IL “SAPER VEDERE” IN MATEMATICA

Bruno de Finetti

 

 

 

 

Riesce particolarmente pregiudizievole la tendenza a sopravvalutare - spesso, addirittura in modo esclusivo - la ragione che, a mio avviso, e' invece utilissima solo a patto di venir considerata come un complemento atto a perfezionare tutte le altre facolta' istintive intuitive psicologiche (ma non -guai! - a surrogarle).

 

Bruno de Finetti
1906-1985

Bruno de Finetti  è il creatore della teoria delle probabilità moderna, o meglio dell'interpretazione cosiddetta soggettivistica delle probabilità. De Finetti ci ha insegnato a stimare le nostre convinzioni soggettive, il nostro grado di fiducia nell'accadere di un evento.
Quanto denaro scommetteremmo su un evento incerto, non so, che vinca la squadra del cuore al derby piuttosto che si realizzi una tale misura politica oppure che cresca un certo mercato. Ecco, de Finetti ci ha fatto vedere come convinzioni umane fallibili, veramente umane, troppo umane, possono poi però diventare lentamente degli algoritmi che funzionano. E si può quindi arrivare a un consenso pur partendo da stime di probabilità molto diverse. Così lavora la ragione degli uomini: appunto lentamente, costruendo dai propri errori, correggendo le proprie stime iniziali.

Giulio Giorello

De Finetti

Quel che è logico è esatto, ma non dice nulla.

Bruno de Finetti

 

Bruno de Finetti è nato in Austria, a Innsbruck, il 13 giugno del 1906, da genitori italiani ed è morto il 20 luglio 1985 a Roma. La madre era la figlia del generale Radaelli, comandante delle truppe che nel 1848 – 49 difesero Venezia contro gli austriaci. Il padre era un ingegnere e fu quindi naturale per lui iscriversi a ingegneria, al Politecnico di Milano. Ma ben presto prevalse il fascino della matematica e al terzo anno lasciò il Politecnico per passare, sempre a Milano, a matematica, dove si laureò nel 1927. In seguito lavorò per l’Istituto Centrale di Statistica e per le Assicurazioni Generali dove rimase fino al 1946. Nel frattempo a soli 24 anni superò l’esame per la libera docenza in Analisi e a tempo parziale tenne diversi corsi universitari, tra Padova e Trieste, dove dal 1946 si dedicò a tempo pieno all’insegnamento. Passò poi definitivamente all’Università di Roma, nel 1954, dove venne istituita per lui, nel 1961, una cattedra  di Matematica Finanziaria che occupò per 15 anni. Nello studio del calcolo delle probabilità, per cui è famoso, aveva abbracciato l'impostazione soggettiva, secondo la quale la probabilità di un evento non è, per così dire "nei fatti". Essa, al contrario, diceva De Finetti, "non soltanto deve essere valutata rispetto a ciascun individuo, ma deve tener conto delle circostanze, positive e negative, che inducono quell'individuo a propendere a favore, o a sfavore, di un certo avvenimento". Al di fuori dell’ambiente matematico, De Finetti divenne noto non tanto per i suoi studi quanto per un episodio che risale al 18 novembre del 1977. Quel giorno infatti lo studioso venne arrestato al termine dell' inaugurazione dell' anno accademico dei Lincei "per associazione sovversiva e istigazione dei militari a disobbedire". L'arresto avvenne nell' ambito delle indagini sui cosiddetti "Proletari in divisa", perchè De Finetti aveva firmato come direttore responsabile l' agenzia "Notizie radicali", al posto di Marco Pannella, che in quel periodo aveva problemi giudiziari. Il mandato di cattura venne revocato prima che venisse tradotto a Regina Coeli, ma l' episodio provocò ugualmente le proteste di molti uomini di cultura.

liberoIl suo aforisma più famoso:
La probabilità non esiste
De Finetti intendeva dire con questo che la probabilità esprime il punto di vista di un osservatore e quindi non ha una propria autonoma esistenza.

C’è un suo libro dedicato alla didattica della matematica Il “saper vedere” in Matematica che ebbe una grande diffusione quando uscì, nel 1967. Il libro inaugurò una fortunata collana didattica dell’editore torinese Loescher: La Ricerca. E’ un libro purtroppo esaurito, sempre attuale, che raccomandiamo all’insegnante e anche allo studente, curioso di Matematica. Nella Lettera Pristem n. 61, ampio spazio è dedicato a de Finetti e Rosa Carini, grande esperta dei problemi della didattica della matematica, ricorda il libro che entra ora nella nostra antologia: “Un prezioso volumetto che per i giovani insegnanti è sempre una lettura fondamentale”.

