TRE RE MATEMAGICI PER UN'EPIFANIA

di Piergiorgio Odifreddi

Nel 1998 un anonimo miliardario comprò per due milioni di dollari una pergamena trovata nel 1906 nella biblioteca della Chiesa del Santo Sepolcro di Istanbul, e la donò al Museo d'Arte di Baltimora.

Due pagine del Codice C, noto anche come “Il manoscritto di Costantinopoli.
immagine da http://www.sciencenews.org/articles/20040515/bob9.asp

Analizzata ai raggi ultravioletti essa rivelò, sotto un palinsesto di preghiere del tredicesimo secolo mangiato dalla muffa, una trascrizione del decimo secolo di alcuni lavori di Archimede. Tra questi c'era anche il perduto Stomachion, «Stomacata» (nel senso di «indigestione»), che è stato finalmente possibile ricostruire mediante sofisticate tecniche computerizzate.

In precedenza se ne conosceva soltanto un frammento, nel quale appariva un puzzle costituito da quattordici pezzi irregolari disposti in modo da comporre un quadrato: più o meno come il Tangram, che si vende ancor oggi come rompicapo, ma più complicato. Fino a poco fa non si sapeva in che cosa consistesse il «gioco» dello Stomachion, ma qualche settimana fa due coppie di matematici californiani (Persi Diaconis e Susan Holmes a Stanford, e Ronald Graham e Fan Chung a San Diego) hanno risolto il dilemma: si tratta del primo esempio storico di matematica combinatoria, della quale ci si è cominciati a interessare in maniera sistematica soltanto negli ultimi cinquant'anni!

Domenico Fetti, Archimede, 1620

Archimede conferma dunque la sua fama di maggior matematico dell'antichità, e rivela ancora una volta un gusto avveniristico per i grandi numeri e una sorprendente abilità per i calcoli complicati già dimostrati in altri due suoi lavori: l'Arenario e il Problema dei buoi. Quest'ultimo si ispirava a un episodio del dodicesimo canto dell'Odissea, quando Ulisse sbarca a Tauromedion in Trinacria, l'odierna Taormina in Sicilia, dove pascolano le mandrie del Sole: una compagine modestamente formata, secondo Omero, di «sette branchi di buoi, d'agnelle tanti, e di teste cinquanta i branchi tutti».

Come molti scienziati dopo di lui, Archimede aveva però più fantasia di un poeta. In una lettera di venti distici in forma bucolica egli sfidò Eratostene a calcolare il numero delle mandrie del Sole, supponendo che esse comprendessero tori e vacche di quattro colori (bianco latte, nero brillante, striato e biondo), suddivisi in maniera meno banale di quella omerica. Ad esempio, i tori bianchi erano pari a quelli biondi più cinque sesti di quelli neri, le vacche bianche a sette dodicesimi della somma dei buoi e delle vacche nere, e così via. Inoltre, i tori bianchi uniti a quelli neri formavano un quadrato, e i tori striati uniti a quelli biondi un triangolo.

Le soluzioni del problema, trovate soltanto in tempi moderni, coinvolgono numeri astronomici composti di duecentomila cifre. E proprio questo era l'interesse di Archimede, inventare problemi che costringessero la matematica ad affrancarsi dalla povertà linguistica del greco, nel quale il più grande numero che aveva un nome proprio era diecimila: una miriade, come si diceva allora con una parola in uso ancor oggi, derivata da myrios, «innumerevole». Nell'Arenario egli si propose quindi di calcolare, nientemeno, il numero dei granelli di sabbia necessari a riempire l'universo.

Jusepe de Ribera, Archimede, 1630

L'immodesto compito non poteva certo essere risolto ripetendo «miriade di miriadi di miriadi ...» una miriade di volte. Archimede iterò allora le miriadi di miriadi, pari a cento milioni, su righe e colonne di una gigantesca tabella, fino a un numero da capogiro che chiamò «una miriade di miriadi della miriade-miriadesima riga della miriade-miriadesima colonna», pari a un uno seguito da cento milioni di miliardi di zeri. Per curiosità, la valutazione dei granelli di sabbia alla quale Archimede arrivò, in base alle sue stime sulla grandezza dell'universo, fu molto minore: per i curiosi, un uno seguito da sessantatrè zeri.

Sorprendentemente, non sono molti di più gli elettroni che l'universo può contenere, in base alle nostre stime attuali: «soltanto» un uno seguito da duecentosette zeri, un numero che rientra più che agevolmente tra quelli per i quali Archimede inventò un nome. E soltanto nel 1933, duemila anni dopo, un matematico di nome Samuel Skewes fu costretto a usare un numero più grande nei suoi calcoli, entrando cosí nella storia.

