MATEMATICA e … teatro (3)

di MARIA ROSA MENZIO

 

Teatro di Delphi - Immagine da http://holylandphotos.org/

 


L’edificio

Nell’antichità classica, il teatro, inteso come spazio teatrale, era a forma di arena ellittica o pseudo-ellittica.
Oggi il teatro è quadrato o rettangolare, ed è di solito dotato di palcoscenico pure quadrato o rettangolare. Le avanguardie hanno tentato di scambiare fra loro lo spazio degli spettatori e quello degli attori, oppure di far arrivare gli attori dallo spazio del pubblico, o ancora di farli muovere verso il pubblico, di interagire… in modo che la partecipazione sia (o possa parere) più intensa.

 

Il numero sette

Non solo agli esoteristi è caro il numero sette, ma anche ai matematici e ai teatranti: ne sia esempio la “Danza macabra” del fiammingo de Ghelderode, tanto bravo quanto poco conosciuto in Italia. Vi si parla (udite, peccatori!) dei sette peccati capitali…
Pure di matematica, anzi delle quattro operazioni parla ancora questo autore nel testo “Magia rossa” dove il protagonista insegue un sogno di ricchezza tramite un mucchio di monete d’oro, che dovrebbero (si noti l’eredità collodiana) congiungersi e moltiplicarsi…

 

Astronomia sul palco

Consideriamo ora l’opera teatrale “Vita di Galileo” di Brecht.

Vita di Galileo di Brecht, regia di Strehler con Tino Buazzelli

Il Cardinale Barberini, futuro Papa Urbano VIII, chiede a Galileo: “Ma se l’Onnipotente avesse voluto far muovere le stelle con un movimento così? |/|/|/|/|/|/|/”
E Galileo gli risponde: “Allora ci avrebbe forniti di cervelli che pensano così |/|/|/|/|/|/|/, in modo da ritenere che le stelle, muovendosi così, |/|/|/|/|/|/|/, fanno il movimento più semplice possibile”

 

Matematica sul palco

Sapete qual è la prima opera teatrale che parla di matematica?
E’ un testo mai andato in scena finora, “Dimostrazioni e confutazioni” opera dell’ungherese Lakatos.
La vita di questo illustre filosofo della matematica sembra un romanzo. Imre nasce nel 1922 in Ungheria da famiglia ebrea, e il suo vero nome è Imre Lipschitz. Vive il dramma dell’occupazione nazista e della guerra. Sua madre morirà ad Auschwitz. Cambia nome da Lipschitz, troppo visibilmente semita, a Molnar. Fa parte della Resistenza antinazista, si laurea, quindi diventa ricercatore all’Università di Budapest, e cambia ancora nome. Si ritrova alla fine della guerra con pochi capi di vestiario marcati con le iniziali I. L. E quest’ultima volta si chiamerà Lakatos, un cognome molto diffuso nella classe operaia ungherese.
Dopo un anno a Mosca, il suo carattere troppo accentratore gli fa negare il rinnovo della tessera al partito comunista. Costruita a bella posta una procedura disciplinare contro di lui, Lakatos è arrestato e imprigionato nei campi di internamento stalinisti, dove rimane fino al 1953. Torna in Ungheria, ma dopo la repressione fugge a Vienna e si trasferisce poi a Cambridge.

Qual è la visione della scienza di Lakatos? Per lui lo scienziato può sedersi in poltrona, dimenticare i dati e pensare, senza perdersi in un mare di anomalie: occorre andare avanti, noncuranti delle confutazioni. Sono davvero pochi, egli dice, gli esperimenti davvero importanti: gli altri sono pura perdita di tempo. Egli fra l’altro afferma che
“Gli scienziati prima inventano le loro teorie e poi vanno a caccia, in modo altamente selettivo, di fatti nuovi che si adattino a queste fantasie”. E’ la <scienza che crea il proprio universo>

Immagine da http://www.vroma.org

E finalmente arriviamo al testo in oggetto: “ Dimostrazioni e confutazioni”. E’ quasi un dialogo platonico, solo che i personaggi sono tanti quanti le lettere dell’alfabeto greco. C’è un insegnante, e ci sono i ragazzi alfa, beta, gamma, eccetera, fino a omega.
Lakatos parla della congettura di Eulero, quella che afferma che in ogni poliedro vale la formula V - S + F = 2. Spiego meglio. In un poligono, fra il numero dei vertici e il numero dei lati esiste una banale relazione di uguaglianza. Ci si chiede se per un poliedro può valere una relazione analoga, che leghi facce, spigoli e vertici.
Dopo aver dimostrato che per tutti i poliedri regolari vale la relazione V - S + F = 2, ci si chiede se per caso questa congettura (detta congettura di Eulero, appunto) valga per tutti i poliedri in generale. La discussione si svolge in un’aula scolastica, tra il professore e i suoi allievi.

