effettuazione
di questo gioco può essere evidenziata dai due schemi seguenti, nei quali
ogni nanetto è rappresentato da un segmento verticale.
Come si può notare, il taglio orizzontale divide i segmenti in 28 parti,
di varie misure: 14 disposte nell’insieme dei due rettangoli superiori
e 14 in quello inferiore.
Nella situazione indicata in fig. 6, si abbinano solo 13 coppie di queste parti
di segmenti, mentre ne rimangono isolate due molto lunghe (FF sotto e OO sopra).
In questa configurazione, quindi, i segmenti interi che si vanno a ricomporre
sono: 13+1+1 = 15.
Figura 6
Se si inverte la posizione dei due cartoncini superiori
(fig. 7), ciascuna delle 14 parti superiori, combacia perfettamente con una
delle 14 inferiori. In questa configurazione, quindi, si formano solo 14 segmenti
interi.
Figura 7
Ovviamente, come si può facilmente verificare,
i 15 segmenti che appaiono nella fig. 6, sono tutti mediamente un po’
più piccoli dei 14 che si vedono nella fig. 7.
Sulla traccia dello schema di fig. 6, è possibile realizzare delle versioni
personali di questo gioco, sostituendo tutte le linee verticali con delle immagini
di forma adeguata, anche molto semplici (come lapis, alberi, torri, ecc.).
Il concetto primario
Il gioco in questione è frutto di una sofisticata
applicazione del seguente, semplice paradosso geometrico.
- Tracciate su un foglietto un certo numero di linee rette verticali, tutte
alla stessa distanza l’una dall’altra e tutte della medesima lunghezza.
- Dividete il foglietto con un taglio obliquo che lasci intatte la prima e l’ultima
linea (fig. 6).
- Fate slittare la metà inferiore del foglietto
verso sinistra, di uno spazio uguale alla distanza tra una linea e l’altra
(fig. 7).
- Contate quante linee compaiono ora: ne troverete una di meno...
In questo caso così schematico, non è
difficile verificare che, in realtà, non è scomparsa alcuna linea,
ma che ognuna di quelle nuove si è accresciuta di un piccolo tratto,
rispetto alle precedenti.
Infatti il taglio obliquo genera 14 segmenti di varia misura: 7 nella metà
superiore del foglietto e 7 in quella inferiore.
Nella situazione iniziale di fig. 4, si abbinano solo 6 coppie di segmenti,
mentre ne rimangono isolati due (AA sopra e HH sotto). In questa configurazione,
quindi, si contano: 6 + 1+ 1 = 8 linee verticali.
Se si fa slittare la metà inferiore del foglietto (fig. 5), ciascuno
dei 7 segmenti superiori combacia perfettamente con uno di quelli inferiori.
In questa configurazione, quindi, appaiono solo 7 linee verticali.
Bibliografia
- A. Adrion, L’arte della magia,
Mazzotta, Milano, 1979.
- M. Gardner, I misteri della magia matematica, Sansoni, Firenze, 1985.
- E. Peres, Divertimenti paradossali, dalla rivista «Europeo»
(Rizzoli, Milano)- n. 33, 18 agosto 1990.
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