Dallo scambio di verdoni al rischio pandemia

Uno studio per difenderci dai nuovi virus all’attacco del mondo.

di Stefano Frara

 

Ciclo di replicazione virale. Da: Tutto Scienze e tecnologia, numero 1230 di Mercoledì 24 maggio 2006

“Una brutta notizia incartata nelle proteine”. Questa è l’immaginifica definizione utilizzata dall’immunologo inglese sir Peter B. Medawar, premio Nobel per la Medicina nel 1960, per descrivere che cosa sia un virus. Nient’altro che particelle di materiale genetico, circondato da un guscio protettivo proteico e prive di vita propria; oggi sono in continuo aumento e soprattutto in rapida evoluzione. Al contrario dei batteri capaci di riprodursi autonomamente, i virus devono andare incessantemente all’attacco di una cellula vivente da penetrare e controllare, trasformandola in una vera e propria fabbrica per la propria replicazione, ovviamente a danno dell’ospite. Perciò sfruttano ogni debolezza, aggirando le difese dell’organismo e oggi appaiono sempre più scatenati, all’attacco dell’intero pianeta; basti pensare all’HIV, all’H5N1 responsabile della SARS o al virus dell’influenza aviaria. La parola virus deriva dal latino e significa veleno, e se un tempo negli antichi trattati medici lo si ritrovava ad indicare emissioni dannose di corpi infetti, oggi è diventato la principale metafora della contaminazione biologica e culturale della nostra epoca, minacciata – come se non bastasse – anche dai virus informatici. Il passaggio degli agenti patogeni dall’animale all’uomo è legato a complessi fattori genetici ed ecologici così come alla rapida trasformazione di ecosistemi che avevano raggiunto un delicato equilibrio durato milioni d’anni. Ma anche numerosi fattori sociali favoriscono la diffusione delle infezioni virali: svolgono un ruolo sempre più importante lo sviluppo di megalopoli, le tecniche di produzione di cibo a livello industriale e in maniera particolare viaggi e movimenti di popolazioni (come migrazioni).
Ma allora, cos’hanno in comune virus e banconote? Presto detto: si diffondono allo stesso modo! E allora studiare i flussi di denaro può tornare utile per capire com’evolvono e si propagano le epidemie. L’intuizione è di un gruppo di fisici teorici del Max Planck Institute for Dynamics and Self-Organization di Göttingen, in Germania, dell’Università di Göttingen e della University of California a Santa Barbara. Ricostruendo, infatti, il percorso delle banconote da un dollaro sono riusciti a mettere a punto il primo accurato modello statistico degli spostamenti umani nel mondo globalizzato. Un risultato sorprendente, finito sulle pagine della rivista Nature e che potrebbe rivelarsi strategico se dovesse scoppiare la temuta pandemia d’influenza aviaria. Prevedere statisticamente i movimenti delle persone risulta cruciale nel programmare efficaci misure contro la diffusione del contagio di malattie altamente infettive e se il modello matematico adottato è corretto, una volta identificato il focolaio di una pandemia, si può predire con simulazioni al computer la sua evoluzione e prendere gli opportuni provvedimenti. Cosa conviene fare? Interrompere certi collegamenti aerei, isolare alcuni dei principali aeroporti o addirittura intere aree metropolitane?

