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Paradossi dell’area scientifica.

M.C. Escher. Relatività. Xilografia.

Correva l’anno 1905 e Albert Einstein formulò la sua teoria della relatività speciale, destinata a rivoluzionare profondamente tutta la fisica moderna. Le sue teorie coinvolgevano anche il tempo, che perdeva la sua unicità ed era posto in relazione al sistema di riferimento. Lo scorrere del tempo individuale di un osservatore, misurato dal suo orologio, appare, agli altri osservatori tanto più lento tanto più egli si muove ad una velocità elevata rispetto ad essi. Già durante la formulazione originaria della teoria, Einstein, si accorse delle conseguenze apparentemente paradossali cui poteva condurre questa scoperta.
Ecco la sua formulazione originaria: "Se si trovano in A due orologi sincroni e si muove uno di essi con velocità costante ? su una curva chiusa, finché ritorna in A dopo t secondi, quest’ultimo orologio al suo arrivo in A si trova, rispetto all’orologio rimasto immobile, in ritardo di t/2(v/c)^2 secondi. Dunque, un orologio che si trovi all’equatore deve procedere un po’ più lentamente che un orologio uguale e posto nelle stesse condizioni, che si trovi al polo."
Per ottenere il famoso paradosso basta sostituire gli orologi con due gemelli, azione fatta da P. Langevin nel 1911 con notevole successo mediatico. In pratica il problema era posto in questi termini: due gemelli sono sulla Terra, uno si imbarca e compie un lungo viaggio ad altissima velocità su un’astronave, l’altro rimane sulla Terra e continua a svolgere un’esistenza normale. Al ritorno, il gemello che ha viaggiato dovrebbe trovare il fratello più vecchio di lui. Se quantifichiamo tempo e velocità potremo ottenere un riscontro materiale usando le formule di Einstein.
Se la velocità a cui viaggia il fratello fosse quattro quinti di quella della luce il suo viaggio dovrebbe durare all’incirca un terzo in meno dell’attesa sul fratello. Se il viaggio durasse quindici anni, il viaggiatore troverebbe il fratello cinque anni più vecchio di lui.
Il paradosso è dovuto ad un problema tecnico. La situazione è simmetrica per i due gemelli infatti anche quello che è stato a casa dovrebbe trovare il fratello più vecchio di cinque anni, per di più i due osservatori non sono inerziali fra loro cioè osserveranno accelerazioni e decelerazioni uno nei confronti dell’altro; si troveranno su due sistemi di riferimento non confrontabili.
Ci sono poi figure che mostrano caratteristiche paradossali.
In particolare se si congiungono i due estremi di una striscia di carta si ottiene un cilindro a due facce, una esterna ed una interna, e due bordi costituiti da due cerchi, come nella figura qui a sinistra. Se poi congiungiamo i due lati lunghi di un cilindro possiamo ottenere un toro con due superfici, una interna e una esterna ma nessun bordo, come quello qui sopra.
Nel 1858 Augustus Möbius scoprì che era possibile ottenere una superficie paradossale: l’anello di Möbius. Questa superficie è ottenuta congiungendo i due lati corti di una striscia dopo aver impresso ad uno dei due una rotazione di 180 gradi. Essa ha proprietà sorprendenti: una sola faccia e un solo bordo, e la si può percorrere interamente senza doverne mai attraversare il bordo. Altra peculiarità di questa particolare figura è quella per cui se si fa scorrere su di essa un cerchio che ruota parallelamente alla superficie in senso orario, alla fine di un percorso completo, il cerchio ruoterà in senso antiorario; sarà necessario fare compiere un altro giro completo al cerchio affinché torni a ruotare in senso orario. Con un altro esempio si può dire che un guanto per mano destra, dopo un giro sarà trasformato in un guanto per mano sinistra. Infine, se si taglia a metà la superficie parallelamente ai lati, non se ne ottengono due dello stesso tipo ma una di lunghezza doppia, non più però una striscia di Möbius ma una con due lati e due facce.

