C’era un teorema che da più di trecento anni tormentava i matematici e che nessuno era mai riuscito a dimostrare. Più che un teorema era quindi una congettura. Molto semplice da enunciare quanto difficile da dimostrare. Vediamola.
Tutti gli studenti conoscono il teorema di Pitagora e le terne di numeri, chiamate pitagoriche, tali che due di questi numeri, elevati al quadrato, danno come risultato il terzo numero al quadrato. Queste terne sono infinite. Un esempio: 32 + 42 = 52. Nessuno invece è mai riuscito a trovare tre numeri tali che la somma dei primi due al cubo, oppure elevati a una potenza superiore, sia uguale a un terzo numero elevato alla stessa potenza.
Pierre de Fermat, 1601 - 1665

Molti matematici ritenevano, già nel passato, che il problema non avesse soluzione, ma nessuno era mai riuscito a dimostrarlo. Questo è il teorema di Fermat, dal nome del grande matematico francese che nel 1637, sul margine di una pagina di uno dei suoi libri preferiti, l’Arithmetica di Diofanto, annotava:
Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratum, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Una “mirabile” dimostrazione che diventò il sacro Graal dei matematici, impegnati invano nella sua ricerca.
Purtroppo non si è mai trovato traccia di tale dimostrazione fra le carte di Fermat e molti matematici tentarono invano per più di tre secoli di riscoprirla, anche materialmente, come Eulero, che fece perquisire da cima a fondo la casa di Fermat, senza risultato. Almeno in parte però il teorema incominciò a cedere. Nell’Ottocento si arrivò a risolvere tutti i casi delle potenze inferiori alla centesima e in questo secolo, grazie al computer si arrivò, negli anni ottanta, a dimostrare i casi per tutti i valori fino a 4 milioni.
Ma quella che non si riusciva a trovare era la dimostrazione generale del teorema della cui esistenza molti incominciarono perfino a dubitare, ritenendo che Fermat avesse voluto prendere in giro i suoi illustri colleghi, con una dimostrazione che in realtà forse neppure esisteva, oppure, cosa più probabile che si fosse illuso di averla trovata e poi, scoperto un errore, che avesse preferito farla scomparire.

Anche il diavolo s’è rotto le corna sul Teorema di Fermat. In un racconto di Arthur Poges, c’è la sfida tra Simon Flagg, il protagonista e il diavolo. Flagg può porre una sola domanda. Se il diavolo trova la risposta entro ventiquattro ore, si prende la sua anima, altrimenti gli regala centomila dollari. La domanda è la seguente: “L’Ultimo Teorema di Fermat è corretto?”. Per un giorno intero, il diavolo cerca la risposta in ogni angolo dell’Universo, poi deve ammettere la sua sconfitta:
Hai vinto - disse il diavolo, quasi in un bisbiglio - Neppure io posso imparare abbastanza matematica in un tempo così breve per risolvere un problema tanto difficile. Più mi sono sprofondato nella questione e più difficile è diventata. Sai che neppure i migliori matematici degli altri pianeti, che sono tutti molto più progrediti del vostro, l’hanno risolto?”.
Albrecht Dürer, Knight, Death and
the Devil 1513, particolare

Solo nel 1995, grazie ai fondamentali progressi nella teoria dei numeri, un timido professore inglese, Andrew Wiles, docente della Princeton University, ha trovato la soluzione. Non è stata un’impresa facile. Per otto lunghi anni Wiles non ha praticamente pensato ad altro. “Pensavo soltanto a questo problema – confessa a Simon Singh, nel libro che racconta la sua avventura, L’ultimo teorema di Fermat, Rizzoli - era il mio primo pensiero quando mi svegliavo al mattino, l’unico pensiero della mia giornata e l’ultimo prima di addormentarmi. Soltanto mia moglie era al corrente del mio lavoro su Fermat. Glielo dissi in luna di miele, pochi giorni dopo il nostro matrimonio, e allora non poteva sicuramente immaginare che per tanti anni sarebbe stata la nostra spina nel fianco”. Una dimostrazione di duecento pagine, che è un capolavoro della matematica moderna. L’importanza di questa dimostrazione va ben oltre la risoluzione di un grande problema classico, ha infatti conseguenze incommensurabili per molti altri teoremi direttamente collegati ai diversi problemi che Wiles ha dovuto affrontare per arrivare alla soluzione dell’Ultimo Teorema di Fermat. “Dal punto di vista matematico la dimostrazione di Wiles - ha dichiarato John Coates, un suo collega - è l’equivalente della fissione dell’atomo o della scoperta della struttura del DNA”.

Andrew Wiles, presenta la sua dimostrazione del Teorema di Fermat a un gruppo di colleghi. Immagine da http://plus.maths.org/issue10/features/proof4/

E ora Wiles si gode il successo, è diventato il più celebre e sicuramente uno dei più grandi matematici viventi. Lo abbiamo incontrato a Crotone, la città di Pitagora, il grande matematico greco che qui visse per molti anni con la sua scuola. Crotone ha istituito il “Premio Internazionale PITAGORA di Matematica” e per primo ha voluto premiare proprio Andrew Wiles.