 

La quarta di copertina

Perché "saper vedere", in matematica? non basta, nella matematica, saper applicare la fredda logica e le rigide regole di calcolo?
Contro questa tesi (sostenuta a volte, per malinteso orgoglio di una particolarità importante, ma non esclusiva, anche da matematici) vale come risposta un'efficace immagine dovuta a un grande matematico, Paul Lévy. Per raggiungere una certa meta occorrerà, certamente, far uso dei piedi per camminare; ma ciò non esclude, anzi richiede, che uno faccia prima uso degli occhi per individuarla e per orientarsi. e poi per trovare e seguire la strada, ed infine per osservare e gustare il panorama che giustifica l'interesse per la passeggiata.
Perciò nessuna persona ragionevole va a passeggio con gli occhi bendati pensando che tutto sta nel camminare coi piedi; e allo stesso modo non dovrebbe in nessun campo, e meno che mai nella matematica, pensare di procedere ad occhi chiusi perché per ragionare bastano i piedi.
Scopo di questo volumetto è di aiutare a comprendere quali panorami e quali arricchimenti di idee la matematica offre a profusione, senza alcun ulteriore sforzo ed anzi attenuandolo, pur di tenere gli occhi aperti e guardarsi intorno, mentre uno viene introdotto nel suo regno, anziché guardarsi soltanto i piedi per far attenzione a come li muove per fare un passo e poi un altro.

 

1. RIFLETTERE PER GIUNGERE A UN RISULTATO

La matematica richiede anzitutto immaginazione e interesse per vedere direttamente i problemi, e allora e istruttiva e anche divertente. Perché i giovani se ne persuadano, e conservino anche da grandi il vantaggio di sapersi regolare in ogni circostanza afferrando gli aspetti matematici e logici dei problemi che dovranno affrontare nella vita, basta che si abituino a riflettere, a rendersi conto del senso e del valore e dell'utilità di ciò che fanno. La matematica sembra e diventa arida e odiosa soltanto se, lasciando in ombra gli scopi cui risponde, si riduce a passiva accettazione di nozioni, metodi, formalismi.
            Giova soprattutto riflettere su esempi, imparare a riflettere su esempi svariati ed a modificarli o costruirsene di nuovi, e riuscire così sempre meglio a capire e scoprire ciò che occorre saper vedere per dominare un problema. Cominciamo da tre esempi effetivi, di epoche molto diverse, che possono servire da utile spunto.

 

 

Platone: Socrate e lo schiavo.

Il primo esempio è contenuto in un celebre passo di Platone (filosofo greco, 427-347 avanti Cristo), e precisamente nel dialogo Menone: Socrate interroga uno schiavo, chiedendogli di raddoppiare un quadrato (cioè: di costruire un quadrato di area doppia di quello dato). Dapprima lo fa accorgere che se raddoppiasse il lato (come a prima vista aveva detto) l'area risulterebbe non doppia ma quadrupla, ed infine, incoraggiandolo ancora a pensare e guardare la figura disegnata (fig. 1) per trovare un quadrato di area metà di

figura1

quello quadruplicato, riesce a fargli scoprire che basta costruirlo come in fig. 2, ossia prendendo per lato la diagonale del primo. Così dunque si ottiene il quadrato richiesto, di area doppia del primo.

figura2

A conclusioni matematiche si può giungere, dunque, senza aver fatto specifici studi, solo pensando e osservando. Questo rileva Platone, sia pur cercando, come a quei tempi si usava, spiegazioni meta fisiche ("idee innate" o reminiscenze di altre vite precedenti).

 

Lo scolaretto Gauss.

Il secondo esempio è l'aneddoto riguardante Gauss (uno dei maggiori matematici, 1777-1855), che, da bambino, attirò così l'attenzione del maestro sulle sue attitudini. Questi, per correggere tranquillamente dei compiti, aveva dato agli scolari un lungo esercizio: sommare tutti i numeri da l a 100. Ma Gauss consegnò immediatamente la risposta: la somma è 5050, perché accoppiando gli addendi (primo ed ultimo: 1 e cento; secondo e penultimo: 2 e 99; e poi 3 e 98, ecc., fino a 49 e 52 ed a 50 e 51) si hanno 50 coppie, ciascuna di somma 101. In altra forma: è lo stesso che se i 100 addendi avessero tutti il medesimo valore 1/2  (1 + 100) = 50  1/2 = 50,5, semisomma del primo e dell'ultimo.
Gauss era Gauss, d'accordo. Però quest'osservazione era semplice: prestando un po' di attenzione al problema, forse qualunque bambino avrebbe potuto accorgersi di questa proprietà e sfruttarla. E saper vedere le cose semplici e degnarsi di rifletterei sopra e la cosa più importante (e vi ritorneremo soprattutto nei nn. 5 e 6): così e soltanto così finiscono per apparire comprensibili intuitive ed ovvie altre cose sempre più complicate.

