Pi Day 14 marzo 2007

Intervento del prof. Paolo Valabrega

 

Immagine da http://highpi.4t.com/photo4.html

 

PI DAY - Ricordiamo il prossimo appuntamento, il 14 marzo 2008, e pubblichiamo l’intervento del prof. Paolo Valabrega, del Politecnico di Torino, al Pi Day 2007.


Il π è forse il numero più noto ma meno conosciuto. Fin dalle scuole medie si sa che vale 3,14 (circa). Poi nelle scuole superiori si spiega che è il rapporto fra la lunghezza della circonferenza e la lunghezza del suo diametro, qualunque sia il raggio della circonferenza, ovvero che è il rapporto fra l’area del cerchio e il quadrato del raggio. Io ricordo questo dai miei lontani anni del liceo classico, e ricordo anche di esserne rimasto molto insoddisfatto, e di avere conservato l’insoddisfazione fino agli anni dell’Università e, in certo senso, fino ad oggi. Vorrei spiegare perché.
In realtà le definizioni di lunghezza della circonferenza e di area del cerchio, senza fare uso degli integrali, non sono per nulla banali. Nei trattati per le scuole secondarie superiori si trovano varie considerazioni:

  1. RETTIFICAZIONE (mediante un filo inestendibile). La lunghezza della circonferenza si ottiene rettificandola, cioé distendendola (chissà come) su una retta, magari facendo riferimento a un filo di ferro inestendibile (la fisica avrebbe da dire qualcosa su questo filo)
  2. Immagine da http://oldweb.cecm.sfu.ca/pi/pideyves.gif
    LUNGHEZZA COME ELEMENTO SEPARATORE FRA I PERIMETRI DEI POLIGONI REGOLARI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI. La lunghezza della circonferenza si ottiene considerando i poligoni regolari di n lati inscritti e quelli circoscritti, per ogni intero n maggiore o eguale e 3, e si dice che i loro perimetri formano due classi separate e contigue di numeri reali. Poiché le classi separate e contigue di numeri reali ammettono sempre un elemento di separazione, esiste uno e un solo numero c che separa tali perimetri e che si chiama lunghezza della circonferenza. Qualche testo considera addirittura poligoni convessi qualsiasi inscritti e circoscritti, ovvero contenuti nella (o contenenti la) circonferenza.
  3. PROPORZIONALITA’ CIRCONFERENZA-DIAMETRO MEDIANTE π. Usando poi sempre i poligoni inscritti e circoscritti, si fa vedere la proporzionalità fra lunghezza della circonferenza e raggio (o diametro).
  4. CLASSI SEPARATE E CONTIGUE DI NUMERI REALI. Quanto alle classi separate e contigue, qualche testo spiega che cosa sono
    in generale i numeri reali, con le sezioni di Dedekind, qualche altro si limita a cercare di far vedere che i perimetri dei poligoni inscritti e di quelli circoscritti sono effettivamente separati (gli uni sempre minori degli altri), e magari anche contigui, facendo vedere che si possono trovare poligoni con perimetri vicini quanto si vuole.
  5. AREA DEL CERCHIO E NUMERO ?. L’area del cerchio è definita in modo analogo, mediante le aree dei poligoni regolari inscritti e circoscritti, che sono due classi separate e contigue di numeri reali.

Le affermazioni precedenti, che vengono in genere presentate come semplici ed evidenti, sollevano alcune questioni, che cercherò di elencare.

