Progetto Polymath - I Paradossi

 

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Parte Seconda

Matematica

Nel V secolo a.C. visse uno dei più grandi filosofi Greci: Zenone di Elea, seguace della scuola di Parmenide. Con le sue argomentazioni (non a caso Aristotele lo riconosce come padre della dialettica), egli si sforzò di sostenere la filosofia del suo maestro contro gli attacchi che erano mossi dai filosofi Ionici, che avevano in Eraclito il capo-scuola, o dei Pitagorici.
Egli soffermò la sua attenzione su molti fenomeni fisici ricavandone più di quaranta paradossi. Particolarmente interessanti e di successo furono quelli che riguardavano il movimento. Fu infatti uno di questi che regalò fama imperitura al “Pié veloce Achille” e alla “Tartaruga zampa lenta”.
In una competizione fra i due, se Achille concede un qualunque vantaggio alla Tartaruga, secondo il paradosso, non sarebbe più stato in grado di raggiungerla perché, mentre egli avrebbe colmato la distanza che separava i due, la Tartaruga avrebbe compiuto un piccolo pezzo in più di strada. Procedendo così all’infinito i due non si sarebbero mai raggiunti.
Altri paradossi furono definiti da Zenone per chiarire ulteriormente il precedente, Essi dimostravano l’impossibilità sia di partire che di arrivare. In particolare quello del “Regresso all’infinito” affermava che per percorrere un dato spazio tra A e B di lunghezza unitaria è prima necessario raggiungere il punto medio C fra essi. Analogamente tra C e B, sarà necessario prima raggiungere il punto D, a metà tra i due e ad ¼ da B nei confronti di A. Possiamo scrivere quindi la successione di istanti sotto le vesti di una serie, studiata per la prima volta da Gregorio da San Vincenzo nel Opus geometricum del 1647:

E’ immediato osservare che è sempre possibile aggiungere un ulteriore termine a questa serie e più procediamo più ci accorgiamo che si tratta di una serie convergente infatti le somme parziali si avvicineranno sempre di più a 1, appunto la primitiva distanza tra A e B.
Proviamo quindi ad utilizzare le serie per risolvere il nostro primo paradosso e capiremo a che distanza dalla partenza avverrà il sorpasso di Achille nei confronti della Tartaruga.
Anche in questo caso siamo di fronte ad una serie infinita che ammette un limite.
Si supponga che Achille corra ad una velocità dieci volte maggiore di quella della tartaruga (1 metro al secondo contro 0,1 metro al secondo). Alla tartaruga è concesso un vantaggio di 100 metri su una distanza totale di 1 km.
Possiamo quindi approssimare, tenendo conto del rapporto delle velocità ipotizzate, la gara alla serie:

Essa quindi si approssimerà a 111 metri e 1/9 così esattamente dopo questa distanza avverrà il tanto sospirato sorpasso e il paradosso è risolto.
Su questo paradosso nota il filosofo inglese Bertrand Russell nel saggio Il problema dell’infinito considerato storicamente: “ Si dimostra che, se Achille raggiungerà mai la tartaruga, questo dovrà accadere dopo che sia trascorso un numero infinito di istanti dal momento della sua partenza. E questo, di fatto, è vero; ma non è vero che un numero infinito di istanti dia origine ad un tempo infinitamente lungo, e quindi, non si può affatto concludere che Achille non raggiungerà mai la tartaruga.”

Latino

Il metodo di Zenone venne poi ripreso nei momenti più diversi e dai personaggi più disparati.
Nel bel mezzo delle sue Confessiones, sant’Agostino utilizza il metodo zenoniano per argomentare che un secolo non è presente, perché stiamo vivendo in uno solo dei suoi anni; analogamente un anno non è presente perché siamo vivendo uno solo dei suoi mesi e via dicendo. Egli dedusse quindi che passato e futuro non esistono, e c’è solo il presente, che prende tre forme differenti: Presente del passato, Presente del presente e Presente del futuro. Infine il grande santo osserva che il presente del passato vive nella memoria e il presente del futuro nell’attesa.