 

Uno come voi.

Il terzo esempio è dei nostri giorni; riguarda un allievo della scuola media "T. Tasso" di Roma (il tredicenne Masimo Campanino, classe IU-B, anno 1964-65).
figura3Egli vide e indicò esattamente un modo molto più semplice e significativo di quello consueto1 per ricavare l'espressione del volume dell'ottaedro. Completando (come mostra la fig. 3) l'ottaedro con 4 tetraedri di ugual lato giustapposti a quattro delle sue facce (scelte alternatamente), si ottiene un tetraedro di lato doppio - e quindi di volume 8 volte maggiore - di quello di ciascuno dei tetraedri precedenti. Togliendo i 4 tetraedri aggiunti rimane l'ottaedro inizialmente considerato, che ha pertanto volume quadruplo del tetraedro di uguale lato (4 = 8 - 4). È questa la conclusione cui si trattava di giungere.
Che, raddoppiando il lato, il volume divenga otto volte maggiore, è cosa ovvia per il cubo (stesso ragionamento fatto per il quadrato nel caso di Socrate e lo schiavo); che la stessa proprietà valga per qualunque solido è un fatto su cui ritorneremo (n. 3): ciò sarà utile non solo per chi ancora la ignorasse ma anche per chi già la conosce.
            Come mai - ci si chiederà - uno studente di scuola media, sia pure particolarmente dotato, ha potuto vedere quel problema sotto un  aspetto non propinatogli da libri o docenti? Occorre dire che l'insegnante, in quella classe, è la prof. Emma Castelnuovo,  il cui metodo d'insegnamento tende a stimolare l’intelligenza anziché a soffocarla (come in genere avviene) sotto aridi nozionismi, talora pretessamente pratici, talora pretesamente scientifici.

 

Fate che il seme non vada sprecato.

Questi tre esempi volevano solamente mostrare, per intanto, come sia possibile, e come riesca istruttivo, giungere a conclusioni interessanti pensando direttamente a problemi concreti, senza impiegare teorie o ricette stereotipate di sapore scolastico. Ciò non vuol dire che tali teorie e procedimenti non servano, bensì che, anche quando occorre usarli, si può giungere molto più oltre, con maggior gusto e minor fatica, se si cerca “vedere" ogni singolo problema in modo da sfruttare con criterio ogni particolarità utile. Ed è anzi proprio e soltanto in questo modo che potrete valorizzare gli insegnamenti avuti a scuola, e far sì che la fatica vostra e quella dei vostri insegnanti non vada sprecata.

 

2. E DOPO, RIFLETTERE ANCORA

Risolvere un problema e sempre di per sé uno sforzo istruttivo: ogni successo rende più facili ulteriori successi. Ma il vantaggio e molto più grande se ci si sofferma a riflettere, su ogni problema che ci si presenta, non soltanto quanto occorre per risolverlo ma poi ancora per far tesoro di tutte le osservazioni che siamo capaci di trarne sviscerandolo.
            Praticamente, si tratta solo di domandarsi vari "perché?":
- perché vale la conclusione trovata (ossia: sussisterebbe oppure varierebbe, e come, se modificassi i dati in questo o quel modo)?
- perché ho incontrato difficoltà e poi le ho superate (cioè: dov' era" il bandolo della matassa" e com’è che prima mi sfuggiva e poi l' ho visto)?
Riflettendo su cose del genere ogni esempio arricchisce l'esperienza in misura moltiplicata ed in modo assai più profondo. Più profondo che mai, forse, se si giunge a riflettervi quasi senza accorgersene (come quando si cerca invano l'impostazione di un problema prima di addormentarsi, e al risveglio vediamo di averla già trovata).
Notiamo subito come, riflettendo sui primi esempi ora considerati, si possono presentare naturalmente delle osservazioni e conclusioni istruttive, di carattere molto più generale. E cominciamo dall'aneddoto di Gauss.

