Poincaré e le n-sfere

 

La ciambella e la mela.
La mela è “semplicemente connessa”, mentre la ciambella non lo è.

Sembra che uno dei più importanti problemi matematici ancora oggi irrisolti, la “Congettura di Poincaré”, sia stato finalmente risolto da un matematico inglese, Martin Dunwoody, della Shoutampton University. Si tratta di un problema che riguarda la topologia, nota come la matematica del “foglio di gomma” perché studia tutte le possibili deformazioni di una figura disegnata su un foglio di gomma. Più precisamente studia le proprietà che rimangono immutate quando si deforma una figura sottoponendola a torsione, stiramento o compressione: in topologia è irrilevante che una figura sia quadrata o rotonda, grande o piccola, poiché possiamo modificare le sue caratteristiche, ad esempio, con lo stiramento. I topologi si chiedono invece se una forma sia connessa, se abbia buchi, se sia aggrovigliata e questo non solo nel nostro Universo, ma anche in spazi a più dimensioni, impossibili da visualizzare.
Vediamo di dare un’idea del problema, posto nel 1904 da Henry Poincaré, il geniale matematico francese, forse il più grande matematico del secolo scorso. Poincaré è stato probabilmente l’ultimo matematico in grado di abbracciare tutti i rami della matematica pura e applicata, con profondi interessi per la filosofia della matematica, la divulgazione e la psicologia della “creatività” matematica.
Riportiamo soltanto un suo pensiero:“Lo scienziato – diceva Poincaré – non studia la natura perché è utile, ma perché ne prova piacere e ne prova piacere perché è bella. Se la natura non fosse bella, non varrebbe la pena studiarla e la vita non varrebbe la pena di essere vissuta”.
Immaginiamo di avvolgere una mela con un elastico (l’idea ci è stata suggerita da John Milnor, medaglia Fields e grande esperto di topologia) e poi di stringere lentamente l’elastico fino a ridurlo a un punto, senza strappi e senza mai staccarlo dalla superficie della mela. Proviamo poi ad avvolgere allo stesso modo una ciambella, sempre con un elastico, come indicato in figura. In questo caso, se non rompiamo l’elastico o la ciambella, non siamo in grado di ripetere l’operazione precedente, riducendo l’elastico a punto, senza mai staccarlo dalla superficie della ciambella.

Henry Poincaré, 1854 - 1912

Si dice per questo che la superficie della mela è “semplicemente connessa” mentre quella della ciambella non lo è.
Poincaré, circa cent’anni fa, sapeva che una mela o più in generale una sfera comune, quella che i topologi chiamano 2-sfera, equivalente alla mela, era caratterizzata da questa proprietà della connettività semplice, anzi sapeva che la sfera era l’unica superficie chiusa per la quale fosse possibile realizzare con l’elastico, oppure con una qualsiasi curva chiusa disegnata sulla sfera, l’operazione che abbiamo appena descritto.
Nel passare poi allo studio delle sfere di dimensioni più elevate, le n-sfere, Poincaré pensava che valesse anche per la n-sfera questa proprietà e inoltre che la n-sfera fosse l’unica varietà chiusa a n dimensioni dotata di questa proprietà. Ma non riuscì a trovare una dimostrazione alla sua ipotesi, che rimase quindi a livello di congettura e diventò il problema più famoso della topologia, attorno al quale negli ultimi cent’anni si sono cimentati molti grandi matematici. Solo nel 1960 Stephen Smale dimostrò che la congettura era vera per dimensioni n maggiore o uguale a 5, meritandosi per questo la medaglia Fields. Nel 1981 Michael Freedman dimostrò poi che la congettura era vera per le 4-sfere, ma è rimasto insoluto il problema delle 3-sfere, quelle che erano all’origine dello studio di Poincaré.
“Tutto qui?” si chiederà a questo punto qualche lettore. Naturalmente quella che abbiamo presentato è soltanto un’idea “ingenua” del problema, per capire il quale sono necessarie competenze specialistiche molto elevate.
La Congettura di Poincaré ritorna ora d’attualità con l’annuncio di una sua presunta soluzione, da parte di Dunwoody, soluzione che sarebbe ancora più sorprendente perché l’autore ha 64 anni, ed è ancora in piena attività, quando si ritiene che a trenta, quarant’anni al massimo, un matematico sia ormai “vecchio” e non più in grado di produrre lavori originali.
La sua dimostrazione, sei paginette pubblicate in Internet, è comunque ancora tutta da verificare ed è stata accolta con un certo scetticismo dagli altri matematici, alcuni dei quali hanno già trovato delle imprecisioni, riconosciute da Dunwoody che si è impegnato a correggerle.

Martin Dunwoody

Se, alla fine, la dimostrazione risulterà corretta, Dunwoody, potrà incassare un sostanzioso premio di un milione di dollari. Due anni fa (TuttoScienze, 2/8/2000), avevamo già dato notizia di questo premio istituito da Landon Clay, un ricco imprenditore di Boston innamorato della matematica, il “Millenium Prize Problems”. Si tratta in realtà sette premi da un milione di dollari ciascuno, offerti per la soluzione di sette fra i più importanti problemi matematici ancora aperti, uno dei quali è proprio la Congettura di Poincaré. In ogni caso dovranno ancora passare alcuni anni perché Dunwoody possa incassare, sempre che ne abbia diritto, il premio. Prima condizione infatti è che il suo lavoro venga pubblicato su una rivista specializzata e successivamente che venga esaminato, tempo due anni, da un gruppo di esperti del Clay Insitute. Nel frattempo Dunwoody, che i colleghi considerano un matematico con una buona preparazione, ma non così geniale da risolvere grandi problemi, si gode il suo momento di gloria, sognando di ripetere il successo di Andrew Wiles, il celebre matematico che nel 1995 è riuscito a dimostrare il Teorema di Fermat.

Federico Peiretti
(LA STAMPA, TuttoScienze, 22/05/02)

 

Aggiornamento 25/08/06: Perelman, il gran rifiuto


In rete

L'archivio storico del St. Andrews College, con le biografie dei matematici citati in questo articolo e numerosi collegamenti che consentono di approfondire l’argomento.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/BiogIndex.html
La dimostrazione di Dunwoody, per chi ha le competenze necessarie per capirla.
http://www.maths.soton.ac.uk/~mjd/Poin.pdf
Il sito del Clay Mathematics Institute, che ha istituito il “Millenium Prize Problems”
http://www.claymath.org
Uno dei testi più noti di Poincaré, in versione originale, integrale, La Scienza e l’Ipotesi
http://abu.cnam.fr/cgi-bin/go?scihyp2

 

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