Cosa ha provato, professor Wiles, quando ha capito di aver risolto il teorema?
“Prima di tutto una grande eccitazione, alla quale però subito dopo è subentrata una certa malinconia. Ho dovuto abbandonare il teorema che aveva accompagnato per tanto tempo la mia vita e che mi ero abituato a considerare soltanto mio. L’abbandono del teorema, la sua pubblicazione, lo confesso, mi ha rattristato”.
Lei ritiene che Fermat avesse dimostrato veramente il teorema?
“No, non lo credo. Può averlo intuito attraverso molti esempi, pensando di poter arrivare alla dimostrazione, ma non credo proprio che ci sia arrivato.
Mi consenta una battuta: io sono stato più fortunato di Fermat: lui aveva soltanto il margine di un libro a disposizione, io ho avuto duecento pagine…”

Crotone, immagine da http://portal.calabriaweb.it/Homepage.asp?lng=it

Quante sono le persone, secondo lei, che possono aver letto e capito la sua dimostrazione?
“Non lo so. Ma penso che siano soltanto poche centinaia di matematici, quelli specializzati in questo settore, la teoria dei numeri. Non è poi un teorema così difficile, ma è necessario dedicarvi qualche mese di studio intenso. Ci sono anche alcuni dei miei studenti, ai quali l’ho spiegato e lo hanno capito”.
Il nuovo metodo di indagine da lei proposto, può essere utile per risolvere altri teoremi?
“Credo proprio di sì, in particolare ovviamente, i problemi ancora irrisolti della teoria dei numeri, come la congettura di Riemann”.
Professor Wiles, un nome, ma soltanto uno: chi è il più bravo matematico vivente?
Wiles mi guarda perplesso, un po’ a disagio e sconcertato da una domanda “ingenua” che non si aspettava. Mi guarda perplesso, in silenzio per alcuni lunghi minuti (sono famosi questi suoi silenzi durante le interviste). Spera che abbandoni la domanda, ma insisto.
Se non mi risponde, posso pensare e a ragione, che sia lei…
“No, assolutamente. Penso che oggi non esista più un matematico eccellente che sia in grado di abbracciare tutto il campo, sempre più complesso, della matematica (o meglio delle matematiche). Non siamo più al tempo di Newton, Gauss o Archimede. Forse l’ultimo grande matematico, come lei intende, è stato Hilbert. Oggi ci sono molti matematici che eccellono nel loro settore, ma nessuno è più in grado di eccellere in tutti i settori”.

Certe formulette inutili, non portano sicuramente gli studenti ad amare la matematica.

Professor Wiles, se le chiedo, così a bruciapelo, la formula di risoluzione dei radicali doppi, una delle tante formule che tormentano gli studenti delle superiori, lei la ricorda?
“Confesso di no. Ma non credo che sia questa la matematica da insegnare ai giovani. E’ necessario invece avviarli al ragionamento, portarli a risolvere problemi che li coinvolgano direttamente. Sì, questa è la strada: risolvere problemi. Per imparare la matematica non è sufficiente quanto si impara in classe. Bisogna leggere i libri dei matematici”.

Quali, ad esempio?
“A livello delle superiori, per uno studente di quindici, sedici anni, i primi titoli che mi vengono in mente sono due:
Harold Davenport, Aritmetica superiore, [pubblicato in Italia da Zanichelli] Hardy e Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, [Oxford University Press, non esiste la traduzione italiana]”.
C’è un terzo libro al quale immagino che sia affezionato, il libro di Eric Bell, dal quale mi sembra sia nato il suo amore per il teorema di Fermat.
“E’ vero. Il libro di Bell [I grandi matematici, Sansoni] lo lessi quando avevo dieci anni. Presentava il Teorema di Fermat in modo così semplice che anch’io, pur essendo ancora un bambino. riuscivo a capirlo e mi resi conto che, da quel momento, non l’avrei mai più dimenticato. La sua risoluzione divenne il mio primo impegno”.

Crotone, Capo Colonna. Immagine da http://portal.calabriaweb.it/Homepage.asp?lng=it

Avremmo ancora molte cose da chiedergli, ma Wiles ormai è distratto dalla spiaggia di Crotone, dove ci troviamo, dalla famosa sabbia rossa, e incomincia a lanciare sassi sul mare di Pitagora. Ne nasce una gara a chi fra noi due riesce a fare più salti con i sassi lanciati a pelo d’acqua.

Andrew Wiles, con Alessandro Cecchi Paone che ha animato la premiazione.

Lo rivedremo più tardi in teatro dove abbiamo ritirato anche noi il Premio Pitagora per la divulgazione scientifica. Un premio ancora più prezioso perché condiviso con il grande Wiles.
In un teatro gremito di pubblico, Wiles viene accolto, tutti in piedi, da un lungo applauso. Mai un matematico, dal tempo di Pitagora, aveva ricevuto un tale tributo e Wiles ne è visibilmente commosso.

Federico Peiretti

 


ARTICOLI - Dello stesso autore:

Kovalevskaya: la matematica come immaginazione

Sophie Germain

A beautiful mind, a bad film

Paul Erdos, il matematico errante

André Weil, la matematica come arte

John Horton Conway e il gioco della matematica

Parla codice Navajo e la seconda Guerra Mondiale

Dimostrata la Congettura di Poincaré?

Archimede e i grandi numeri


La matematica fra le nuvole

La grande avventura matematica dei quadrati e dei cubi magici

Coxeter, la geometria nata dal caleidoscopio


Hedy Lamarr, a beatiful Mind


Bernoulli e il patto con il diavolo

Numeri che contano

Intervista a Andrew Wiles

Amore e matematica


Manoscritto di Voynich