 

Tornando a Gauss.

È naturale chiedersi se lo stesso procedimento vale anche per calcolare la somma, anziché dei numeri da 1 a 100, per quelli da 1 a 12, o da 1 a 500, o da 1 a 1965, ecc., e si constata subito che sì: nei tre casi il risultato è t . 12 . 13, t . 500 . 501, t. 1965. 1966 (così come, per i numeri da l a 100, era t. 100. 101). Il ragionamento vale tale e quale; si noti però che nell'ultimo caso (essendo 1965 dispari) riesce un po' strano dire che abbiamo 982 t (= t . 1965) coppie di somma 1966, benché ciò possa considerarsi "vero" nel senso che il numero centrale, 983, rimane spaiato, e vale appunto come "metà di una coppia di somma 1966" (l); del resto va sempre bene anche alla lettera la seconda formulazione data sopra: la somma è la stessa che se tutti gli addendi fossero uguali alla semisomma del primo e dell'ultimo.
Ma è chiaro che il procedimento (e la regola cui conduce) valgono sempre se gli addendi crescono (oppure decrescono) di una differenza costante (senza che la differenza sia necessariamente 1 né che la successione cominci da 1); si dice in tal caso che i numeri considerati variano linearmente, o che costituiscono una progressione aritmetica (p. es., 5, 6 ½ , 7 ½, 8 ½, 10, 11 ½, 12 ½, 13 ½, 15, 16 ½, 17 ½, 18 ½, 20). La somma è sempre la media del primo ed ultimo termine moltiplicata per il numero dei termini, nell'es., è
½  (5 + 20) . 13 = 162 ½
Qualunque risultato matematico riesce di regola più chiaro, o diventa addirittura intuitivo, rappresentandolo geometricamente in modo opportuno.
figura4Nel nostro caso, rappresentando i successivi addendi come rettangolini di base 1 e altezza che ne esprime il valore, se sono in progressione aritmetica avremo una scala a gradini uguali (ossia secondo una retta; v. fig. 4). Ed è chiaro che in tal caso l'area (somma) è la stessa del rettangolo di ugual base e di altezza pari alla media delle altezze estreme. Il ragionamento di Gauss bambino consiste nel notare, riferendosi alla figura, che i tratti di rettangoli sorpassanti il livello medio sono identici a quelli mancanti dal lato opposto.
Da ogni nuova riflessione potremmo fame scaturire altre, continuando senza fine. Quelle ora svolte bastano a far notare, per intanto:
- come ciascuna di esse giovi a renderei più chiaro sotto vari aspetti il perché della conclusione già raggiunta nel caso particolare (della somma dei numeri da 1 a 100);
- come quella conclusione risulti applicabile in molti altri casi (di cui è facile immaginare quanto spesso potranno presentarsi in problemi pratici di ogni genere) ;
- come il fatto di esprimere il risultato mediante formule (" calcolo letterale") possa corrispondere a idee e bisogni spontanei, più di quanto forse non sembri incontrandolo nel corso di un programma scolastico;
- quanto giovi saper immaginare da sé una rappresentazione geometrica.
Nel seguito avremo occasione più volte di utilizzare ancora queste riflessioni riprendendole e sviluppandole,. si vedrà meglio allora quanto valore abbia ogni osservazione, piccola o grande, quando rimane viva nel ricordo, pronta a riapparire e ad aiutarci per vedere e affrontare problemi aventi con essa qualche nesso

 

