Informatica e... abaco

di Federico Peiretti


L’abaco procura un’esperienza multisensoriale; infatti l’abacista vede muoversi le palline, le sente tintinnare quando urtano una contro l’altra, e le percepisce nel suo insieme. Sicuramente non esiste un altro calcolatore digitale che abbia un’attendibilità così alta in proporzione al basso costo di acquisto e di manutenzione”.

Martin Gardner

 

L'abaco, è il più semplice e il più antico strumento di calcolo, inventato dall'uomo per semplificare le complicazioni di calcoli lunghi e laboriosi. Si usa ancora oggi, come pallottoliere, e vale la pena riprenderlo, come passo iniziale verso la comprensione delle macchine da calcolo e del computer.

“Il tavolo di Salamina”, Un rettangolo di marmo, di circa 149 x 75 centimetri è l’unico tavolo di calcolo di origine greca.
Immagine da: http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/history.html

Gli abachi più antichi erano tavoli ricoperti da un sottile strato di sabbia sui quali con uno stilo si segnavano i calcoli. Abaco deriva dal latino abacus e questa dalla parola greca abaks che significa “tavolo” e che deriva probabilmente, a sua volta, dalla parola semitica abaq che vuol dire proprio “sabbia” o “polvere”. Uno degli abachi più antichi, ritenuto erroneamente, all’inizio, un tavolo da gioco, è quello ritrovato nell’isola di Salamina, simile a quelli usati successivamente anche dai romani e fino al medioevo.

Nell’antica Cina si usavano abachi di bacchette di bambù, successivamente prevalsero le tavole o tavolette sulle quali erano segnate linee e colonne di divisione che indicavano i diversi ordini di unità del sistema di numerazione in uso, Su queste linee venivano poi collocati dei gettoni che rappresentavano i numeri e, muovendoli in modo opportuno, come vedremo, si poteva eseguire ogni tipo di calcolo.

Il Vaso di Dario si trova attualmente al Museo Archeologico di Napoli.

Nell’Ottocento è stato ritrovato un vaso, probabilmente del quarto secolo dopo Cristo, in cui si vede Dario il re dei Persiani circondato dai dignitari della sua corte. Tra questi, ci interessa in particolare la figura dell’uomo che porta un sacco di monete, probabile tributo di un popolo sconfitto, al tesoriere persiano davanti al quale si trova un tavolo di calcolo, simile al “Tavolo di Salamina” sul quale esegue i suoi conti. Il tesoriere tiene nella mano sinistra – scrive Karl Menninger, autore del primo, indispensabile riferimento per chi è interessato alla storia dei numeri, Number Words and Number Symbols - una tavoletta sulla quale si legge talanta H, 100 talenti. Su questa tavoletta evidentemente erano segnate le somme calcolate sull’abaco”.

Un abaco romano, quasi a grandezza naturale, conservato al Cabinet des Médailles di Parigi. una tavoletta calcolatrice nella quale alcune pedine mobili scorrevano lungo linee parallele. Queste linee rappresentavano il valore posizionale di ogni pedina.

 

Suan Pan è il nome dell’abaco cinese di cui riportiamo un bell’esemplare antico.
Immagine da:
http://www.hh.schule.de/metalltechnik-didaktik/users/luetjens/abakus/china/china.htm

Il modello di abaco più diffuso è quello cinese, chiamato Suan Pan. Prevede una serie di asticciole che indicano, andando da destra verso sinistra, i diversi ordini delle unità, cioè le unità del primo ordine, le decine, le centinaia, le migliaia e così via.

Il carattere cinese Suan significa “calcolare” e rappresenta un antico abaco di bacchette bambù tenuto da due mani.

Su ogni asticciola sono sistemate sette palline con una barra che ne separa cinque equivalenti all’unità da una parte e due equivalenti a cinque unità. dall’altra.

L’abaco giapponese, chiamato Soroban, è leggermente diverso dal modello cinese, ma il principio i funzionamento è praticamente identico. Immagine da: http://www.hh.schule.de/metalltechnik-didaktik/users/luetjens/abakus/japan/jap.htm

La difficoltà maggiore, nell’uso dell’abaco, sta nell’abilità che si deve acquisire nel movimento delle dita. Basta un piccolo errore e si deve ricominciare tutti da capo, perché un pallottoliere non registra i dati intermedi. Illustrazione dai un libro di testo giapponese del 1950 in cui viene indicato quali dita usare per muovere nel modo più veloce le palline sulle asticciole.
Immagine da: http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/intro.html