L’applicazione di modelli matematici sulla diffusione di malattie ha sicuramente una lunga storia il cui inizio è stato segnato dal lavoro di Daniel Bernoulli sugli effetti del vaccino antivaiolo e la diffusione dello stesso nel 1760. La maggior parte degli studi si sono, però, concentrati sulla propagazione delle malattie e delle conseguenti epidemie nel tempo, mentre la loro diffusione spaziale è stata analizzata meno dettagliatamente tanto che i primi studi potremmo farli risalire solo al 2001. In una ben precisa classe di modelli la dispersione spaziale era spiegata come normale diffusione. Questo approccio ammetteva una descrizione nei termini di un’equazione rispostadiffusione che generalmente mostrava ondate di epidemie che si propagavano a velocità costanti. Un esempio su tutti può essere la Peste Nera del 1348 scatenatasi in Europa. Sono comunque lontani i tempi in cui questa pestilenza impiegò tre anni (dal 1347 al 1350) per attraversare tutto il Vecchio Continente e provocò la morte di almeno 1/3 di tutta la popolazione europea con conseguenze socioeconomiche disastrose. «Nel 1850 per circumnavigare il globo, le malattie infettive impiegavano minimo un anno» ha spiegato a Repubblica Giuseppe Ippolito, direttore scientifico dell’Istituto nazionale delle malattie infettive Lazzaro Spallanzani di Roma. «Già a metà degli anni ’70 il tempo si era ridotto ad un giorno e mezzo, meno del periodo d’incubazione di molte malattie. Non solo, nello stesso arco temporale la popolazione mondiale è passata da 100 milioni a 6,5 miliardi. Oggi si stima che siano 400 milioni le persone che ogni anno si spostano per viaggi internazionali». Oggi il volume, la velocità del modo di viaggiare e la diversa direzione, anche verso i luoghi più remoti, associata alla rapida diffusione della SARS (Severa Sindrome Respiratoria Acuta) o dell’influenza aviaria hanno dimostrato che le moderne epidemie non possono essere spiegate con modelli di diffusione limitati alla provincia o alla regione. Ciò era infatti applicabile solo quando la distanza media percorribile era piccola se confrontata con la portata geografica del modello.
Nei paragrafi successivi ci si focalizzerà pertanto sui meccanismi di diffusione globale delle malattie infettive e sull’introduzione di un modello probabilistico per prevederle e, per quanto possibile, prevenirle. Per far ciò occorrerà la conoscenza di alcuni parametri dinamici ma soprattutto la preparazione tempestiva ed efficace di una risposta ad una diffusione che può arrivare a coprire scale intercontinentali.

La diffusione della Peste Nera in Europa del 1348. Da: Nuove prospettive storiche 1.

«L’idea di seguire il percorso delle banconote – racconta Dirk Brockmann, uno degli autori dello studio insieme a Lars Hufnagel e Theo Geisel – mi è stata suggerita da un collega americano. Quando gli ho detto che avevo in mente di misurare il viaggiare umano, mi ha suggerito “Segui George!”». Il George in questione era ovviamente Washington, la cui effigie contraddistingue le banconote da un dollaro. Ma come seguirne gli spostamenti? Può sembrar difficile ma in realtà non lo è affatto perché molte persone lo fanno ormai da anni: su un sito web, grazie al contributo volontario di decine di milioni d’utenti, sono stati tracciati i percorsi di oltre 50 milioni di dollari. Ogni giorno su www.wheresgeorge.com centinaia di persone inseriscono il numero di serie delle banconote e il codice postale del luogo dove le hanno appena spese solo per la curiosità di scoprire dove va a finire o dov’è stato il denaro che avevano in tasca.
L’enorme mole di dati rappresentava un vero e proprio tesoro per chi voleva scoprire le leggi che regolano gli spostamenti degli uomini. Il viaggio dei soldi somiglia, infatti, molto a quello degli individui: può finire dentro un salvadanaio e aspettare mesi prima di passare freneticamente da un luogo all’altro, di mano in mano e magari, all’improvviso viaggiare per migliaia di chilometri senza soste intermedie. Un modello ideale quindi per descrivere spostamenti a scale diverse: da uno stato all’altro come da un negozio a quello accanto.

Fronte e retro di un dollaro americano. Da: http://staff.science.uva.nl/~bobd/tvbs/payments/one-dollar.jpg

«Prima di studiare i dollari ci eravamo concentrati sui registri dei voli aerei – ha dichiarato Brockmann – che tuttavia possono fornire un quadro preciso solo per la diffusione di malattie infettive su larga scala». I risultati di questo precedente studio si erano rivelati piuttosto attendibili: a Hong Kong i casi previsti di SARS erano stati 1951 e se ne verificarono effettivamente 1783 (un sovrastima del 8,61%), in Italia erano 5 gli attesi contro i 9 conclamati. Questo sistema presenta, in ogni caso, alcuni limiti già chiari ai ricercatori dello studio: «Se vuoi comprendere come si diffonde un’epidemia ad esempio in Italia, l’aviazione non gioca un ruolo necessariamente significativo perché la gran parte degli spostamenti avviene in treno o in auto. Il nostro nuovo modello, ispirato alla circolazione delle banconote, funziona invece a qualunque scala indipendentemente dal mezzo di trasporto utilizzato».