Filosofia

Il metodo zenoniano diventa, con il passare del tempo, molto diffuso; perfino nella Critica della ragion pura di Kant è possibile riscontrarne tracce. In particolare la seconda antinomia della ragion pura mostra che il mondo non può essere né costituito di elementi atomici, né infinitamente divisibile. Da una parte la materia ha estensione spaziale ed è quindi soggetta all’infinita divisibilità dello spazio stesso, dall’altra l’infinita divisibilità porta ad un regresso all’infinito, al termine del quale tutto si disgrega e perde di significato.
Il grande filosofo ritenne di poter ricavare da questa antinomia che la nozione di mondo è illegittima, infatti l’intelletto ne percepisce la finitezza come una limitazione inadeguata, tuttavia non può concepire l’infinitezza in maniera comprensibile.
Un altro filosofo tenne in conto i paradossi zenoniani, si tratta di Henri Bergson. Egli, particolarmente interessato alla continuità dello spazio e del tempo, criticò la formalizzazione matematica praticata su di essi basata sul concetto di punto. In particolare egli riteneva che l’infinita divisibilità fosse peculiare dello spazio ma non del tempo infatti egli osservava che si può dividere un oggetto ma non un atto.
In particolare nel “Saggio sui dati immediati della conoscenza” del 1910 Bergson ridusse il paradosso di Achille e la tartaruga alla confusione tra movimento e spazio percorso.
Egli assegnava agli argomenti di Zenone un ruolo storico importante, per aver esposto l’inconsistenza della nozione matematica di moto e, più in generale, di cambiamento. Egli rafforzò così la sua concezione intuitiva di cambiamento, che considerava come una caratteristica fondante della realtà. In breve egli riteneva che il paradosso di Zenone costituisse sì una riduzione all’assurdo, ma non dello spazio e del tempo fisici, bensì della loro rappresentazione concettuale. Egli concluse infatti asserendo che “la vita se la ride dei veti logici” infatti Achille sorpassa la tartaruga senza problemi.

Letteratura

Nel 1895 uscì un divertente saggio ad opera di Lewis Carroll dal titolo “Ciò che la tartaruga disse ad Achille”. In queste pagine lo scrittore inglese immaginò di cogliere le parole che si scambiarono i due contendenti alla fine della gara.
Fra battute scherzose e immaginando già personaggi e matematici futuri la tartaruga dimostra ad Achille, facendo uso dei metodi eleatici che non sono possibili i sillogismi, in altre parole che non è possibile partire da alcune premesse e dedurne immediatamente altre in mancanza di una regola precisa che ci autorizzi a farlo. La novità dell’argomento di Carroll sta nel fatto che lo scrittore mostra in maniera efficace la distinzione tra implicazione linguistica e deduzione metalinguistica. Detto più semplicemente, l’argomento mostrava per la prima volta la distinzione tra linguaggio e metalinguaggio, conquista assodata della logica moderna.
Prima di Carroll, fu un altro grande della letteratura inglese che utilizzò un apparente paradosso per dimostrare che è impossibile scrivere la propria autobiografia completa. Si tratta di Laurence Sterne nell’opera Vita e Opinioni di Tristram Shandy, gentiluomo. Il paradosso è solo apparente, in realtà è solo una tristissima constatazione della caducità della vita. Sarebbe invece paradossale una vita infinita, perché essa permetterebbe non soltanto la propria completa autobiografia nei minimi particolari ma anche di fare molte altre cose.
Jorge Luis Borges ha tratto dai paradossi di Zenone, sia le basi del suo pensiero su temi quali il tempo, l’infinito, la realtà, che lo spunto per la costruzione di alcune inquietanti situazioni.
Egli dedicò a questi paradossi diversi interessanti saggi, nei quali asserì che questa corsa era la prova definitiva che smaschera il carattere allucinatorio del mondo.
Ecco un brano tratto da La perpetua corsa di Achille e la tartaruga:

Noi (la indivisa totalità che opera in noi) abbiamo sognato il mondo. Lo abbiamo sognato resistente, misterioso, visibile, ubiquo nello spazio e fermo nel tempo; ma abbiamo ammesso nella sua architettura tenui interstizi di assurdità, per sapere che è finto.

Due sono i brani inquietanti che potremmo vedere ad esemplificazione di questo; uno è tratto da La morte e la bussola, l’altro da La scrittura del Dio.
Nel primo un detective riesce a prevedere l’ultimo delitto di una serie, ma recatosi sul posto scopre che, in realtà era una trappola per lui.
Nel secondo, ancora più angoscioso, la realtà è descritta come un insieme di sogni, l’uno interno all’altro. E più ci si sveglia più si rischia di essere soffocati.
La strada che dovrai percorrere all’indietro è interminabile e morrai prima di esserti veramente destato.