3. S’lNCONTRANO ANCHE QUESTIONI GENERALI

Degli altri due aneddoti ci limiteremo a considerare un aspetto comune: come variano aree e volumi raddoppiando (o in generale alterando) le lunghezze (ivi: lato del quadrato, o del tetraedro) . Come già notato2, raddoppiando le lunghezze le aree  si quadruplicano e i volumi si ottuplicano, e, più in generale, moltiplicando le lunghezze per un numero qualunque (p. es. 0,8, 1,1, 2,7, 10, ecc.: in generale potremmo dire r), le aree risultano moltiplicate per il quadrato di r (cioè r2 =  r. r = «r moltiplicato per sé stesso»: p. es. (0,8)2 = 0,64, (1,1)2 = 1,21, (2,7)2 = 7,29, 102 = 100), i volumi per il cubo di r (cioè r3 = r. r. r: p. es. (0,8)3 = 0,512, (1,1)3 = 1,331, (2,7)3 = 19,683, 103 = 1000). Che ciò sia vero . il quadrato e per il cubo è evidente: il quadrato di lato doppio si ottiene con 4 quadrati uguali (fig. 1), ed analogamente un cubo di lato doppio con 8 cubi uguali; per il quadrato o il cubo di lato , p. es., ridotto a 0,8 basta notare che  occorreranno 64 dei 100 quadratini di lato 1/10, rispettivamente 512 dei 100 cubetti di lato 1/10.
Ma sarà vero per il tetraedro? È facile vedere che non è possibile dividere il tetraedro di lato doppio in 8 tetraedri uguali: toltine 4 ai vertici (v. fig. 3) rimane un ottaedro e non si può farne altri 4 tetraedri come i precedenti. (Si potrebbe dividerlo in 4 tetraedri uguali ad essi come volume ma non come forma, non regolari; chi vuole riuscirà forse da sé a vedere come, ricordando che il volume è uguale se restano uguali base ed altezza). Ma poi, perché soffermarsi a pensare al tetraedro? La conclusione che preme è quella generale, valida anche per il caso di due patate, o di due uova, o di due statue, uguali per forma ma di dimensioni raddoppiate (o comunque proporzionalmente alterate) tra l'una e l'altra3.
figura5Per dimostrare che la proprietà è vera in generale basta pensare che ogni solido (a forma di patata o di uovo o di statua o di tetraedro o altra qualsiasi) può sempre pensarsi tagliato in cubetti, piccoli quanto si vuole, cosi come ogni figura piana in quadratini sovrapponendovi una carta quadrettata (p. es. millimetrata) v. la fig. 5.
Il volume sarà espresso dal numero dei cubetti (per eccesso o per difetto a seconda che contiamo o no i cubetti incompleti sul contorno: ma l'errore si può rendere trascurabile prendendo i cubetti sufficientemente piccoli). Allora basta pensare che, raddoppiando le lunghezze, ogni cubetto ottuplica il suo volume (o, in generale, lo moltiplica per r3se le lunghezze vengono moltiplicate per r), e la conclusione risulta estesa al caso di un solido qualunque.
Queste considerazioni sono di estrema importanza sotto molti punti di vista. Anzitutto, presentano un esempio istruttivo di proprietà di tipo" sintetico", semplici e potenti (" sintetico" nel senso che permettono ad es. di dire senz' altro che raddoppiando il lato del tetraedro o il raggio della sfera il volume si ottuplica, senza bisogno di una conoscenza più precisa, "analitica", su quale sia e come si calcoli il volume del tetraedro o della sfera). In particolare le proprietà sintetiche di questo tipo" dimensionale" (cioè dipendenti solo dalla natura delle grandezze in questione: qui lunghezze, aree, volumi, ma più in generale anche tempi, velocità, masse, forze, ecc.) sono istruttive per imparare a distinguere le nozioni fisiche ecc. e perché spesso consentono di stabilire direttamente i rapporti tra comportamento di strutture effettive (fabbricati, navi, aerei, ecc.) e modelli in scala. Altra circostanza da notare (e vi ritorneremo nel n. 16) è il tipo di ragionamento qui usato (basato su approssimazioni che danno" al limite" una conclusione rigorosa).

 

Nulla è troppo" banale".

Da riflessioni suggerite da semplici esempi, scelti più che altro a titolo di curiosità" storiche", si giunge direttamente, come si è visto, a considerazioni e conclusioni di natura molto generale. Ma su di esse, a sua volta, giova soffermarsi per constatazioni anche banali, ma pure utili in sé, e che nuovamente poi daranno lo spunto per delle osservazioni che aprono ulteriori sviluppi.
Le constatazioni banali sono quelle consistenti nel fissare l'attenzione su semplici dati numerici. Bisognerebbe convincersi che fare ciò è istruttivo, che si rischia di non veder bene le cose quando, per superbia o pigrizia, si disdegna discendere al calcoletto numerico illudendosi di aver già le idee chiare attraverso le teorie e le formule. Occorre riflettere spesso anche sui dati numerici, e magari fare in modo di vederli meglio mediante una o più rappresentazioni grafiche appropriate.
Nel nostro caso, il motivo per consigliare un po' di attenzione a dei dati numerici è questo: la maggior parte delle persone (a mio avviso) non si rende conto di quanto più rapidamente crescano le aree e più ancora i volumi al crescere delle dimensioni lineari (lunghezze). Due valigie della stessa forma sembrano "quasi uguali", quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che ,in genere le persone si rendano ben conto che ad un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10 % (oppure del 20 % o del 25 %) corrispondono aumenti di capacità (volume) di circa 33 % (oppure 75 % o 100 %: raddoppio). Tanto meno questa capacità di apprezzamento sembra sussistere quando si pensi alla noncuranza con cui si parla di "cucchiaini" di zucchero come di unità di misura mentre piccole differenze nelle dimensioni (e nella forma) possono ben alterare il contenuto di un cucchiaino nel rapporto di 1 a 2 o anche ben più (anche a prescindere da ulteriori differenze dovute in pratica al non curare di farlo colmo). Analoghe, anche se, naturalmente, meno marcate, sembrano le manchevolezze di giudizio nel caso delle aree.
Vogliamo vedere quali aumenti di area e volume corrispondono a piccoli aumenti nelle lunghezze? Costruiamo la tabellina seguente:

