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…e provare con riga e compasso?

Le indicazioni lasciate sul Papiro Rhind si possono considerare come il primo tentativo di “quadrare il cerchio”, ovvero di trovare un quadrato di area equivalente a quella di un cerchio dato.

Il problema della quadratura del cerchio, intimamente connesso con p, appassionò i matematici antichi fin dal suo primo apparire in quella che fu la civiltà che, più di ogni altre, contribuì a definire i contorni della matematica come luogo privilegiato di esplorazione di idee e di significati: la civiltà greca. In essa, infatti, la matematica assunse da subito carattere originale rispetto alle tradizioni precedenti o contemporanee: non si trattò più di adattare la scienza dei numeri a esigenze pratiche di agrimensura o di costruzione di edifici, quanto piuttosto di esplorare questioni puramente teoriche che iniziarono a far apprezzare la sottile distinzione che intercorre tra l’accuratezza di un’approssimazione e l’esattezza di un concetto.

Di fatto non possediamo nessun documento matematico o scientifico fino al tempo di Platone, cioè fino al IV secolo a.C.; nondimeno, nella seconda metà del V secolo sono frequenti e unanimi le testimonianze relative ad un ristretto gruppo di matematici e filosofi, assetati di sapere e dotati di un audace spirito di libera indagine, che diedero significativi contributi a problemi che stanno alla base di gran parte degli sviluppi successivi della geometria.
Plutarco riferisce che Anassagora di Clazomene (morto nel 428 a.C.), mentre era in carcere per aver insegnato che il Sole non aveva natura divina in quanto masso infuocato non più grande del Peloponneso (questioni religiose e scienza non hanno mai avuto facile convivenza!), aveva sviluppato un metodo per disegnare un quadrato con la stessa area di un cerchio ma, purtroppo, non fornisce ulteriori dettagli.

Un po’ più giovane di Anassagora, Ippocrate di Chio – che la tradizione vuole mercante poco scaltro che, a seguito di un raggiro ben riuscito, si ritrova senza denaro ma con tanto tempo per dedicarsi alla geometria – riuscì invece a quadrare una “lunula”, una figura delimitata da due archi di cerchio di raggio diverso.

Egli utilizzò il seguente

teorema:

segmenti di cerchio simili stanno tra loro come le aree dei quadrati costruiti sulle loro basi,

da lui dimostrato tramite una reductio ad absurdum a partire dalla similitudine tra le aree di due cerchi e quelle dei due quadrati costruiti sui loro diametri.

· Per costruzione, i segmenti CE, EF e CF sono proporzionali tra loro in quanto
CO : CO’ = CF : CE = CF : EF
(i raggi delle circonferenze tratteggiate stanno tra loro come le rispettive corde);

· i quadrati costruiti su di essi hanno aree proporzionali a quelle dei rispettivi segmenti circolari;

· in virtù del teorema di Pitagora , la somma delle aree dei segmenti circolari costruiti sui cateti CE e EF è pari all’area del segmento circolare costruito sull’ipotenusa CF, ovvero:
t = u + w.

Ma allora l’area della lunula è

l = u + v + w = v + t,

risultando, così, equivalente a quella del triangolo CEF.
Il che risolve il problema di quadrare la lunula ma non quella di quadrare il cerchio!

Sembra che ad Ippocrate si debba il primo trattato di geometria della storia matematica, scritto più di un secolo prima dei celeberrimi Elementi di Euclide ma nessun frammento dell’opera è giunto fino a noi.
Proprio nell’opera euclidea saranno formalizzate le due regole che, da quel momento in poi, consentiranno di discriminare tra soluzioni “canoniche” e soluzioni “illegittime” di un problema geometrico:

1. la costruzione delle figure deve avvenire tramite l’utilizzo esclusivo di riga e compasso

2. deve essere possibile effettuarla attraverso un numero finito di passi.


Purtroppo questi limiti rendevano impossibile il problema della quadratura del cerchio (come anche quello della duplicazione del cubo o della trisezione dell’angolo, gli altri due problemi “classici” dell’antichità) ma ci vollero 2300 anni perché qualcuno riuscisse a dimostrarlo!
Ancora oggi, a dire il vero, i cosiddetti ciclometristi (gli appassionati della misurazione del cerchio) sono ostinatamente convinti – per quanto la cosa possa risultare incredibile – di aver trovato la soluzione del rompicapo e cercano di far proseliti professando, con fanatica passione, la loro “verità”.