A proposito di grandi numeri, un'altra notizia matematica di fine anno è stato l'abbattimento del record riguardante il più grande numero primo conosciuto (se si pensa ai numeri interi come a un analogo aritmetico delle molecole chimiche, tenute insieme dal legame della moltiplicazione, i numeri primi costituiscono l'analogo degli atomi). Il risultato è stato ottenuto da Michael Shafer coordinando sessantamila volontari di tutto il mondo, che gli hanno messo a disposizione i loro computer per un tempo equivalente a venticinquemila anni, e il nuovo record è stato stabilito moltiplicando due per se stesso 20.996.011 volte, e poi ... sottraendo uno, invece di aggiungerlo, come faceva il protagonista del racconto La gara mondiale di matematica di Cesare Zavattini.
I numeri coinvolti nella soluzione del ritrovato Stomachion sono molto più piccoli di tutti i precedenti mostri, ma in questo caso l'interesse sta nella natura combinatoria del problema perduto e ritrovato: determinare, cioè, tutti i possibili modi di disporre i pezzi del puzzle in modo da costituire un quadrato. Sorprendentemente, ce ne sono moltissimi: per la precisione, 17.152, forse già calcolati da Archimede stesso.

Che si tratti comunque di combinatoria o di numeri primi, i nuovi e recenti risultati dimostrano l'intrinseca continuità storica della matematica: le problematiche e gli oggetti di cui essa si interessa sono infatti sostanzialmente gli stessi da millenni, benchè continuamente rivisitati in base all'esperienza del passato e alla luce delle conoscenze del presente. Un'ulteriore conferma ci viene da un terzo risultato di fine anno, relativo questa volta ai quadrati magici che hanno da sempre affascinato i Cinesi, invece che i Greci.

Narra infatti la leggenda che nel 2205 a.C. dal fiume Lo emerse una tartaruga, recante sul dorso un diagramma numerico con le cifre da uno a nove scritte in rosso e disposte come su una scacchiera tre per tre, in modo tale che la somma dei numeri su qualunque riga, colonna o diagonale era sempre la stessa (la disposizione originale delle righe era 492, 357 e 816, e la somma è sempre 15: provare per credere). Il mitico imperatore Yu, che avrebbe assistito al prodigio, inaugurò un uso divinatorio del diagramma, associando i numeri alle stagioni e offrendo i riti ad esse appropriati nelle corrispondenti sale del suo Palazzo Splendente. In seguito al diagramma furono associati simboli di ogni genere, secondo una complicata teoria che confluí nel famoso «I Ching», o «Libro dei mutamenti».

I quadrati magici si ritrovano nei luoghi più impensati: su un tempio erotico indiano a Khajuraho, nell'incisione «Melancholia» di Dürer, su una facciata della Sagrada Familia a Barcellona. Oltre a fornire improbabili ausili magico-astrologici, essi costituiscono una fonte di ispirazione per problemi combinatori di natura aritmetica, analoghi a quelli geometrici del tipo dello Stomachion: già agli inizi del Trecento si conoscevano quadrati magici disposti su scacchiere di qualunque dimensione, e verso la fine dell'Ottocento si cominciarono a studiare cubi magici con proprietà analoghe.
Pochi giorni prima di Natale il francese Christian Boyer e il tedesco Walter Trump hanno trovato il più piccolo cubo magico possibile, cinque per cinque per cinque: vi sono disposti i numeri da uno a 125, col 63 al centro, in maniera tale che la somma delle 75 cinquine nelle tre dimensioni, e delle 34 in diagonale (comprese le quattro che collegano vertici opposti del cubo) è sempre la stessa, e cioè 315. Ancora una volta il risultato è stato ottenuto con un massiccio uso del computer, che ha permesso di costruire 80.000 cubi ausiliari di dimensione tre, serviti per la scoperta di quello finale di dimensione cinque.

I risultati di fine anno sono stati, per i matematici, l'analogo di tre Re Magi che hanno annunciato una vera Epifania: perché l'antica parola greca, in seguito abusata come «manifestazione dall'alto» della divinità, e poi degenerata nel nome della Befana, era in origine usata da filosofi e matematici per indicare le superfici geometriche, «viste di sopra» (così come d'altronde le stigmate, passate ad additare dapprima le ferite di Gesù, e poi le manifestazioni somatiche di una fede isterica, indicavano in origine i punti geometrici). Il tutto in accordo con l'insegnamento generale dello Stomachion che è bene grattar via dai palinsesti (letterali o metaforici) le formule religiose, perché esse nascondono tesori perduti del pensiero razionale.

 

Per saperne di più

La pagina Polymath dello Stomachion

Un articolo del New York Times: In Archimedes' Puzzle, a New Eureka Moment

Intervista di Odifreddi ad Archimede:
http://matematica.uni-bocconi.it/odifreddi/odifreddiarchimede.htm

La biografia di Archimede:
http://turnbull.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Archimedes.html

The Archimede Project della Stanford University:
http://archimedes.stanford.edu/

La traduzione dell’Arenarius e altri lavori di Archimede:
http://www.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient%20Mathematics/VignettesAncientMath.html#Archimedes

Michael Lahanas, Stomachion e matematica combinatoria:
http://www.mlahanas.de/Greeks/ArchimedesComb.htm
E sullo stesso argomento
Erica Klarreich:
http://www.sciencenews.org/articles/20040515/bob9.asp
Fan Chung and Ron Graham:
http://www.math.ucsd.edu/~fan/stomach/tour/

 

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