figura6

(Basta ad es. moltiplicare 1,01 per 1,01, e si ha 1,0201, e poi moltiplicare ancora per 1,01, e si ha 1,030301; gli aumenti sono perciò 2,01 % e 3,0301 % arrotondato a 3,03 %; cfr. tabella, prima colonna).
Ciò conduce all'ultima osservazione che intendevamo fare a proposito di questo argomento: come si vede, la percentuale d'aumento risulta, per l'area, circa doppia, e per il volume circa tripla, di quella per le lunghezze (quasi esattamente per aumenti più bassi; poi man mano il rapporto va crescendo scostandosi sempre più rapidamente da 2 e 3).
È una constatazione utile da tener presente a titolo di orientamento. Ad esempio, se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento di temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (p. es. 0,38 %), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell'1,14 %), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di 0,76 %).

figure 6 e 7

E perché avviene questo? La spiegazione è semplice, ed è cosa che servirà aver presente per molte ulteriori discussioni e applicazioni. Ci limitiamo a indicarla mediante le figg. 6 e 7: se prendiamo un quadrato, diciamo per semplicità di lato = l, e aumentiamo il lato di a (cosicché diventerà l + a), l'area aumenta dei due rettangoli allungati (in fig. 6), ciascuno dei quali ha area a (più il quadratino al loro incontro: ma è trascurabile se a è piccolo). Analogamente il cubo (fig. 7) si accresce di tre piastre (base 1 x 1, spessore a, volume a), più (ma per a piccolo sono trascurabili) tre sbarrette e un cubetto (lungo gli spigoli e al vertice da completare)4.

 

4. COME RIFLETTERE SU DI UN PROBLEMA

Come si fa ad affrontare un problema e risolverlo? Su questo argomento e con questo titolo (“Wie sucht man die Losung mathematischer Aufgaben?”) un matematico di talento e di spirito, George Pòlya, ha scritto un ampio acuto articolo, sviluppato poi in volume, « How to solve it?». Chi potrà leggerlo (quando sarà un po' più avanti con gli studi) ne trarrà certamente profitto e diletto. Più tardi ancora potrà passare ad altri tre volumi che proseguono il discorso.
Qui non si tratta di svolgere un'analisi del genere, ma soltanto di indicare alcune delle cagioni che fanno spesso apparire insormontabili delle difficoltà che non esistono, e alcuni dei modi in cui un intelligente allenamento a "saper vedere" i problemi si rende utile per semplificare e padroneggiare le cose nel miglior modo possibile.
Giova soprattutto rendersi conto di ciò su esempi, su molti esempi, e specialmente su esempi facili: molti degli esempi che saranno utilizzati sono problemi proposti in "Gare matematiche" (quali si svolgono in molte città, per giovani di 15-20 anni, non universitari) ed anche le considerazioni e consigli che svolgeremo commentandoli derivano dalla constatazione di difficoltà ed errori nel rispondervi.
Dice il proverbio che" sbagliando s'impara", ed è vero; fino ad un certo punto però si può anche imparare riflettendo su errori o su difficoltà incontrati da altri, come, in precedenza, viceversa, su esempi di idee intelligenti venute ad altri. Con tali riflessioni si possono accumulare e affinare conoscenze e reminiscenze ed esperienze utili, come sono utili, naturalmente - pur di non ridurle a imparaticcio mal digerito - le nozioni più sistematiche apprese nella scuola.
Ma solo affrontando effettivi problemi possiamo vedere se e fino a qual punto e con quale successo riusciamo realmente a valercene. Occorre saperli sempre guardare senza preconcetti, non correre subito a cercare la “ricetta” per risolverli. Anche se c'è e la conosciamo, non è detto che convenga applicarla senza prima riflettere se non sia meglio farne a meno o applicarla con maggiore accortezza. E in molti casi invece è proprio l'idea fissa di trovare una ricetta cui aggrapparsi, ciò che conduce fuori strada.