Per formare il nuovo database, gli scienziati hanno analizzato il tragitto di 464?670 banconote e il tempo intercorso tra uno scambio e l’altro così com’erano stati registrati su www.wheresgeorge.com; dallo studio delle intricate rotte dei biglietti verdi hanno dedotto che solo il 23,6% viaggia oltre gli 800 Km, il 57,3% si sposta in un range compreso tra 50 e 800 Km e solo il 19,1% resta in un raggio inferiore ai 50 Km per un anno intero. Gli scienziati lo hanno chiamato Random walk (camminata casuale), poiché ogni spostamento successivo della banconota non è prevedibile. Se i dati a disposizione sono notevoli, si potrà calcolare con buon’approssimazione quali saranno gli spostamenti successivi del denaro, delle persone che li spostano e dei microrganismi che queste hanno con sé.

 

IL PRIMO STUDIO PROPOSTO: THE SIR MODEL.

Nella letteratura scientifica sono abbastanza frequenti modelli matematici per la descrizione della diffusione delle epidemie: alcuni riproducono le dinamiche di una specifica malattia il più accuratamente possibile, altri cercano invece di comprendere i meccanismi generali e di base che sottostanno ad un contagio.

I movimenti della Peste del 1560 in Europa. Da: Nuove prospettive storiche 1.

Uno dei disegni di maggior successo è sicuramente il SIR-scheme, in cui una popolazione di grandezza N, è suddivisa in individui Suscettibili (S), Infetti (I) e Ricoverati o Rimossi (R). Logicamente, S, I e R sono dinamici e quindi variano nel tempo, ma si può assumere che N rimanga costante.
S(t) + I(t) + R(t) = N.
Attraverso attenti ragionamenti si è visto che le dinamiche di un’infezione sono regolate da queste due formule:
dS/dt = -(a/N)SI e dI/dt = (a/N)SI – ßI,
in cui la derivata di suscettibili e infetti è proporzionale al tasso di trasmissione a (probabilità di un infetto di contagiare un individuo suscettibile) e alla concentrazione d’infetti e suscettibili. ß infine tiene conto del fatto che gli individui infetti sono ricoverati o rimossi dalla popolazione circolante per la necessaria convalescenza. La conoscenza di tutti questi parametri (N, I(t0), S(t0), a e ß) determina l’evoluzione del sistema. Fondamentale inoltre risulta essere il parametro R0 = a/ß, anche detto numero di riproduzione dell’epidemia, vale a dire il numero medio d’infezioni trasmesse da un malato durante il periodo in cui l’infetto è anche infettivo (τ = ß -1). Affinché si verifichi il fenomeno di propagazione del patogeno, è necessario che R0 > 1 e che S(t0)/N > R0-1. Il picco inoltre degli infetti sarà Imax/N = 1 – (1+ ln R0)/R0< 1.
Al fine di poter generalizzare lo studio, i ricercatori hanno stabilito che era meglio esprimere tutti i parametri nei termini di concentrazioni relative: s = S/N e j = I/N. Le equazioni precedenti potevano dunque essere espresse nei seguenti termini:
dS/dt = -R0sj e dj/dt = R0sj – j,
dove il tempo viene espresso in unità del tempo ß-1, in cui un individuo rimane infetto.

È chiaro così che le dinamiche di una popolazione, ad esempio, di 100000 abitanti e numero iniziale d’infetti I(t0) = 100 sono identiche a quelle di un’altra popolazione dieci volte minore e con I(t0) = 10. L’unico parametro rimasto risulta così essere il numero di riproduzione R0. Tuttavia se nella prima popolazione mantiene un significato I(t0) = 5, non si può dire lo stesso nella seconda con I(t0) = 0,5. È perciò evidente che questo primo modello non riesce a quantizzare gli individui e ciò è un inconveniente cruciale per l’obiettivo del nostro studio.

 

UNA RICERCA CONTINUA: LE EPIDEMIE IN VOLO.

Il deterministico modello SIR sopra trattato era stato capace di spiegare i meccanismi intrinseci soltanto nel caso di dati sperimentali appositamente scelti ma non era in grado di valutare le fluttuazioni casuali presenti in un sistema in cui trasmissione e ricovero/convalescenza sono processi intrinsecamente casuali. Nel SIR model, infatti, tutti infettavano alla stessa velocità e altrettanto era fisso il tempo in cui i soggetti malati venivano rimossi dalla popolazione circolante.
Le fluttuazioni cui si accennava sono particolarmente importanti all’inizio di una pandemia quando il numero d’infetti è molto basso: sono proprio queste a permettere una previsione di contagio generale e il tempo in cui passerà da un posto ad un altro. Al fine di descrivere, appunto, la fase iniziale della trasmissione, bisogna stabilirne le dinamiche con un modello probabilistico:
S + I →a 2I         I →ß 0.

