Somme da manicomio

di Piergiorgio Odifreddi

Il recente romanzo Il matematico indiano di David Leavitt (Mondadori, 2008) ripercorre in chiave letteraria la straordinaria storia di Srinavasa Ramanujan, e in particolare il suo esplosivo quinquennio a Cambridge, detonato da una famosa lettera del 16 gennaio 1913 in cui egli annunciava fra l'altro a Godfrey Hardy: «Ho ottenuto teoremi sulle serie divergenti, che permettono di calcolarne valori convergenti. Ad esempio, 1/4 per la serie 1-2+3-4+… e -1/12 per la serie 1+2+3+4+…».

Hardy gli rispose l'8 febbraio, dicendo che «tutto dipende dal rigore dei metodi di dimostrazione che lei ha usato». Una risposta più generosa di quella ottenuta dal professor Hill di Londra, che il 7 dicembre 1912 aveva scritto a Ramanujan: «Lei è evidentemente un uomo con gusto per la matematica e qualche abilità, ma ha imboccato una strada sbagliata. E non capisce le precauzioni che bisogna prendere con le serie divergenti, altrimenti non avrebbe ottenuto risultati sbagliati come quelli che mi ha mandato, quali il fatto che la somma di 1+2+3+4+… sarebbe -1/12».

In realtà Ramanujan aveva riscoperto da solo sia la funzione eta di Dirichlet che la funzione zeta di Riemann, e i due risultati citati altro non erano se non i loro valori per l'argomento -1: la zeta è infatti definita, sull'argomento z, come la somma degli inversi delle potenze z-esime degli interi, e la eta come la loro somma alterna. Per inciso, le due funzioni sono legate una all'altra da una semplice relazione, che nel caso in questione si riduce all'osservazione che 1-2+3-4+… è uguale a 1+2+3+4+… meno 4 volte 1+2+3+4+… (perchè i termini dispari rimangono immutati, e quelli pari vengono cambiati di segno: ad esempio, 2-4=-2 e 4-8=-4). Dunque 1-2+3-4+… è uguale a meno 3 volte 1+2+3+4+… e basta calcolare il valore di una delle due serie per ottenere quello dell'altra.

Nei casi più semplici, per assegnare un valore a una serie divergente si può usare la somma di Cesàro: prendere il limite non delle somme parziali, che esiste soltanto per le serie convergenti, ma delle loro medie aritmetiche. Ad esempio, nel caso della serie 1-1+1-1+… le somme parziali sono alternativamente 1 e 0 e non convergono, ma le loro medie 1, 1/2, 2/3, 1/2, 3/5, 1/2 … convergono a 1/2. Incidentalmente, la serie in questione è il valore della funzione eta per l'argomento 0, mentre il valore della funzione zeta per lo stesso argomento è 1+1+1+1+… e la sua somma è -1 (perchè, come sopra, 1-1+1-1+… è uguale a 1+1+1+1+… meno 2 volte 1+1+1+1+…, cioè a meno 1+1+1+1+…).

Purtroppo la somma di Cesàro non esiste per la serie 1-2+3-4+… perchè non convergono non solo le somme parziali (1, -1, 2, -2, …), ma neppure le loro medie (1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, …). Esiste però la più generale somma di Hölder, che consiste nell'iterare il procedimento a volontà: in questo caso basta considerare le medie delle medie, che convergono a 1/4 (perchè le medie dispari convergono a 1/2 e quelle pari a 0). Si ottiene cosí il primo risultato della lettera di Ramanujan, e per la relazione notata sopra il secondo si ottiene dividendo 1/4 per -3.

Esistono vari altri metodi per arrivare agli stessi risultati, dalla somma di Abel alla trasformata di Eulero. Uno particolarmente interessante consiste nel ricordare che il prodotto di Cauchy di due serie si ottiene costruendo la matrice doppiamente infinita di tutti i prodotti dei loro termini, e considerando la serie che ha come termini le somme delle diagonali finite: allora 1-2+3-4+… è il quadrato di 1-1+1-1+… e dunque la sua somma è il quadrato di 1/2, cioè appunto 1/4.

Nella sua risposta del 27 febbraio 1913 a Hardy, Ramanujan scriveva che «a dire che 1+2+3+4+… è uguale a -1/12 si rischia di essere mandati direttamente in manicomio», ma se cosí fosse dovrebbero andarci in molti. E non solo fra i matematici: a partire da Eulero, che fu il primo a effettuare questi calcoli nel 1749, con buona pace del professor Hill. Ma anche fra i fisici, che usano il valore di 1+2+3+4+… per calcolare l'energia del vuoto nella teoria bosonica delle stringhe, ottenendo come risultato -1/24 (per la costante di Planck), e ne deducono che sono necessarie esattamente 26 dimensioni perchè la teoria funzioni. Ovvero, è il mondo a essere pazzo, e i matematici e i fisici si limitano ad accorgersene.