 

5.  SAPER VEDERE LE COSE FACILI

figuraUna cosa difficile è spesso il vedere le cose facili, ossia riuscire a distinguere, nel complesso di circostanze presenti in un problema, quelle che bastano per impostarlo, o che permettono di effettuare l'impostazione in diversi passi facili successivi.
Ecco un esempio semplicissimo (proposto in una Gara matematica): dato un triangolo, dividerlo in 5 parti di uguale area mediante una spezzata a zig-zag (cfr. fig. 8).
È semplicissimo se... se si pensa dapprima soltanto al triangolo I che dev' essere 1/5 del dato, sicché basta prendere D in modo che CD sia 1/5 del lato CB5. Proseguendo allo stesso modo, il triangolo II dev'essere 1/4 del rimanente sicché AE va preso uguale a 1/4 del lato AB; poi DF sarà 1/3 di DB, ed infine G sarà a metà di EB. (Non sarebbe possibile invece, ad es., cominciare dal V e procedere nell'altro verso).

 

Bicchier d'acqua: Pericolo!

La difficoltà (apparente) deriva invece dall'incapacità di liberarsi dalla visione del problema come un tutto unico, dalla conseguente tendenza a cercare « regole per la divisione a zig-zag» o ad abbandonare l'impresa sapendo che regole per questo caso non sono state studiate. Deriva dall'abitudine a pensare che « sapere la matematica» significhi « sapere di colpo per filo e per segno come rispondere o cosa fare », anziché esser capaci di riflettere e cercare e possibilmente trovare il modo di poter dire qualcosa di sensato, poco o molto che sia. Deriva dall' abitudine a pensare che « capire la matematica" significhi essere in grado di seguire una catena di passaggetti formali (sciogliere parentesi, portare un termine di qua o di là cambiando il segno, ecc.) controllandone la correttezza e confermando così l'esattezza della conclusione (dimostrazione di un teorema, determinazione di un risultato); ma giungere alla conclusione così ("obtorto collo", come diceva Federigo Enriques) non significa nulla rispetto al fatto più essenziale che è penetrare il significato della questione e rendersi conto della linea di pensiero che permette di afferrarla e ragionarvi sopra; è solo dopo che importa anche, per scrupolo, assicurarsi pazientemente dell' esattezza anche con quei passaggetti formali che a volte sembra siano presi per la stessa essenza della matematica.
Un'idea così distorta della matematica fa sì che il suo studio possa risultare addirittura d'intralcio anziché di aiuto nel capire cose matematiche. Accade spesso, purtroppo, di vedere anche studenti universitari perdersi « in un bicchier d'acqua », di dover dire «Badi, la cosa è semplice,. da bambino l'avrebbe certo risolta; cerchi di pensarci direttamente come avrebbe fatto allora!... », ed invece egli seguita ad annaspare per tirar fuori senza costrutto dai ripostigli della memoria - sperando di azzeccare e far colpo come il prestigiatore che fa uscire un coniglio dal cilindro - pomposi concetti di "Alta Matematica" ed insigni Teoremi e magiche Formule. Tra studenti liceali partecipanti a Gare matematiche, qualcuno disse che non poteva rispondere a un problema dove entravano le quarte potenze perché « non aveva studiato le quarte potenze» o a un problema dove entrava una corona circolare perché « non aveva studiato le corone circolari» e via di questo passo, come se ogni particolare caso o sottocaso richiedesse una" teoria" ad hoc.
La necessità di procedere passo passo, e quindi di individuare preventivamente da quale passo si possa incominciare, è naturalmente maggiore in problemi effettivi che in problemi di tipo scolastico,. tuttavia non è affatto infrequente che, anche in questi, uno si trovi in difficoltà per non saper da dove cominciare di fronte a un complesso magari intricato di dati e questioni. Bisogna pensare dove siamo (in fatto di conoscenze iniziali), dove dobbiamo arrivare (per rispondere alle questioni richieste), e come ci si può avvicinare. Senza questa preoccupazione, capita spesso che uno applichi e maneggi formule - magari correttamente, ma senza criterio - in modo da andare a zonzo senza bussola e ritrovarsi spesso, infine, al punto di partenza.