La prima riflette il fatto che un incontro casuale tra un individuo infetto e uno suscettibile dà due infetti con una probabilità a, mentre la seconda indica la rimozione (ricovero/convalescenza) degli infetti ad un tasso ß. La quantità d’interesse è la probabilità p(S, I, t) di trovare un numero S di suscettibili e I infetti in una popolazione di grandezza N nel tempo t. Da qui si ricava una formula assolutamente improponibile – ma che invitiamo i più curiosi a scoprire nel Testo: “SARS: A case study in emerging infections” – ma con una relazione stretta con il modello SIR. Il SIR-model, infatti, descrive l’evoluzione delle incognite s(t) e j(t) mentre quest’ultima descrive l’evoluzione della possibilità di trovare S(t) e I(t) nel tempo t.
Grazie alle conoscenze oggi note sulla teoria dei processi probabilistici si è giunti ad una nuova formula – anche qui si rimanda ai testi citati – che contiene il valore di fluttuazione, a differenza del modello SIR il quale risulta invece statico. La dimensione della popolazione, inoltre, entra a far parte dei parametri del sistema. Ciò che garantisce, infatti, le fluttuazioni è la presenza di 1/√N con N » 1 ma finito. Con N = ∞, 1/√∞ = 0 e l’equazione sarebbe nulla.
Con N molto grande ma finito, ci si aspetterebbe che l’impatto del rumore causato dalle fluttuazioni sia piccolo, invece un’attenta analisi mostra come, anche in questo caso, il rumore giochi un ruolo essenziale nella prima fase di propagazione. Questo si può comprendere considerando che quasi l’intera popolazione è suscettibile (s ≈ 1) e che la malattia ha il numero di riproduzione R0 >1. In aggiunta, è assolutamente rilevante il ruolo di Δj (j – j0) con j = I/N in un determinato lasso di tempo Δt. È da notare che con j = 0 si arriva al limite del sistema, poiché se in un determinato momento non ci sono infetti non si potrà scatenare un’epidemia.

La propagazione o meno di una malattia dipende tutta dal caso, cioè dal valore di i e j in quella precisa situazione. Nel modello SIR, invece, con j0 >1 si aveva sempre una crescita esponenziale con conferma di pandemia.

Il grafico in alto mostra la probabilità p(γ) che si manifesti un’epidemia nella Popola-zione B come funzione del tasso di transi-zione γ. Sotto: l’istogramma mostra il lasso di tempo nelle due epidemie quando en-trambe si manifestano. Da: SARS, A case study in emerging infections, pag. 85.

Consideriamo ora il sistema di due popolazioni limitate (A e B) con scambio reciproco di soggetti; in ciascuna di esse le dinamiche di una epidemia sono governate dalle regole già discusse in precedenza e per semplicità possiamo considerare il caso in cui NA = NB = N:
SA + IAa 2IA    IAß 0,
SB + IBa 2IB    IBß 0,
IAγ IB   IBγ IA,   SAγ SB    SBγ SA,

γ indica il tasso di transizione in cui gli individui possono passare da una popolazione all’altra.
Ora immaginiamo che inizialmente un piccolo numero di infetti I0 sia introdotto nella popolazione A mentre B non ne contenga neppure uno. In A ci sarà una pandemia solo se il numero di infetti è sufficientemente grande. Con γ > 0 un certo numero d’infetti è introdotto in B e si potrebbe evolvere in epidemia dopo un distacco di tempo T. Senza il rumore delle fluttuazioni, ossia nel caso ideale in cui N e sia applicabile il modello SIR, qualsiasi valore di I0 scatena due ondate epidemiche successive. Questo è decisamente differente rispetto a popolazioni quantizzate e dove va tenuto conto delle fluttuazioni.
Facciamo ora un esempio: si prenda un numero iniziale d’infetti nella popolazione A IA(t=0) = I0 = 20 e dove p(γ) è la probabilità che a un’epidemia in A ne segua una in B ed è funzione del tasso di transizione γ. Con γ sufficientemente grande p(γ) si avvicina molto all’unità; diversamente, se il tasso di transizione d’individui dalla popolazione A alla B e viceversa è molto basso non sono introdotti infetti in B perciò p(γ)→0 in quanto γ → 0. Per i valori intermedi, però la probabilità p(γ) diventa molto variabile [0, 1] e non si potrebbe dire con certezza se una pandemia in A sia seguita da un’altra in B e ciò proprio per le fluttuazioni del sistema. Ricordiamo inoltre che
p(γ) = 1 – exp(-γ/γ*) e con γ* ≈ (R0 + 1)/[(R0– 1)2Imax]
che è il tasso definito critico e determinato dai parametri N, R0 e Imax in A. Si noti infine come con jA(t=0)» 1/N l’impatto del rumore sia minimo in A, mentre non si può dire lo stesso in B.
Questo sistema di due popolazioni può essere generalizzato in un numero arbitrario M di popolazioni in modo molto semplice. Solo per comodità assumeremo che a, ß e il numero di riproduzione R0 sia identico in tutti i gruppi di riferimento e che