  1. CLASSI SEPARATE E CONTIGUE DI NUMERI REALI ED ELEMENTO SEPARATORE UNICO. Le classi separate e contigue ammettono un elemento di separazione. Sotto questa affermazione c’è la teoria dei numeri reali, che non sempre vengono insegnati nelle scuole secondarie italiane e nemmeno nei corsi di laurea in matematica delle nostre Università, salvo cavarsela con un elenco degli assiomi che li caratterizzano (R è un campo numerico dotato di somma e prodotto, ogni elemento non nullo ha inverso, i suoi elementi sono ordinati, esiste l’estremo superiore di ogni insieme superiormente limitato, vale l’assioma di Archimede). Quand’anche si introducano le sezioni di Dedekind (o loro varianti), i punti più delicati non sempre vengono approfonditi. E senza la teoria dei numeri reali il numero π non può che essere misterioso. E’ soprattutto indispensabile conoscere e capire il cosiddetto principio di completezza, che si può enunciare in vari modi equivalenti:
    a- ogni insieme superiormente limitato ammette estremo superiore
    b- ogni insieme inferiormente limitato ammette estremo inferiore
    c- classi separate e contigue ammettono uno e un solo elemento di separazione
    d- l’intersezione di intervalli incapsulati non è mai vuota.
    Il numero π si può quindi presentare come un quoziente, fra l’estremo superiore dei perimetri dei poligoni regolari inscritti e il diametro, ovvero fra l’estremo inferiore dei perimetri dei poligoni circoscritti e il diametro, ovvero come quoziente fra l’elemento di separazione unico fra tali perimetri e il diametro, … .
  2. CALCOLO EFFETTIVO DEI PERIMETRI DEI POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA. Il calcolo del perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza richiede il calcolo della lunghezza del suo lato. Generalmente per fare questo si usano le funzioni trigonometriche. In modo analogo si può calcolare la lunghezza del lato del poligono regolare di n lati circoscritto. Ma occorre poi far vedere che i perimetri dei poligono inscritti sono sempre minori dei perimetri dei poligoni circoscritti (anche quando confronto un poligono inscritto di n lati e uno circoscritto di m lati, che m sia maggiore uguale o minore di n). Alcuni testi di Geometria si pongono effettivamente questa domanda e, in qualche caso particolare, propongono una risposta. Se si vuole semplificare i ragionamenti si può limitare lo studio ai poligoni con 4, 8, …, 2n, … lati e quindi far vedere che si può passare da 2n a 2n+1 lati grazie a un semplice ragionamento. Si può poi confrontare il poligono inscritto con quello circoscritto e infine concludere, sempre usando proprietà non facilissime dei numeri reali, che l’elemento di separazione fra i perimetri molto speciali considerati è in realtà l’elemento di separazione generale che stiamo cercando. I ragionamenti precedenti sono poi indipendenti dal raggio. Sarebbe quindi interessante capire che cosa avviene se si considerano poligoni, inscritti o circoscritti, ma non regolari, cioè se si prendono a caso dei punti sulla circonferenza e si uniscono formando i lati di un poligono, ovvero se si prendono le tangenti alla circonferenza in tali punti. Qui viene sollevato un ulteriore problema: un poligono circoscritto, regolare o no, è formato di lati tangenti, ma che cosa significa tangente a una circonferenza?
  3. COME VEDERE CHE π VALE 3.1415… Una volta calcolati (ammesso che si sappia fare) i perimetri, si può dire che esiste ed è ben definito il numero π, ma non si sa ancora quanto vale. Per capire che cosa significhi valutarlo, occorre di nuovo avere nozioni sui numeri reali. E occorre incapsularlo effettivamente fra 3 e 4, poi fra 3.1 e 3.2, quindi fra 3.14 e 3.15, con tecniche legate al calcolo dei perimetri (già Archimede quasi 23 secoli fa aveva idea di come fare). In pratica occorre trovare un poligono inscritto di perimetro almeno 3 e uno circoscritto di perimetro al più 4, poi un poligono circoscritto di perimetro almeno 3,1, ….. Su questo punto qualche testo liceale propone delle costruzioni effettive.