 

Riportiamo ancora due interessanti articoli sempre di Bruno de Finetti.

MANIFESTO DI BATTAGLIA CONTRO IL CULTO DELL'IMBECILLITÀ (pdf)
Homo Faber, anno XVI, n. 160 (1965).

UNA VISIONE TECNOLOGICA ANZICHE’  ... VUOTOLOGICA (pdf)
Periodico di Matematiche, n.3-4, 1978, p.59-70

Una relazione tenuta da Giorello al seminario Bruno de Finetti nella cultura del '900, 13 giugno 2006, Aula Magna dell'Università degli Studi di Roma "La Sapienza". Ci aiuta a capire il pensiero di de Finetti.
“Inventare la verità”:Bruno de Finetti e la filosofia di Giulio Giorello (pdf)

 

In rete e in libreria

Bruno de Finetti, Filosofia della probabilità, il Saggiatore, 1995

Bruno de Finetti, Scritti (1926 - 1930) vol. I, Cedam, 1981

Bruno de Finetti, Scritti (1931 - 1936) vol. II, Pitagora, 1991 

Fulvia de Finetti e Luca Nicotra, Bruno De Finetti. Un matematico scomodo, Belforte Salomone, 2008

Lettera Matematica PRISTEM 61
Un ritratto di Bruno de Finetti, a cura di Gian Italo Bischi.

Il sito dedicato a de Finetti:
http://www.brunodefinetti.it/

De Finetti sulla Wikipedia:
http://it.wikipedia.org/wiki/Bruno_de_Finetti


Note:

1. Non si tratta di una "scoperta" in senso assoluto: si trova segnalata, come via significativa
e poca nota, dal  Polya. Il merito comunque sta nell'avervi pensato (specie data la poca  familiarità dei più con la visione spaziale, anche per colpa della quasi esclusiva insistenza dei programmi scolastici sulla geometria piana) .
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2. È utile riflettere sempre su "estensioni d'interpretazione" come questa: spesso sono valide (ma occorre accertarlo caso per caso). La regola si può esprimere mediante una formula se si conviene di indicare con una lettera (e sia, come d'uso, n) il numero dei numeri da sommare: la somma dei numeri da  l ad n vale  ½ n (n + l). Per considerazioni sull'utilità di tali metodi riprenderemo tale cenno in seguito (n. 9 e n. 10). [torna su]

3. In queste condizioni, due figure (piane o solide, non importa) si dicono tra loro simili. Di solito s'insiste, nella scuola, sul caso più semplice (e certamente importante) di triangoli simili, ma è essenziale aver presente il significato generale del termine (cfr. anche n. 13, similitudine), e non credere che si tratti di una nozione particolare riguardante il solo caso dei triangoli. Cfr. (EP, l). [torna su]

4. In formule, le figg. 6 e 7 illustrano (come del resto è abituale) il significato geometrico dell'espressione del “quadrato e cubo di un binomio”. Con il lato l + a (secondo ci conveniva indicarlo, per parlare di a come della “percentuale di aumento”) le formule sono:
(l + a)2= (l + a) (l + a) = l + 2 a + a2 =  quadrato grande + due rettangoli + + quadrato piccolo;
(l + a)3= l + 3 a + 3 a2 + a3 = cubo grande + tre piastre + tre sbarrette +    + cubetto piccolo.
Stesso significato se invece indichiamo con a e b la lunghezza delle due parti del lato; allora è
                (a + b)2= a2+ 2 a b + b2,
                (a + b)3= a3+ 3 a2 b + 3 a b2+ b3.
Guardando la figura, e, per il cubo, meglio ancora costruendolo (p. es. ritagliandolo da una patata), ci si potrà render conto del significato di tali formule. Ricordandolo, sarà possibile capirle anche se avesse a capitarci di doverle studiare secondo testi che non ne dànno l'interpretazione geometrica. [torna su]

5. Dovrebbe essere superfluo rammentare in che modo si può eseguire la suddivisione di un segmento in parti uguali o in date proporzioni (come serviva per le suddivisioni del precedente problema e rispettivamente per quello del n. 12); del metodo (Teorema di Ta1ete) parleremo tuttavia nel n. 15 per altri motivi che daranno modo di discutere circa la preferenza da dare ad esso o al metodo di calcolare e misurare le lunghezze [torna su]