L'abaco rimase per migliaia di anni l'unico tipo di macchina da calcolo disponibile. Per arrivare a un nuovo tipo di calcolatrice, c’era un problema molto complesso da superare: il “riporto” da un'unità all'altra, problema che nell'abaco, come abbiamo visto, viene risolto manualmente.
Per i calcoli più complicati venivano usati grandi tavoli da calcolo, simili a quelli che abbiamo già visto del Vaso di Dario o dell’Isola di Salamina, sui quali i numeri erano segnati da gettoni, spostando i quali si eseguivano i calcoli. Le cifre arabe, introdotte nel Duecento da Fibonacci con il suo Liber Abaci (In questo caso per abaco non si intende lo “strumento per contare”, ma “l’arte del contare”, infatti una parte del libro è dedicata alle regole pratiche dell’aritmetica) e da altri, venivano usate esclusivamente dai matematici, mentre in pratica fino al Cinquecento continuò l’uso dei tavoli da calcolo, come dimostra l’incisione che riportiamo della Margarita Philosophica.

Incisione da Margarita Philosophica di Gregor Reisch, 1503, un libro di introduzione all’aritmetica tedesco. Rappresenta il contrasto fra i due modi di calcolare entrambi ancora usati in quel periodo. L’Aritmetica, una donna, tiene due libri nelle sue mani con i due diversi tipi di calcolo. A sinistra, Pitagora calcola con gettoni su un tavolo da calcolo, mentre a destra Boezio usa le cifre arabe per i suoi calcoli.

 

Da un manoscritto dell’undicesimo secolo, un antico abaco medioevale.

 

Alcuni esempi di gettoni usati sui tavoli da calcolo. Il primo a sinistra è un gettone italiano del tredicesimo secolo, gli altri due sono francesi del quattordicesimo secolo.

 

Modello di abaco russo. Immagine da:
http://www.hh.schule.de/metalltechnik-didaktik/users/luetjens/abakus/russland/russisch.htm

Scrive Martin Gardner, “Il difetto principale del calcolo con l’abaco è il fatto che questo strumento non permette di fermare le operazioni passate; se viene fatto un errore, è necessario ripetere da capo tutta l’operazione. Le aziende giapponesi spesso ovviano a questo difetto facendo eseguire la stessa operazione da tre abacisti contemporaneamente. Se le tre soluzioni concordano, seguendo la regola data dal banditore nel libro di Lewis Carroll The Hunting of the Snark, si deduce che quello che ti ripeto tre volte è vero”.

Dal Soviet History Archive: sui banchi sono visibili gli abachi utilizzati come registratori di cassa, negli anni cinquanta.
Immagine da: http://www.marxists.org/history/ussr/art/photography/commerce/

Per illustrare il modo di utilizzare l’abaco, scegliamo il modello cinese, Suan Pan. Lo potremmo però sostituire facilmente con un foglio di carta sul quale dobbiamo tracciare le linee corrispondenti allo schema di un abaco "da tavolo", simile a quelli che erano in uso nel medioevo, nei quali le palline venivano sostituite da monete o gettoni.

L’abaco realizzato su un foglio di carta con le monete. E’ segnato il numero 60 392.

Per rappresentare un numero si spostano le palline corrispondenti verso la barra orizzontale. Sull'abaco di figura, ad esempio, è impostato il numero 1.982.

Per eseguire un'addizione si imposta il primo numero sull'abaco e si aggiungono poi le palline corrispondenti al secondo numero, andando da destra verso sinistra e tenendo conto dei riporti da un'unità all'altra. Calcoliamo, ad esempio, 2 958 + 8 746. Dopo aver impostato il primo numero 2 958, aggiungiamo a 8 altre 6 unità: 8 + 6 = 14.

Un’addizione eseguita sull’abaco cinese: 2.958 + 8.746 = 11.704.

Dopo aver aggiunto 2 unità, raggiungiamo la decina e questo significa il "riporto" di una pallina sulla prima asticciola a sinistra, mentre sull'asticciola delle unità rimangono 4 palline. Successivamente aggiungiamo alle 6 decine (5 + 1 di riporto) altre 4 decine e otteniamo 10 decine, ovvero un centinaio e zero decine. Proseguiamo in questo modo fino ad ottenere il risultato: 11 704.

Per eseguire una sottrazione si procede allo stesso modo impostando dapprima il minuendo e togliendo poi a questo le palline corrispondenti al sottraendo.