  4. π E’ IRRAZIONALE E TRASCENDENTE. Resta ancora da capire che tipo di numero sia. E’ facile vedere che non è intero, meno facile vedere che si tratta di un numero che non è nemmeno razionale e che non è radice di una equazione polinomiale di alcun grado (si dice che è un numero trascendente). Per vedere ciò occorre la teoria degli integrali. Qualche testo spiega che è irrazionale (cioè non razionale), qualche altro si spinge fino a parlare di trascendenza.
  5. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE. Il punto 2 precedente richiede l’uso delle funzioni trigonometriche e di alcune proprietà di queste. Ad esempio il calcolo del perimetro del poligono inscritto di n lati vale n.r.sin(θ). Ma è il confronto con il poligono di 2n lati inscritto che richiede nozioni meno facili, e precisamente la formula di bisezione (2sin2(θ/2) = 1-cos(θ)), che a sua volta dipende dalla formula per l’addizione, ed è quindi basata su proprietà non banali di geometria euclidea. Anche qui ci sono dunque problemi, in quanto la trigonometria è basata sulla geometria euclidea, i cui concetti fondamentali richiederebbero qualche approfondimento (fatto da Hilbert nei Grundlagen der Geometrie nel 1900, in realtà), che non tutti i testi liceali considerano. Naturalmente si possono aggirare le dimostrazioni sintetiche usando la geometria analitica (ed è quello che, senza dirlo, faceva il mio vecchio libro di trigonometria, dove si parlava di distanza di due punti e sua espressione analitica).
  6. CONFRONTO EFFETTIVO FRA PERIMETRI DI POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI (ANCHE NON REGOLARI E CON NUMERI DI LATI DIVERSI) Se con qualche fatica si calcola il perimetro del poligono di n lati inscritto o circoscritto, ovvero si confronta il perimetro relativo a n con quello ralativo a 2n, molto più diffcile è confrontare i perimetri di un poligono (inscritto o circoscritto) di n lati con uno di n+1 lati, e la cosa si fa ancora più difficile se si considerano poligoni non regolari. Ma anche limitarsi a poligoni di 2n lati e inscritti ha qualche problema, risolubile conoscendo proprietà (non ovvie) dei numeri reali (degli estremi superiori).
  7. COME SI ARRIVA A π MEDIANTE DERIVATE E INTEGRALI. Il tutto in realtà si semplifica e si vede più agevolmente se si fa uso delle derivate e degli integrali. Basta quindi definire la lunghezza della circonferenza come integrale di una certa funzione ricavabile dall’equazione cartesiana della circonferenza. Tale integrale in realtà consente di arrivare direttamente al numero ? mediante considerazione sulla funzione da integrare e questo può essere un modo di definirlo. Ciò significa in pratica che la lunghezza della circonferenza è l’estremo superiore dei perimetri di tutti i poligoni (anche non regolari) inscritti. Ma per vedere ciò occorre avere qualche nozione (non elevata) di analisi, riguardante le derivate, gli integrali e le loro proprietà.
  8. COME INTRODURRE LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE SENZA FAR USO DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA. Le funzioni trigonometriche sono strettamente collegate al numero π. Come si vede l’andamento di sin x e cos x? Ad esempio come si vede che sin π = 0 e che cos π = 1? Ovvero che si tratta di funzioni periodiche? E come si dimostrano le proprietà più riposte? Tutto può essere basato sulla geometria euclidea (o analitica), ma si possono aggirare le difficoltà con l’uso degli integrali. Una via particolarmente valida e completa è basata sul principio che sin(x) è una funzione invertibile e che la sua inversa, nell’intervallo [-π/2, +π/2], cioè l’arcoseno, ha come derivata la funzione 1/(1-x2)1/2. Si può definire l’arcoseno come integrale di quest’ultima e poi il seno come inversa, ottenendo (facilmente) tutte le proprietà. Quanto al numero π, ci si arriva di qui come detto in 7.
  9. AREA DEL CERCHIO E π. Probabilmente sarebbe più semplice definire il numero π a partire dall’area del cerchio, in quanto le aree dei poligoni inscritti e circoscritti si trattano meglio dei perimetri e si vede più facilmente, almeno a livello intuitivo, che sono classi separate e contigue, trattandosi di poligoni contenuti gli uni negli altri.
Immagine da http://www.nasa.gov/multimedia/imagegallery/index.html