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Aghi e freccette per catturare p.

Gli esordi della teoria della probabilità risalgono al Liber de ludo aleae di Gerolamo Cardano (1501-1576), scritto nel 1526 ma pubblicato solo nel 1663. Cardano, oltre a essere un famoso matematico, fisico e ingegnere era anche un appassionato giocatore e le sue teorie furono applicate esclusivamente ai giochi d’azzardo fino all’avvento, nel XIX sec. della teoria cinetica dei gas.

Nel 1777 George Louis Leclerc, conte di Buffon (1707-1788) propose, risolvendolo, un curioso problema che faceva intervenire p in un contesto originale, aprendo così la strada per una nuova branca della teoria della probabilità in cui i problemi venivano analizzati alla luce di considerazioni esclusivamente geometriche.

Egli suppose di considerare una vasta area piana sulla quale erano state tracciate linee rette parallele a distanza d una dall’altra; immaginava, poi, di gettare a caso su di essa un sottile ago di lunghezza L < d. Le cose che potevano accadere erano due: o l’ago incontrava una delle linee oppure cadeva tra una linea e l’altra. Qual era la probabilità che l’ago intersecasse una delle linee?

Assumiamo che “a caso” significhi che ogni orientazione dell’ago e ogni posizione del suo centro siano due variabili indipendenti e equiprobabili; sia f l’angolo che permetta di individuare l’orientazione dell’ago rispetto alle rette disegnate e sia x la distanza del centro dalla retta più vicina. Come risulta evidente dalla figura,

la condizione affinché l’ago incontri una retta sarà:

,

per cui il problema sarà risolto se si riuscirà a determinare la probabilità

.

A tal fine si può tentare un approccio geometrico, trasformando la definizione classica di probabilità - rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di quelli possibili - in un rapporto tra aree opportunamente individuate.
I limiti geometrici insiti nel problema sono:

;

utilizzando un grafico (f; x) questi permettono di individuare un rettangolo la cui area, pensata come insieme di punti, rappresenta la somma di tutte le possibili combinazioni tra l’orientazione dell’ago e la posizione del suo centro sul piano. Le combinazioni favorevoli, invece, saranno individuate dai punti le cui coordinate soddisfano la condizione sopra determinata, ovvero tutti quei punti che si trovano al di sotto della curva .

Detto questo, risulta evidente che:

,

ovvero:

,

o meglio:

.

Buffon stesso tentò una verifica sperimentale del suo risultato lanciando più volte un ago su una superficie rigata ma il problema e la sua soluzione furono persi di vista finché Pierre Simone Laplace (1749-1827) - uno dei più grandi matematici francesi di tutti i tempi - non se ne occupò, proponendone anche una generalizzazione (rigando la superficie con linee tra loro perpendicolari) e gettando le basi per quello che oggi è noto come metodo MonteCarlo.

Usando la terminologia moderna, si può descrivere il metodo come l’insieme di tutte quelle procedure di calcolo che, utilizzando sequenze di numeri casuali (numeri random) consentono, ad esempio,

· il calcolo di quantità
· la simulazione di fenomeni.

Con l’avvento dei calcolatori il metodo ha svelato le sue enormi potenzialità e la sua straordinaria efficacia, visto che diventa possibile generare e manipolare grandi quantità di dati in tempi brevi.

Il problema dell’ago di Buffon, agli occhi di un calcolatore, si presenta così:

1. creazione di una sequenza di numeri casuali (x) per simulare la posizione dell’ago e di una seconda sequenza random (f) per simulare l’orientazione;
2. controllo che ogni coppia verifichi o meno la disuguaglianza che caratterizza il problema;
3. conteggio delle volte in cui la condizione è soddisfatta, tenuto conto del numero di prove effettuate;
4. calcolo di p tramite la formula.

La bontà della strategia forse non emerge pienamente nel computo di p: l’applet seguente permette di farsi un’idea dell’ordine di grandezza dei lanci necessari per conoscere una manciata di decimali (Nota 1). Vale la pena provare…

Vi è anche una seconda possibilità di valutare i decimali: il metodo è lo stesso, cambia solo l’evento casuale che si utilizza. Questa volta immaginiamo di avere un bersaglio circolare di raggio r, inscritto in un quadrato di lato 2r ; si lanciano casualmente delle freccette contro il bersaglio e si valuta la probabilità che una di esse lo colpisca.
Analogamente a quanto visto prima si avrà:

da cui:

.

L’applet seguente simula la situazione descritta: perché non provare a confrontare le due strategie tra loro?


(Nota 1) Nel 1901 il matematico Mario Lazzarini riuscì a valutare p tramite 3408 lanci. La curiosità consiste nel risultato a cui giunse, cioè , proprio lo stesso valore di Tsu Ch’ung Chi.