Coxeter, la geometria nata dal caleidoscopio

 

Harold Scott MacDonald Coxeter,
1907 - 2003

E’ scomparso recentemente, il 31 marzo 2003, Harold Scott MacDonald Coxeter, uno dei più noti matematici del ventesimo secolo, all’età di 96 anni. Dieta vegetariana, cinquanta piegamenti al giorno e ogni sera un cocktail di Kahlua (un liquore al caffè), peach schnapps e latte di soia: questi i segreti della sua longevità, ma “soprattutto non arrabbiarsi mai – raccomandava Coxeter – e avere sempre qualcosa di interessante da fare”.
Coxeter era nato a Londra nel 1907. La madre era pittrice e il padre fabbricante di strumenti chirurgici. Bambino prodigio, pianista precocissimo, compose diversi brani per pianoforte e un’intera opera all’età di dodici anni. Parallelamente scoprì il fascino della matematica. All’età di due anni (diceva la mamma) guardava incantato i numeri che riempivano le pagine finanziarie. Ma è stato poi lo studio delle simmetrie e la bellezza delle forme geometriche a convincerlo a scegliere la carriera matematica. Dopo gli studi a Cambridge, si trasferì nel 1936 all’Università di Toronto, dove è rimasto fino alla sua morte. Durante la Seconda Guerra Mondiale venne invitato negli Stati Uniti per collaborare alla decifrazione dei codici nemici. Coxeter accettò, ma ben presto rinunciò all’incarico: “Non riuscivo a svolgere questo lavoro – confessò – perché non mi interessava. Era un genere di matematica molto lontano da quello che ho sempre seguito”.
Coxeter si è occupato di geometria e di altri campi della matematica sempre collegati alla geometria, dalle geometrie non euclidee alla teoria dei grafi. Il caleidoscopio è stato uno dei curiosi punti di partenza dei suoi studi matematici, lo strumento che si serve di specchi e pezzetti di vetro colorati per creare infinite strutture simmetriche. Nel 1933, riuscì a classificare i caleidoscopi a più dimensioni, iniziando così il suo percorso verso la geometria oltre la terza dimensione. Ha dato inoltre un grande contributo alla teoria dei politopi, oggetti complessi di n-dimensioni, che non esistono nel mondo reale, ma che possono essere descritti matematicamente. Riportiamo un disegno sulla costruzione di un politopo, per dare un’idea della bellezza degli oggetti ai quali Coxeter ha dedicato le sue attenzioni.

Immagine al caleidoscopio. Da:
http://www.caproductions.com/cvpeters/images/kaleidoscope.jpg
Costruzione di un politopo.
Immagine da www.science.ca
M. C. Escher, Circle Limit III, 1959
Buckminster Fuller nel suo studio.
Immagine da: http://www.olats.org/pionniers/pp/buckminster/biographyBuckminster.shtml

Questo giustifica anche l’interesse che molti artisti hanno avuto per gli studi di Coxeter. Molti dei lavori più famosi di Escher riflettono proprio le idee sui politopi di Coxeter, e la serie di incisioni “Circle Limit” trae ispirazione dai suoi studi sugli spazi a n-dimensioni. Coxeter e Escher rimasero amici fino alla scomparsa dell’artista nel 1972. Nel 1996 Coxeter pubblicò un’analisi del "Circle Limit III" di Escher in cui dimostrava la precisione matematica dell’opera. “Escher ha raggiunto il suo risultato per istinto, mentre io ci sono arrivato attraverso la trigonometria. Ma il suo lavoro è assolutamente preciso, al millimetro. Sfortunatamente non è vissuto tanto a lungo da poter vedere la mia esposizione matematica”.

