Amore e matematica

La dinamica dell’amore, da Laura e Petrarca a Jules e Jim

di Federico Peiretti

	Non era l'andar suo cosa mortale, ma d'angelica forma; et le parole sonavan altro, che pur voce umana.
Laura incorona Petrarca, Biblioteca Medicea Laurenziana, Ashb 1263, Firenze

Chi avrebbe mai pensato che si potessero studiare i versi del Petrarca con le equazioni differenziali? Le stesse equazioni usate per studiare il moto dei pianeti o l'andamento della Borsa, sono state applicate da un ingegnere del Politecnico di Milano, Sergio Rinaldi, docente di Teoria dei Sistemi, allo studio dei sentimenti del poeta innamorato. La dinamica dell'amore, ha trovato una dimensione matematica.

Altichiero, Francesco Petrarca, Oratorio di San Giorgio, Padova

Petrarca aveva 23 anni quando incontrò per la prima volta Laura, diciannovenne, nella chiesa di Santa Chiara in Avignone il 6 aprile 1327, la donna misteriosa, bellissima ma già maritata, che lo tenne "ardendo" per 21 anni e che ispirò i suoi celebri versi, raccolti nel Canzoniere. Sono 366 poesie che esprimono i diversi stati d’animo del poeta, presentate secondo uno schema che non sembra quello temporale. Molte poesie sono senza data e gli studiosi si sono sempre sforzati di ritrovare l'ordine cronologico dei versi del Petrarca.
Frederic J. Jones, dell’Università di Wales, Cardiff, quindici anni fa, aveva svolto una approfondita analisi linguistica e stilistica del Canzoniere. Jones proponeva una scala di valori, varianti fra +1 e -1, corrispondenti ai diversi sentimenti del Petrarca, come risultavano dai suoi versi, dall'ardente passione alla più profonda disperazione. I valori intermedi corrispondevano a sentimenti meno intensi quali amore, tenera amicizia, simpatia, struggente melanconia, inquietudine o angoscia.

Possiamo immaginare, ad esempio, di classificare i versi seguenti come "angoscia", con un valore corrispondente a -0,8:

Io son de l'aspectar ormai sì vinto,
et de la lunga guerra dei sospiri,
ch'i aggio in odio la speme e i desiri,
ed ogni laccio ond'è 'l mio core avinto.

Quelli che seguono si potrebbero invece classificare come "amore", con un valore corrispondente a +0,6:

Allor fui preso; et non mi spiacque poi,
sì dolce lume uscia degli occhi suoi!

Con questo criterio Jones ha identificato sei cicli emotivi nelle poesie del Petrarca e ha stabilito un ordine temporale dei suoi versi.
Rinaldi è partito da questo lavoro per sviluppare un raffinato modello matematico del Canzoniere. "Quando, alcuni anni fa, decisi di occuparmi di dinamica dell'amore - afferma - pensai che non ci fosse caso migliore del Petrarca, il più grande poeta d'amore della letteratura occidentale, con una relazione molto turbolenta e quindi interessante da studiare in termini di dinamica". Ha così determinato tre equazioni differenziali che esprimono i sentimenti di Laura e Petrarca.

Laura e Petrarca, miniatura dal Canzoniere

In particolare, Laura è descritta da un’unica variabile L(t), che esprime il suo rapporto con il poeta. I valori positivi di L esprimono simpatia, incoraggiamento e calda amicizia, mentre i valori negativi esprimono freddezza e avversione. La personalità del poeta è più complicata e necessita, secondo Rinaldi di due variabili: P(t) che esprime l’amore per Laura e Z(t), che esprime l'ispirazione poetica del Petrarca e che condiziona i suoi sentimenti amorosi. Laura, ben disposta a piccole schermaglie amorose, risponde positivamente alle sollecitazioni del Petrarca soltanto entro ben precisi limiti convenzionali, superati i quali la sua reazione è di immediata chiusura.

Volgendo gli occhi al mio novo colore
che fa di morte rimembrar la gente,
pieta vi mosse; onde, benignamente
salutando, teneste in vita il core.

In termini matematici possiamo dire che i sentimenti di Laura nei confronti del Petrarca sono lineari soltanto per bassi valori di P, ma subito dopo L precipita a valori decisamente negativi. Successivamente Laura si lascia commuovere dalla disperazione del poeta e con P su valori negativi, L ritorna a salire verso valori positivi. Il modello di Rinaldi mette in evidenza il comportamento ciclico dei due innamorati, quale emerge dai versi del Canzoniere, con un alternarsi di periodi di esaltazione amorosa a periodi di disperazione.