Si + Iia 2Ii Iiß 0 con i = 1, …, M e
Siγij Sj I  iγij Ij con i = 1, …, N.

In un sistema realistico è ragionevole stabilire la staticità della dispersione, ovvero Ni(t) ≈ Ni* e che lo scambio di uomini si compensi. Ciò implica che γij = γij per ogni coppia di popolazioni ma ciò vuol dire anche che se γ12 = γ21 e γ34 = γ43, γ12 ≠ γ34.

Sopra: rappresentazione del network tra la po-polazione A e le varie B. Sotto: variabilità s del sistema in funzione di γi = γ medio (cerchi) e con γ molto diversi tra loro (quadretti). Da: SARS, A case study in emerging infections, pag. 87.

Consideriamo un sistema come quello rappresentato dove ogni popolazione contiene N individui e la popolazione centrale A ha scambi di ugual numero (γ1, γ2, …, γM-1) di soggetti con M-1 popolazioni circostanti, B1, B2, …, BM-1 e γ1 ≠ γ2 ≠ γM. S’inserisce un numero tale d’infetti in A da scatenare un’epidemia. Il comportamento delle popolazioni circostanti sarà determinato dai diversi γj con j = 1, 2, …, M-1. Se γj fossero tutte uguali e piccole non ci sarebbero pandemie, all’inverso con γj sufficientemente grande si riscontrerebbe contagio in tutte le popolazioni B.
Ciononostante, in un network realistico i tassi di transizione sono distribuiti su varie scale e il responso dipende dalle proprietà statistiche della distribuzione. Sempre dal grafico si può valutare la variabilità σ dello scatenamento di un’epidemia e salta all’occhio che questa è massima se tutti i γ hanno medesimo valore e approssimativamente vicino a γ* (il tasso critico determinato da N, R0, e Imax).
Prendendo in esame le connessioni nei cieli di tutto il mondo, invece, troveremo γ molto diverse tra loro, il che comporta un cambiamento sulle possibili previsioni. Può sembrare piuttosto contrastante ma la precisione della previsione è di molto maggiore se γj sono molto diverse tra loro ma γ medio è simile a γ*.
Tutte queste riflessioni teoriche ci portano a determinare il limite cui si può arrivare nel tentativo di prevenire una pandemia su scala mondiale, conoscendo tutti i parametri sopra descritti. Un buon metro per la valutazione della correttezza dello studio è stato quindi la recente diffusione globale della SARS. I primi casi di questa sindrome emersero a metà novembre del 2002 nella provincia cinese di Guangdong. Già nel febbraio 2003 si registrarono alcuni casi a Hong Kong da dove si diffuse in tutto il mondo trasportata dalle rotte aeree intercontinentali da medici che se ne erano occupati o da semplici turisti. Singapore, Hanoi, Toronto, e subito dopo raggiunse Taipei, la Thailandia, gli Stati Uniti e l’Europa. E proprio per capire questa diffusione si sono confrontati i dati degli spostamenti dell’aviazione civile e le dinamiche dell’infezione. Oltre alle solite categorie S, I e R si è aggiunto anche il parametro L, ovvero gli individui in cui la malattia è latente, coloro i quali sono infetti ma non hanno ancora mostrato la sintomatologia tipica. Attraverso studi precedenti erano già noti R0 e τ =ß-1. Raccogliendo i dati del 95% dell’intero traffico aereo e focalizzandosi soprattutto sui 500 più grandi aeroporti internazionali di oltre 100 nazioni differenti, gli studiosi hanno controllato il numero di voli settimanali in partenza dalla località i a quella j e il numero di passeggeri che hanno volato su quella tratta avendo la capacità a sedere degli aeromobili e considerando ogni volo pieno per l’80%. Si riscontrò un’ottima coincidenza con i dati in possesso degli scali aeroportuali. Logicamente la capacità di posti rifletteva i bisogni di quel determinato bacino d’utenza aeroportuale, per cui era direttamente proporzionale a N.