Bottiglia di Klein

Nel 1882 Felix Klein immaginò un’altra superficie paradossale, ormai passata alla storia come bottiglia di Klein. E’ un analogo del toro nello stesso modo in cui la striscia di Möbius lo è del cilindro, in particolare non ha né esterno né interno.
Interessanti paradossi sono stati ottenuti analizzando la definizione di curva data da Camille Jordan nel 1887: “Una curva è l’insieme dei punti le cui coordinate sono immagini di due funzioni reali continue di un paramentro in un certo intervallo”. Forte della sua definizione egli enunciò un interessante teorema: una curva chiusa e non autointersecantesi divide il piano in due parti connesse, una interna e una esterna.
Nel 1890 Peano scoprì che la definizione di Jordan è paradossale, infatti, una curva può riempire un intero quadrato. Il paradosso sta nel fatto che il quadrato è una figura bidimensionale, una curva è unidimensionale (questa caratteristica era già stata asserita da Euclide che parlava di lunghezza senza ampiezza). Un esempio, più semplice, analogo a quello della curva di Peano è stato dato nel 1891 da David Hilbert. Si divide un quadrato in quattro parti, che vengono numerate. Ciascuna corrisponde ad un quarto del segmento di partenza; si ripete il procedimento per ciascun quarto e si numerano i sedici quadrati così ottenuti. Poiché ciascuno corrisponde a un sedicesimo del segmento di partenza, la numerazione dovrà essere consecutiva, nel senso che si può solo passare da un quadratino ad uno adiacente ad esso. Per ottenere un’approssimazione ogni volta più fedele alla curva proposta da Hilbert è sufficiente ripetere il processo all’infinito.
Sebbene le problematiche sollevate da Peano e Hilbert siano state risolte dando definizioni più complicate, altri trovarono curve paradossali, seppure in un senso più debole delle precedenti.
Albert Koch ne propose una nel 1906.
Egli considerò un triangolo equilatero, e cominciò a dividere ciascuno dei tre lati in tre parti uguali, ripetendo il processo all’infinito.
Il paradosso, questa volta, sta nel fatto che è implicito nella nozione di curva chiusa che essa debba avere una lunghezza finita. Più precisamente, se si attribuisce dimensione 1 ad un insieme di punti limitato quando esso ha una lunghezza finita non nulla e dimensione 2 quando esso ha un’area finita non nulla, la curva di Koch sembra definire un insieme con dimensione maggiore di 1 ma minore di 2. Il che sembra contraddire la natura stessa di dimensione.
A causa della simmetrica ripetitività del procedimento che lo definisce, il bordo della figura di Koch ha la proprietà di essere autosimile: se si trasformano due qualunque dei segmenti delle varie approssimazioni, per esempio un lato del triangolo di partenza e un lato dei triangolino ottenuti al primo passo, si ottiene sempre la stessa curva al limite, soltanto in scala diversa. E’ infinita, quindi, non solo la curva ma anche la distanza fra due suoi punti qualunque.
Da questa conclusione deriva la impossibilità di misurare le curve nel modo solito; è nel 1918 che Felix Haussdorff propose di misurarne almeno il grado di autosomiglianza estendendo la nozione di dimensione il questo modo: il segmento è una figura autosimile unidimensionale, ottenibile unendo due parti di grandezza pari a un mezzo; analogamente il quadrato è una figura autosimile bidimensionale, ottenibile ponendo insieme quattro parti di grandezza un mezzo; il cubo, in ultimo, è una figura autosimile tridimensionale, che si può ottenere ponendo insieme otto parti di grandezza un mezzo. In generale si può allora dire che una figura autosimile di dimensione d è ciò che si può ottenere ponendo insieme n^d parti di grandezza 1/n. In particolare la curva di Koch si ottiene ponendo insieme 4 parti di grandezza 1/3 poiché si divide un segmento in tre parti e si sostituisce quella centrale con due uguali. Ciò significa che la sua dimensione d è tale che 4=3^d, cioè

d= (log 4)/(log 3) º1,26

Il paradosso di Koch venne risolto introducendo un nuovo tipo di curve, chiamate frattali. Si tratta di curve quindi che hanno dimensione di Haussdorff che è maggiore di 1. Il numero di queste curve, contrariamente all’opinione comune, è molto diffuso. E’ sufficiente sapere infatti che per ogni d Î R compreso tra 1 e 2 esiste la curva frattale corrispondente.
Il campo dei frattali è tutt’ora uno dei più affascinanti, essi sono stati studiati da molti matematici, i più importanti sono sicuramente Mandelbrot e Julia, scopritori degli omonimi affascinanti insiemi.
In queste suggesive immagini possiamo ammirarne alcuni ingrandimenti.
La colorazione è frutto di un abbinamento prestabilito: a punti con uguale proprietà corrisponde uguale intensità di colore, mentre la scelta è del tutto casuale.
Paradossi simili a questo per grandezze che sono frazionarie esistono anche in fisica, esempio ne siano la carica frazionaria del quark e lo spin frazionario dei fermioni.

Esempi dall’insieme di Julia
Esempi dall’insieme di Mandelbrot