Di tempo in tempo mi si fa men dura
l'angelica figura e'l dolce riso,
et l'aria del bel viso
e degli occhi leggiadri meno oscura

Uno dei grafici elaborati da Sergio Rinaldi: La variabile P(t), che esprime l’amore per Laura, in funzione del tempo, espresso in anni. Il lavoro di Rinaldi è in rete, all’indirizzo riportato al fondo di questo articolo.

Rinaldi osserva che la variabile Z all’inizio sale molto lentamente, ma si mantiene poi sempre positiva. Questo spiega perché Petrarca scrisse i suoi primi versi soltanto tre anni dopo aver conosciuto Laura, ma proseguì poi senza interruzioni la sua produzione lirica.

Fotogramma del film Jules e Jim di François Truffaut

"Il modello di Laura e Petrarca - dice Rinaldi - è molto particolare. I caratteri dei due protagonisti sono piuttosto singolari. Ma la mia ricerca ha individuato anche altri modelli potenzialmente applicabili a tutte le coppie di innamorati”. E dopo Laura e Petrarca, Rinaldi ha studiato un “rapporto caotico a tre”: la storia di Jules e Jim, la turbolenta relazione triangolare descritta nel romanzo autobiografico Jules e Jim, di Henri-Pierre Roche, e ripresa da François Truffaut in uno dei suoi film più belli. “Il caso è emblematico – osserva Rinaldi – un vero inno al caos deterministico, con tutte quelle turbolenze che impediscono di raggiungere una situazione di equilibrio”.
“Divergenze e convergenze” sono quelle che la protagonista, Catherine imprime al sistema, con il suo sentimento ondivago e imprevedibile per i due amici. Lei recita, in questa storia, il ruolo di “attrattore”, quello che in un sistema caotico si definisce “attrattore strano”, rappresentato graficamente come le ali di una farfalla: “Il sistema gira su un’ala della farfalla – ci fa notare Rinaldi – gira per un certo periodo fino a quando salta, imprevedibilmente, sull’altra ala, in un processo indeterminato”

Fotogramma dal film Cyrano de Bergerac, con Anne Brochet e Gérard Depardieu

Ma un altra storia ha attirato la sua attenzione: “Ora ho aperto un nuovo fronte, lo studio della storia d'amore tra Roxanne e Cyrano de Bergerac (descritta, tra l'altro, in un recente film con Depardieu). Anche in questo caso il modello interpreta bene l'intricata storia d'amore a tre”.
Lo stesso metodo si può applicare anche ad amori meno celebri, quali possono essere quelli che nascono in classe fra gli studenti. E' quello che ha studiato Steven H. Strogatz della Cornell University, proponendo lo studio di una coppia di equazioni differenziali ricavate dall'evoluzione nel tempo del rapporto fra due giovani innamorati. Lo schema può essere molto semplice. Più lei è innamorata, più lui diventa indifferente. Ma se lei dimostra meno amore, allora è lui a sentire più attrazione per lei. D'altra parte lei tende ad uniformarsi ai sentimenti di lui: il loro amore aumenta quando lui ama lei e volge invece verso l'odio quanto più lui odia lei.
Anche l'amore ha dunque le sue leggi matematiche, ma un innamorato preferirà sicuramente ignorarle. Sarebbe un po’ deluso se scoprisse che gioia e sofferenza seguono cicli regolari, matematicamente prevedibili. Per chi studia matematica invece il lavoro di Rinaldi, reperibile al link che riportiamo più avanti, può essere la più divertente introduzione alle equazioni differenziali.

Federico Peiretti

	Amor mi sprona in un tempo et affrena, assecura et spaventa, arde et agghiaccia, gradisce et sdegna, a sé mi chiama et scaccia, or mi tene in speranza et or in pena
Francesco Petrarca, miniatura del ‘400

In libreria e in rete

Le rime del Canzoniere si trovano nella Biblioteca Telematica del Progetto Manuzio: http://www.liberliber.it/home/index.php

Frederic J. Jones, The Structure of Petrarch's Canzoniere A Chronological, Psychological and Stylistic Analysis, Boydell & Brewer, 1995

Rinaldi, S. 1998. Laura and Petrarch: An intriguing case of cyclical love dynamics. SIAM Journal of Applied Mathematics 58 (August):1205.
L’abstract del suo lavoro: http://www.siam.org/journals/siap/58-4/30592.html.
E il lavoro completo in pdf:
http://epubs.siam.org/sam-bin/getfile/SIAP/articles/30592.pdf

Un articolo di Ivars Peterson:
http://www.maa.org/mathland/mathtrek_9_7_98.html

Strogatz, S. H. 1988. Love affairs and differential equations. Mathematics Magazine 61:35:
http://tam.cornell.edu/SS_love_dEq.pdf

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