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La natura di p.

Dopo migliaia di anni spesi nell’affannosa corsa alla determinazione dei decimali di p, con la segreta speranza di trovare una formula che permettesse di “imbrigliare” definitivamente un cavallo troppo bizzoso, era tempo di fermarsi a riflettere: qual era la vera natura di quel numero le cui cifre decimali sembravano sfuggire a qualsiasi regolarità?
Già da secoli i matematici erano convinti di trovarsi di fronte ad un numero non razionale ma la dimostrazione conclusiva arrivò solo nel 1761 grazie a Johann Heinrich Lambert (1728-1777). Il suo ragionamento si basava sul fatto che, se x è un numero razionale diverso da zero, tan x deve essere irrazionale e viceversa, cosa da lui dimostrata in precedenza.
Ma allora, visto che , segue che non può essere razionale, e così pure p.
Nel 1794 anche Adrien-Marie Legendre giunse alla stessa conclusione per altra via e provò anche la non razionalità di .
Vent’anni prima Euler aveva però suggerito che p fosse un numero trascendente e anche Legendre coltivò la stessa convinzione. Nei suoi Éléments de géométrie del 1794 si legge:

E’ probabile che il numero p non sia neppure contenuto nelle irrazionalità algebriche, ossia che non possa essere una radice di un’equazione algebrica con un numero finito di termini, i cui coefficienti siano razionali. Pare però molto difficile dimostrarlo in modo rigoroso.

Fu Joseph Liouville (1809-1882) a dimostrare l’esistenza di tal categoria di numeri, che furono chiamati trascendenti. Il primo esemplare di tal insieme fu trovato da Charles Hermite nel 1873: era il numero e, e tal scoperta non fece che infiammare nuovamente le discussioni sulla natura di p.
Finalmente, nel 1882, Ferdinand von Lindemann (1852-1939) riuscì ad arrivare a capo dell’enigma, sfruttando una delle più belle e significative equazioni di tutta la matematica che Euler aveva reso famosa.
Dapprima, infatti, egli mostrò che l’equazione non poteva avere soluzioni algebriche; poi utilizzò il risultato che già Euler aveva trovato, ossia

,

il che dimostrava che p non poteva essere algebrico. Questo straordinario risultato mise la parola “fine” al problema della quadratura del cerchio: era impossibile trovare il quadrato equivalente ad un cerchio dato tramite le regole classiche.

Ciononostante, p continuò imperterrito ad esercitare il suo fascino…