Bangkok - Suvarnabhumi International Airport, il nuovissimo aeroporto di Bangkok, uno dei più grandi per numero di passeggeri e merci che partono e atterrano tutti i giorni. Da: http://www.airliners.net

Da una rappresentazione geografica degli esiti ottenuti dalla simulazione si sono ottenuti risultati sorprendentemente realistici. Si è scelto Hong Kong con R0 = 4 per i primi 35 giorni e poi R0 =0 in un primo caso e in un secondo R0 = 4 sempre per 35 giorni, R0 = 1 nei giorni tra il 36° e il 55° e infine R0 = 0 in quelli successivi. Entrambe le simulazioni hanno condotto a risultati molto simili tra loro e soprattutto in sostanziale accordo con i dati reali riportati dall’OMS, tenendo in considerazione un periodo di 90 giorni. La corrispondenza per le nazioni è quasi totalmente esatta e per il numero di contagiati decisamente buono. Ciò era comunque previsto dato l’alto grado di eterogeneità (si tenga a mente γ), ed è per questo che una previsione condotta sull’aviazione civile può esser sempre ritenuta possibile e valida. Infine, una simulazione di una ipotetica epidemia di SARS partita dagli USA o dal Regno Unito ha mostrato come il grado d’infezione da stato a stato differisca in maniera considerevole, fatto fondamentale per le necessarie strategie di controllo.

 

DAI BOEING AI DOLLARI: WHERE’S GEORGE?

Dispersione delle banconote su scale geografiche differenti negli Stati Uniti. Le città di par-tenza sono New York (in violetto), Jacksonville (in rosso), Omaha (in verde) e Seattle (blu). Da: Nature, vol. 439 del 26 Gennaio 2006, pag. 463.

Lo scopo dell’ultimo lavoro presentato da Brockmann e colleghi era di utilizzare i dati provenienti dai siti web che monitoravano gli spostamenti, e quindi la dispersione, delle banconote per eseguire un’inferenza statistica sulle proprietà del viaggiare umano con un’altissima precisione spazio-temporale. Fin da subito si notò che tali spostamenti erano anomali per due criteri: il primo evidenziava come la distribuzione dei movimenti non seguisse una legge di potenza ma ricordava piuttosto le caratteristiche di una Random walk (passeggiata casuale) senza scala di riferimento (da pochi metri a migliaia di chilometri senza possibilità di prevedere lo spostamento successivo), il secondo che questo comportamento, definito “superdiffusivo”, fosse attenuato algebricamente e graficamente da una lunga coda indicante la probabilità che una banconota rimanesse per un tempo T in un piccola e ben delimitata area.
Lo studio è dunque basato sulle traiettorie di 464670 banconote tracciate su www.wheresgeorge.com in tutti gli stati degli USA esclusi Alaska e Hawai e di cui si avevano a disposizione 1033095 registrazioni. Dopo l’ingresso iniziale nel sistema tracciante (per rappresentatività si sono scelte le città di New York, sulla costa Est, a Nord-Ovest Seattle, nel Washington e infine Jacksonville, in Florida), la maggior parte delle banconote sono rimaste vicine alla città d’ingresso: | x2 – x1| = 10 Km a Seattle erano rimaste il 52,7% delle banconote, il 71,4% a Jacksonville, e il 57,7% a New York mentre una piccola ma pur sempre rilevante quota si era allontanata ad una distanza di oltre 800 Km (Seattle 7,8%, New York 7,4% e Jacksonville 2,9%).

