Appunti per una lezione

CURVA DI H.Von KOCH

di Giuseppe Iaquinto

(L.S. Volta, Torino)

Riproporre “all’infinito” una costruzione porta spesso a scoprire situazioni apparentemente paradossali. Uno degli esempi più intuitivi fu indicato dal matematico svedese H. Von Koch (1870-1924), che ha ideato la seguente costruzione:

  • si considera un triangolo equilatero con il lato lungo 1 (fig 1) ;
  • si divide ciascun lato in tre parti uguali e si costruisce sulla parte centrale di ogni lato un altro triangolo equilatero, esterno al triangolo iniziale (fig 2) ;
  • si cancella la base dei nuovi triangoli, ottenendo la stella di fig 3;
  • si ripete la costruzione a partire dai lati della stella (fig 4) .
Fig. 1 Fig. 2
Fig. 3 Fig. 4

Continuando a ripetere la costruzione “all’infinito”, si ottiene la curva, detta curva di Von Koch (costruzione della curva di Von Koch in Cabri Géomètre II Plus).

Questa curva presenta alcune sorprendenti proprietà che possiamo scoprire esaminando le varie figure che via via si ottengono a partire dal triangolo equilatero iniziale.

  • In merito ai lati possiamo esprimere la loro lunghezza con la progressione geometrica

Siccome risulta che si ricava che la lunghezza del lato tende a 0, quando si ripete la costruzione “all’infinito”.

  • In merito ai perimetri, essi si calcolano tenendo presente che

 

- la prima figura è composta di 3 lati di lunghezza 1 e, dunque, ha perimetro

 

- nella seconda figura, ad ogni lato della prima si sostituiscono 4 segmenti di lunghezza , perciò si ottiene un perimetro dato da

 

- per passare alla terza figura, a ciascuno dei 12 lati di lunghezza della seconda si sostituiscono 4 segmenti di lunghezza , ottenendo un perimetro dato da

Procedendo nella costruzione, i perimetri costituiscono i termini della progressione geometrica

Siccome , si conclude che il perimetro della figura diventa infinitamente lungo quando si ripete “all’infinito” la costruzione.

  • In merito alle aree delle figure che via via si ottengono a partire dal triangolo equilatero iniziale, dovremo sommare le aree seguenti:

 

-l’area del triangolo equilatero di lato 1 (fig5), data da

Fig. 5

 

- l’area di 3 triangoli equilateri di lato (fig6), data da

Fig. 6

 

- l’area di 12 triangoli equilateri di lato (fig7), data da

Fig. 7

 

- l’area di 48 triangoli equilateri di lato (fig8), data da

Fig. 8

Continuando il procedimento si arriva a costruire una figura la cui area S si ottiene aggiungendo all’area del triangolo iniziale la somma dei termini di una progressione geometrica di primo termine e ragione .

Essendo la ragione di tale progressione minore di 1, avremo che

Si trova così che l’area non diventa infinitamente grande, ma si avvicina sempre di più al valore

E’ interessante valutare il rapporto tra l’area e l’area del triangolo iniziale. Si ottiene

Un’area compresa da un contorno che si estende all’infinito risulta pertanto poco più grande di una volta e mezzo il triangolo equilatero iniziale.