PROFESSORE: Nella nostra ultima lezione avevamo fatto una congettura sui poliedri, cioè V – S + F = 2. Ma non l’abbiamo ancora dimostrata. Qualcuno ha trovato una dimostrazione?
STUDENTE SIGMA: Io per primo devo ammettere che non sono ancora riuscito… Ma se lei ha una dimostrazione, per favore, me la dica.
PROFESSORE: Sì, ne ho una… [E il professore cerca di dimostrare la congettura immaginando che il poliedro sia cavo, costituito da una sottile superficie di gomma. Taglia via dal poliedro una faccia, e distende la superficie che resta sul piano della lavagna. Le facce e gli spigoli saranno deformati, gli spigoli potranno venire curvati, ma V e S resteranno uguali. Poi fa uso del metodo di triangolazione e termina dicendo] In questo modo abbiamo dimostrato la congettura.
STUDENTE DELTA: Dovrebbe ora chiamarla teorema. Non ha più nulla di congetturale.
STUDENTE ALFA: Sono perplesso. Capisco che questo esperimento può essere eseguito per un cubo o un tetraedro, ma come posso esser sicuro che si possa eseguire per ogni poliedro? E’ sicuro, per esempio, Professore, che ogni poliedro, asportata una faccia, può esser disteso sul piano della lavagna? Ho qualche dubbio sul primo passaggio.
STUDENTE BETA: E’ sicuro che triangolando la figura piana così ottenuta si otterrà sempre una nuova faccia per ogni nuovo spigolo? Ho dei dubbi sul secondo passaggio.
STUDENTE GAMMA: E’ sicuro che vi siano solo due alternative – la scomparsa di uno spigolo oppure di due spigoli e un vertice – quando vengono asportati a uno a uno i triangoli? I miei dubbi concernono il terzo passaggio.
PROFESSORE: Naturalmente non ne sono affatto sicuro.
[…]

A questo punto altri allievi insorgono perché hanno altri dubbi ancora. Uno di loro dice che se si considera il solido limitato da una coppia di cubi uno dentro l’altro, la dimostrazione è falsificata perché asportando una faccia dal cubo interno il poliedro non si può stendere su un piano. Inoltre per ciascun cubo V - S + F = 2, cosicché per il cubo cavo risulta V - S + F = 4.
Un altro studente dice che la coppia di cubi uno dentro l’altro non è un poliedro, ma una mostruosità. Definisce poi il poliedro come “una superficie costituita da un sistema di poligoni”.
Un altro studente ancora si dice d’accordo per la definizione, ma anche in questo caso c’è qualcosa che non va: per due tetraedri con uno spigolo, e solo quello, in comune capita che sia V - S + F = 3.
Si arriva allora ad altre definizioni, finché…

ALFA: Perché non definire “poliedro” quel sistema di poligoni per cui vale V - S + F = 2? Questa Definizione Perfetta…
KAPPA: Def. P.
ALFA: … metterebbe fine alla discussione per sempre. Non ci sarebbe bisogno di studiare più a lungo la questione.

Cos’è successo? Di controesempio in controesempio si è passati da un concetto che pare chiaro (tutti sanno che cos’è un poliedro) e da una congettura su quella che ne sembra una proprietà, si è passati al tentativo di definire lo stesso concetto di partenza…

Andando avanti, vengono escogitate una definizione dopo l’altra del concetto di poliedro per proteggere dalla confutazione la congettura di Eulero. Chi restringe i concetti e chi li espande; chi fa ripetutamente slittare il significato (ad esempio il significato di spigolo) considerando il cilindro come un poliedro, chi parla di mostruosità come cornici o poliedri-stella, chi afferma che le mostruosità non favoriscono la crescita né nel mondo della natura né in quello del pensiero; chi confuta quest’affermazione parlando della genetica, chi elimina mostruosità e controesempi ridefinendo ad hoc la parola “poliedro”. Si scopre così che

KAPPA: Per ogni proposizione, c’è sempre qualche interpretazione abbastanza ristretta dei suoi termini per cui risulta vera, e qualche interpretazione sufficientemente ampia per cui risulta falsa.

Viene mostrata così la fondamentale unità di dimostrazioni e confutazioni. In realtà “non si dimostra che quel che ci si è prefissi di dimostrare. C’è un regresso all’infinito nelle dimostrazioni: ecco perché le dimostrazioni non dimostrano. […] Dimostrare è un gioco, che va giocato finché ti diverte e va smesso quando sei stanco. Vi sono sempre delle assunzioni implicite di cui non si tiene conto”, vale a dire che c’è sempre qualcosa che viene dato per scontato. Ma il progresso sostituisce le classificazioni ingenue con quelle generate dalla teoria.

ALFA: La profondità è solo una questione di gusto.
GAMMA: Perché non dovrebbero esserci dei critici matematici, così come vi sono dei critici letterari, per sviluppare il gusto matematico mediante la critica pubblica? Possiamo arrestare l’ondata delle banalità pretenziose anche nella letteratura matematica.

Come finisce la discussione? La congettura di Eulero, prima formulata in modo ingenuo, è tradotta nell’algebra dei vettori.


Vorrei che lo leggeste, e che qualche appassionato non solo di matematica, ma anche di filosofia e teatro, lo portasse come tesina per la maturità dell’anno prossimo:sarebbe un argomento insolito. Buon lavoro!


Teatro greco di Siracusa
Immgine da http://www.shunya.net/Pictures/Italia/Italy.htm