Una sottrazione sull’abaco cinese: 8.732 – 2.385 = 6.347

Calcoliamo, ad esempio, 8 732 - 2 385. Si procede, al contrario dell'addizione, da sinistra verso destra. Incominciamo quindi a togliere due palline da un'unità sull'asticciola delle migliaia. Successivamente togliamo 3 centinaia (cioè ne togliamo 5 e ne aggiungiamo 2) a 7 centinaia. Per togliere poi 8 decine a 3 decine, prendiamo in prestito 10 decine dalla fila delle centinaia, togliendo ancora una pallina e abbassando le due palline da 5 nella fila delle decine. Infine, per le unità, prendiamo in prestito allo stesso modo una decina, togliendo una pallina nella fila corrispondente e arriviamo così al risultato, 6 347.

Le moltiplicazioni o le divisioni si eseguono sull'abaco sotto forma rispettivamente di addizioni o di sottrazioni ripetute, secondo una tecnica che ricorda quella dei moderni calcolatori. In pratica, per la moltiplicazione, si calcola una serie di addizioni. Ad esempio, per calcolare 28 x 4 si calcola:
28 + 28 + 28 + 28
Se la moltiplicazione è complicata si applica la proprietà distributiva:

3 452 x 256 = 3 452 x 200 + 3 452 x 50 + 3 452 x 6 =
= 345 200 x 2 + 34 520 x 5 + 3 452 x 6

In questo caso sommiamo quindi sull'abaco, secondo la tecnica che abbiamo appena visto, 2 volte 345 200 con 5 volte 34 520 ed infine con 6 volte 3 452.

Vediamo, come esempio della divisione, l'operazione 140 : 20.
Possiamo togliere 7 volte 20 da 140 e 7 è quindi il quoziente:
140 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 - 20 = 0
In pratica dobbiamo impostare il dividendo sull'abaco e togliere a questo tante volte il divisore quanto è possibile, segnando su un'asticciola libera il numero delle sottrazioni eseguite. Il numero che alla fine risulta segnato sull'asticciola è il quoziente.

Passato e futuro. L’abaco – calcolatrice giapponese.
Immagine da
http://www.hh.schule.de/metalltechnik-didaktik/users/luetjens/abakus/japan/jap.htm

Bibliografia e rete

Karl Menninger, Number Words and Number Symbols, The MIT Press, 1977.

Martin Gardner, Circo matematico, Sansoni, 1981.

Georges Ifrah, Storia universale dei numeri, Mondadori, 1983.

Angelo Raffaele Meo e Federico Peiretti, Il libro dell’Informatica, Paravia, 1994.

Una versione virtuale dell’abaco, da scaricare sul proprio PC:
http://www.edscuola.it/archivio/didattica/abaco.html

Il Museo degli Strumenti per il Calcolo, dal Dipartimento di Fisica dell’Università di Pisa:
http://www.fondazionegalileogalilei.it/home.html

Il Museo dell’Informatica, realizzato presso l’Università di Udine:
http://www.tecnoteca.it/contenuti/museo

La storia del calcolo automatico e delle sue applicazioni pratiche al Museo della Scienza e della Tecnologia Leonardo da Vinci di Milano:
http://www.museoscienza.org/computer/calcolo/

Al Museo della Matematica di Roma, l’Abaco, una lezione on line:
http://www.sibiwin.it/matematica/mouseABACO.htm

Una bella versione interattiva di abaco, nelle diverse basi e nel modello cinese, giapponese o russo:
http://www.tux.org/~bagleyd/java/AbacusAppJS.html

Applet Java e presentazione di Alexander Bogomolny:
http://www.cut-the-knot.org/blue/Abacus.shtml

Una delle più ampie e accurate presentazioni dell’abaco:
http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/

Abaco contro computer, un articolo su una gara tenuta in Giappone nel 1954 e vinta dall’abaco:
http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/abacus-contest.html

Feynman contro l’abaco e vince Feynman:
http://www.ee.ryerson.ca:8080/~elf/abacus/feynman.html

Abaco sulla Wikipedia, l’enciclopedia on line:
http://en2.wikipedia.org/wiki/Abacus

Presentazione del Soroban, l’abaco giapponese:
http://www.soroban.com/index_eng.html

Presentazione del Suan Pan, l’abaco cinese:
http://www.sungwh.freeserve.co.uk/sapienti/abacus01.htm

Nanotecnologia, l’abaco più piccolo del mondo:
http://www.encyclopedie-universelle.com/abaque-calcul24-microcosmos.html
http://www.zurich.ibm.com/

Un articolo sull’uso dell’abaco, al NRICH website:
http://www.nrich.maths.org.uk/prime/sep02/magazine.htm

Museo dell’abaco:
http://www.alohama.com/abacus.htm