Le simulazioni realizzate dal gruppo congiunto della University of Santa Barbara, in Califor-nia, e del Max Planck Institute di Göttingen, in Germania. In meno di una settimana una banconota partita da New York arriva sulla Costa Ovest e viceversa. In modo del tutto ana-logo può muoversi un virus che scatena una pandemia.
Da: http://www.nld.ds.mpg.de/Research/2.1.3.10/2.1.3.10.html

Da un totale di 20540 traiettorie originate in un arco di tempo molto piccolo (Δt = 4 giorni), tuttavia, 14730 si erano spostate di oltre 10Km (r>10) e raggiungevano una distanza massima di 3200Km (la distanza media dalle coste orientali a quelle occidentali) seguendo la seguente legge di potenza P(r) ~ r -(1+ß), cioè la probabilità P di trovare una banconota ad una distanza r dall’origine era inversamente proporzionale a r. Indipendentemente dalla punto di partenza (grande metropoli, media città o piccole borgate) davano tutte un risultato per ß ≈ 0,6 ± 0,02.
La situazione si presentava comunque più complessa del previsto. Applicando puramente le leggi di Lèvy che descrivono la Random walk si poteva stabilire un tempo T = 68 giorni in cui i soldi avevano raggiunto una distribuzione omogenea e stazionaria sul territorio in esame. In realtà si è visto che, a dispetto di tutte le teorie messe a punto, c’era qualcosa che non tornava: prendendo in considerazione una cittadina come Omaha, nel Nebraska con 450000 abitanti, in un tempo T » 100 (circa 289 giorni), solo il 23,6% si era spostato di più di 800 Km, il 57,3% tra i 50 e gli 800 Km e ben il 19,1% rimaneva in un raggio inferiore ai 50 Km. Saltano subito all’occhio queste forti disomogeneità, dovute ad esempio alla minore propensione di allontanarsi da grandi metropoli, o piuttosto a lunghi periodi in cui i soldi non si muovono (un salvadanaio). Il sistema doveva quindi includere questi lunghi periodi di “riposo” delle banconote, periodi in cui anche un virus può talora arrestarsi.
L’attenuamento di questo processo superdiffusivo era pertanto dovuto a questi periodi di riposo uniti alla mancanza di una scala per gli spostamenti. A conferma dell’inapplicabilità delle sole teorie di Lèvy, si è analizzata anche la probabilità di una banconota di rimanere nel luogo iniziale e si è visto che questa dà un risultato universale, indipendente dal posto di partenza e soprattutto molto lontano dal risultato atteso.

La soluzione è arrivata attraverso l’utilizzo di arguti metodi di calcolo frazionario con l’equazione:
Wr(r, t) = t –a/ßL(r/ta/ß)

In alto, l’effettiva diffusione della SARS con partenza da Hong Kong; in mezzo e in basso una simulazione computerizzata del numero di contagi se l’infezione fosse iniziata rispettivamente negli Stati Uniti d’America o in Gran Bretagna. Più è scuro lo stato, maggiore sarà il numero di infettati. Da: SARS, A case study in emerging infections, pag. 90.

dove W è la probabilità che una banconota copra una distanza r in un arco di tempo t e dove La/ß è la funzione universale di scala che racchiude le caratteristiche del processo. Ponendo ß ≈ 0,59 ± 0,02 e a ≈ 0,60 ± 0,03 si ottengono risultati sorprendentemente simili a quelli che si verificano nella realtà e soprattutto validi con qualsiasi intervallo di tempo considerato (T = 2, 4, 7 e 14 giorni) ma anche per intervalli più lunghi tenendo presente che le banconote possono però uscire dal sistema se vengono ad esempio ritirati dalla Zecca di Stato, tenuti da una banca…
Le simulazioni svolte sono comunque impressionanti: in meno di una settimana una banconota partita da New York arriva sulla West Coast e allo stesso modo una messa in circolazione a Seattle plana sulla Costa orientale. E i calcoli rivelano l’esistenza di alcune leggi ricorrenti che accomunano gli spostamenti umani, i soldi e i contagi alle sorprese concettuali dei flussi delle turbolenze e dei sistemi caotici. I dollari (e i virus) colonizzano un’area ristretta con tanti scambi a breve raggio, finché pochi salti sulle lunghe distanze rivoluzionano periodicamente la scena: sebbene rari hanno un’importanza sproporzionata e scatenano conseguenze decisive: è la tendenza alla globalizzazione che nel caso si parli di malattie significa il temuto passaggio ad una pandemia.
Sulle basi di queste analisi si può concludere che la dispersione delle banconote e il comportamento degli spostamenti umani possono essere descritti da un processo di Random walk continuo nel tempo che includa i salti di scala e possibili lunghi tempi di “riposo”. Ma tutto ciò è solo la base per sviluppare nuove classi di modelli che permettano un’analisi quantitativa di future diffusioni.