Coxeter era amico di R. Buckminster Fuller (1895-1985), l’originale e geniale ingegnere e architetto americano che ha riconosciuto la grande influenza esercitata dalle idee di Coxeter nella realizzazione delle sue celebri “Cupole geodetiche”. Proprio queste cupole e le idee di Coxeter sulle simmetrie, hanno portato alla scoperta, premiata nel 1996 con il premio Nobel per la chimica, delle “buckyballs” (così chiamate in onore di Buckminster), una nuova forma di cristallizzazione del carbonio, sfere vuote, ciascuna con 60 atomi di carbonio alla superficie, posizionate in modo da formare degli esagoni e dei pentagoni. Molecole che possono formare i “buckytubes”, nanotubi dalle eccezionali proprietà elettroniche.
Coxeter, brillante conferenziere, è autore di molti libri di matematica. Uno in particolare, Introduction to geometry, è un capolavoro di didattica, citato in tutti i testi che si occupano di geometria per la scuola. Ha anche curato la riedizione di uno dei più bei libri di giochi matematici, un classico, Mathematical Recreations and Essays di Rouse Ball. Per sua fortuna, nonostante l’età, non ha mai dovuto abbandonare gli studi matematici.

 

Cupola geodesica di R. Buckminster Fuller. La struttura di una “buckyball”.

Ancora l’anno scorso si era recato a Budapest per introdurre un convegno sulla geometria iperbolica e pochi giorni prima di morire riuscì a completare un suo ultimo articolo matematico. Alcuni filmati, che si trovano all’indirizzo riportato in fondo all’articolo, evidenziano la vitalità del simpatico matematico ultranovantenne.
Coxeter scrisse: “Mi ritengo veramente fortunato poiché vengo pagato per quello che io avrei fatto in ogni caso”. Anche nella matematica si può nascondere il segreto della felicità. Coxeter lo conferma.

Federico Peiretti
LA STAMPA, TuttoScienze, 24 aprile 2003

M. C. Escher, Circle limit IV, Heaven and Hell, 1960

 

Coxeter in rete e in libreria

H. S. M. Coxeter. Introduction to Geometry. John Wiley & Sons, 1961

H.S.M.Coxeter, S. Greitzer, Geometry revisited, Songer (1967)

H.S.M. Coxeter, 1973. Regular Polytopes, Dover.

H.S.M Coxeter., M.C. Escher: Art and Science, Amsterdam, 1987

W.W. Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays, introduzione e commento di H.S.M. Coxeter

H. S. M. Coxeter e W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups, Springer Verlag, 1980

I. Hargittai, Lifelong symmetry: a conversation with H S M Coxeter, The Mathematical Intelligencer 18, 1996.

L’articolo on-line di Coxeter, sul lavoro di Escher: The Trigonometry of Escher's Woodcut "Circle Limit III":
http://www.ams.org/new-in-math/circle_limit_iii.html

Biografie di Coxeter:
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Coxeter.html
http://www.science.ca/scientists/scientistprofile.php?pID=5
http://www.math.toronto.edu/coxeter/art-math.html

I disegni di Escher:
http://www.worldofescher.com/
http://www.mcescher.com/
http://www.cs.unc.edu/~davemc/Pic/Escher/

Articoli pubblicati in occasione della scomparsa di Coxeter:
http://www.washingtonpost.com/wp-dyn/articles/A32088-2003Apr4.html
http://www.telegraph.co.uk/news/main.jhtml?view=DETAILS&grid=&target
Rule=10&xml=%2Fnews%2F2003%2F04%2F03%2Fdb0301.xm

http://www.nytimes.com/2003/04/07/obituaries/07COXE.html

 

ARTICOLI - Dello stesso autore:

Kovalevskaya: la matematica come immaginazione

Sophie Germain

A beautiful mind, a bad film

Paul Erdos, il matematico errante

André Weil, la matematica come arte

John Horton Conway e il gioco della matematica

Parla codice Navajo e la seconda Guerra Mondiale

Dimostrata la Congettura di Poincaré?

Archimede e i grandi numeri


La matematica fra le nuvole

La grande avventura matematica dei quadrati e dei cubi magici

Coxeter, la geometria nata dal caleidoscopio


Hedy Lamarr, a beatiful Mind


Bernoulli e il patto con il diavolo

Numeri che contano

Intervista a Andrew Wiles

Amore e matematica


Manoscritto di Voynich