Metodo Montecarlo,
per valutare l’area di zone curviline

di Giuseppe Iaquinto

Casino Montecarlo - Immagine da http://tesla.csl.uiuc.edu/~sanghavi/photographs/france/riviera.html

Si tratta di un metodo ideato da un gruppo di fisici verso la metà degli anni quaranta. Il nome ricorda la famosa città del casinò.
Ecco come è nata l’idea di calcolare l’area di una figura curvilinea servendosi del caso. Si disegna in un quadrato Q la superficie chiusa S a contorno curvilineo di cui si vuole calcolare l’area .

Si faccia cadere da una certa altezza sul quadrato una manciata di riso, si contino quanti chicchi sono caduti dentro la superficie S di cui si vuole calcolare l’area e quanti sono caduti in tutto il quadrato Q.
Il rapporto tra il numero dei chicchi caduti dentro S e quelli caduti dentro tutto Q si assume come rapporto tra le aree delle figure S e Q.

E’ possibile simulare con l’elaboratore elettronico il lancio dei chicchi di riso. Si pensi il quadrato Q di lato l e la figura S inseriti nel primo quadrante di un piano cartesiano in modo che i vertici del quadrato abbiano rispettivamente coordinate A(0 ; 0), B(l ; 0), C(l ; l) e D(0 ; l) e si generino con la funzione RANDOM n coppie ordinate di numeri casuali compresi tra 0 e l.
Intendendo ogni coppia rispettivamente come ascissa e ordinata di un punto, otteniamo n punti casuali ognuno dei quali simula la caduta di un chicco di riso.
I punti casuali ottenuti potranno cadere dentro o fuori la figura S , cadranno comunque dentro il quadrato Q.
Il rapporto tra il numero dei punti dentro S e quelli dentro tutto Q si assume come rapporto tra le aree delle figure S e Q.

Simulando il lancio di 215 chicchi di riso si è valutata l’area di un cerchio di raggio 2 inserito in un quadrato di lato 4. (figura 2)

Si sono ottenuti 169 punti dentro la circonferenza . L’area S del cerchio risulta i dell’area del quadrato Q che vale 16 ; si ha pertanto .
Sapendo che e quindi , otteniamo che vale 3,14

Allo stesso modo è stata stimata l’area del segmento parabolico della figura 3 inserito in un quadrato di lato 4. Su 250 lanci i punti caduti dentro il segmento parabolico sono stati 170. L’area S del segmento parabolico risulta i dell’area del quadrato Q che vale 16; si ha pertanto . L’area effettiva del segmento parabolico, calcolata servendosi dell’analisi matematica, risulta di .
Aumentando il numero di lanci è probabile che la stima dell’area migliori ulteriormente.


In libreria e in rete


G.S. Fishman, Monte Carlo concepts, algorithtms and applications, Springer-Verlag, 1996

Una presentazione in Power Point, dall’Università di Milano – Bicocca:
http://www.statistica.unimib.it/utenti/mecatti/Corso%20MdS/Lucidi/metodo%20MonteCarlo%20.ppt#3

Lezioni di fenomeni aleatori di Gaetano Scarano, Università “La Sapienza”, Roma:
http://infocom.uniroma1.it/~gaetano/texware/FA.2005.2p.04feb2005.pdf


Un articolo storico di Nick Metropolis and Steve Ulam:
http://scienze-como.uninsubria.it/bressanini/montecarlo-history/metropolis-ulam-1949.pdf

An introduction to the Montecarlo Method le dispense del corso tenuto dal prof. Vlad Bally:
http://www.math.unifi.it/~brugnano/Corsi/Corso_Bally/