LE POSSIBILI STRATEGIE DI CONTROLLO.

Tra le principali strategie preventive che si potrebbero attuare c’è sicuramente la vaccinazione. Vaccinare anche solo una parte della popolazione riduce il numero di suscettibili e, di conseguenza, il numero di riproduzione R0. Se, infatti, il numero di vaccinati è discretamente ampio, R0 acquisterà un valore inferiore a 1 portando a rapida estinzione l’epidemia. Inoltre se i soggetti infetti si muovono più volte nel periodo d’infettività la percentuale di persone che devono essere vaccinate cresce quasi esponenzialmente.
È per altro chiaro che sia necessaria una rapida risposta ad un inizio di epidemia anche qualora non esistessero vaccini o questi non avessero lunga efficacia nel tempo. E così si è ravvisato che la soluzione migliore sia quella d’isolare gli infetti, o meglio evitare che questi si muovano propagando la malattia mentre risulta del tutto inefficace la chiusura di grandi metropoli, scali aeroportuali o porti internazionali.

Un dollaro con l’effigie della famosa cantante Madonna al posto di quella di George Washington. Questa banconota, stampata dal-la Zecca statunitense, ha valore legale ma è in possesso solo di pochi fortunati collezionisti e appassionati della Material Girl.
Da: http://www.familypix.net/dollars/music/madonna.jpg

WWW.WHERESGEORGE.COM & FRATELLI: IL BOOM DEI SITI CHE CONTROLLANO I SOLDI.

Dov’è George? Sono molti i siti sulle tracce delle banconote, ma il pioniere, il primo comparso è stato certamente www.wheresgeorge.com che, dal 1998 ad oggi, ha tracciato oltre 50 milioni di biglietti da 1$. Per partecipare al gioco è semplicissimo: basta inserire il numero di serie della banconota e il codice della località in cui ci si trova, si possono così seguire le evoluzioni del biglietto, ammesso però che qualcun altro lo segnali. Molti altri stati non hanno voluto essere da meno: tra questi il Canada con il gemello www.whereswilly.com che segue le tracce di William Fallace, ritratto sul dollaro canadese. E sull’onda del successo americano i siti tracciatori sono spuntati un po’ ovunque (Svizzera, Giappone) ma noi non possiamo non citare quello che segue gli euro: www.eurobilltrcker.com. Anche in italiano, è sufficiente registrarsi, inserire valore, località e i due codici (corto e lungo) che caratterizzano le banconote da 5, 10, 20, 50, 100, 200 e 500€ per conoscere dove sono state stampate e che viaggio hanno fatto. Resta solo da vedere se le banconote europee avranno però lo stesso seguito di quelle da 1$ con il primo presidente Usa, comparse nel lontano 1869.

Indice del numero di banconote € registrate in Europa su www.eurobilltracker.com. Da: http://www.eurobilltracker.com/map
/notemap.php?area=europe


Bibliografia e sitigrafia:

• Nature, vol. 439 del 26 Gennaio 2006, pagg. 462-465, Letters, di D. Brockmann, L. Hufnagel, T. Geisel, “The Scaling laws of human travel”;
• Angela R. McLean, Robert M. May, John Pattison, Robin A. Weiss; SARS, a case study in emerging infections; Oxford biology, Oxford University Press, Marzo 2005. Chapter 11, “Dynamics of modern epidemics” di D. Brockmann, L. Hufnagel, T. Geisel, pagg. 81-91.
• Gentile, Ronga, Salassa, Nuove prospettive storiche 1, Ed. La Scuola, Brescia 2001.
• Il Venerdì di Repubblica, di venerdì 24 febbraio 2006, articolo di A. Andreoli, “Il segreto per capire come si diffonde un virus? Seguite i soldi”.
• Tutto Scienze e tecnologia, inserto della Stampa n° 1230, di Mercoledì 24 maggio 2006, pag.1, articoli di E. Tognotti “I nuovi virus all’attacco del mondo” e G. Beccaria “Segui il dollaro, scoprirai come colpiscono”.
http://www.nld.ds.mpg.de/Research/2.1.3.10/2.1.3.10.html
http://www.wheresgeorge.com
http://www.eurobilltracker.com
http://www.mpg.de/english/illustrationsDocumentation/documentation
/pressReleases/2006/pressRelease20060120/index.html