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Gli sviluppi… in serie!

Verso la fine del Seicento si assistette ad un ulteriore passo avanti grazie allo scozzese James Gregory, scomparso a soli trentasei anni nel 1675. Egli, utilizzando i risultati di Cavalieri, trovò una soluzione estremamente elegante del calcolo della arcotangenti che si rivelò feconda di implicazioni per il calcolo di p. In una lettera del 15 febbraio 1671 Gregory menzionò la serie:

Tramite di essa si può facilmente ottenere una formula di approssimazione per p se solo si considera x = 1, ovvero . Infatti, l’arco la cui tangente è pari a 1 vale 45° e in radianti:

Purtroppo di Gregory non ci è rimasto nessuno scritto che provi un suo tentativo in questa direzione. Visti i suoi studi sulla natura di p questo può lasciare perplessi ma si può anche tentare di supporre che, rendendosi conto dell’estrema lentezza di convergenza della serie – cosa che può essere sperimentata personalmente con l’utilizzo dell’applet – abbia preferito tralasciare la cosa.

Numero di termini:
Pi:
Pi reale:

Qualche anno più tardi, però, fu Leibniz a riscoprire sia la serie sia il suo caso particolare rendendo pubblici i suoi risultati nel 1682. Per questo la serie è nota come serie di Gregory-Leibniz.
Nel giro di poco tempo la ricerca delle cifre decimali di p fece un brusco salto in avanti scatenando una sorta di competizione tra i matematici di fine Seicento: l’obiettivo era quello di calcolare sempre più cifre e ciò stimolò la ricerca di formule di approssimazione sempre più efficaci tali, cioè, da convergere con la massima rapidità.
Anche Newton, durante il suo cosiddetto annus mirabilis passato a Woolsthorpe per sfuggire alla peste di Londra del 1655, passò molte ore assorbito dal problema tanto che ebbe a scrivere successivamente: “mi vergogno a dirle quante cifre calcolai, non avendo altro da fare a quel tempo”.

Chi più di tutti, però, fu fecondo di risultati su ogni branca della matematica fino ad allora conosciuta fu il matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783). La sua opera monumentale, frutto di una vita di studi condotti anche quando ormai aveva perso la vista da entrambi gli occhi, nacque da una produzione annuale media di ottocento pagine, tanto che ci è rimasta una bibliografia di 886 titoli nonché migliaia di lettere testimoni di una corrispondenza fittissima con i più famosi matematici del tempo.

Il suo contributo per il calcolo di p fu notevolissimo.
Ecco alcune delle serie che riuscì a scoprire, tutte più efficaci di quella di Gregory ( tanto per avere un’idea egli riusciva a calcolare 20 decimali in una sola ora).

Da quel momento si scatenò una vera e propria caccia ai decimali che durò per tutto il secolo seguente e che culminò nelle 707 cifre decimali calcolate da William Shanks nel 1873. Avremo modo di riparlarne nel paragrafo conclusivo.

Inoltre fu proprio grazie a lui che si diffuse l’uso di utilizzare il simbolo p per denotare il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro.
Uno dei primi ad usarlo era stato William Oughtred nel 1652 ma lui definiva il rapporto tra circonferenza e diametro come p /d, per cui p era utilizzato come iniziale di periferia.
Nel 1706 il simbolo venne utilizzato per denotare l’intero rapporto nella Synopsis palmariorum matheseos del matematico William Jones ma l’opera non ebbe molta influenza negli ambienti matematici. Una trentina d’anni dopo Euler stesso - forse senza essere al corrente dell’uso di p da parte di Jones - iniziò ad usare il simbolo all’interno dei propri scritti; ancora nel 1734 utilizzava la lettera p ma già nel 1736, negli articoli e nella sua corrispondenza privata, iniziò ad usare regolarmente p per denotare il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro. Il suo esempio fu contagioso e alla fine del secolo quasi tutti i matematici europei avevano adottato la stessa simbologia.

Euler lo ritroveremo anche più avanti a proposito delle ipotesi che si stavano facendo sempre più pressanti sulla natura intrinseca di un numero che sembrava sfuggire perennemente dalle mani dei matematici.