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4. Pascal e il triangolo aritmetico

Blaise Pascal, nel 1654, scrisse un intero libro, Le Triangle Aritmétique, dedicato a questotriangolo e alle sue proprietà, in particolare nel campo del calcolo combinatorio. Uno studio importante che portò a ribattezzare il celebre triangolo con il nome di "Triangolo di Pascal" e come tale è ormai noto in tutto il mondo. Il vecchio nome, "Triangolo di Tartaglia", che vogliamo invece difendere, per simpatia verso lo sfortunato matematico, sta ormai scomparendo, anche nel nostro paese.
Nel suo libro, Pascal riporta una formula che consente di ricavare un termine qualsiasi del triangolo, data la sua posizione. Si conti il numero delle righe e delle colonne a partire da zero, cioè l'1 iniziale sia la riga zero e la colonna di 1 sia la colonna zero. Si noti che, se non si considerano gli zeri (per altro non scritti), la riga r contiene, al più, elementi di r + 1 colonne, e quindi s, il numero della colonna, è minore o uguale a r + 1. Questo impedisce a n di essere negativo.

Il triangolo nella configurazione di Pascal, a "triangolo rettangolo", una forma che consente, per certe proprietà, un'analisi migliore delle righe e delle colonne.

Con questa convenzione se il termine appartiene alla riga r e alla colonna s, si ha

Ad esempio, il termine dell'ottava riga e quinta colonna è:

Si noti invece che il termine dell'ottava colonna e quinta riga non esiste (o è zero). Pascal osservò ancora che quando nella prima colonna del triangolo compare un numero primo, e solo in questo caso, tutti i termini della riga corrispondente, tranne il primo e l'ultimo, sono multipli di tale numero. Ad esempio, nella settima riga, a parte l'1 iniziale e quello finale, tutti i termini sono multipli di 7.
Ma la proprietà più importante del triangolo, analizzata da Pascal, è legata ai suoi studi sulla teoria dei giochi e sul calcolo combinatorio. Egli ha infatti scoperto che i numeri del triangolo corrispondono alle diverse combinazioni possibili di un dato gruppo di oggetti. Ad esempio, 5 oggetti a, b, c, d ed e, si possono combinare a due a due in 10 modi diversi: ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de e 10 è proprio il numero all'incrocio della quinta riga con la seconda colonna (si conta come zero, lo ricordiamo, la riga dell'1 iniziale e la colonna di 1). Sei oggetti si combinano a tre a tre in 20 modi diversi e 20 è il numero all'incrocio della sesta riga con la terza colonna.

Indichiamo in generale con n il numero degli oggetti considerati. Si chiamano "combinazioni semplici" tutti i gruppi di k oggetti che si possono formare con gli n oggetti dati, in modo che due qualunque di essi siano diversi per avere almeno un oggetto differente. Si dimostra che queste combinazioni sono

e possiamo anche scrivere, usando solo fattoriali:

Osserviamo che questi numeri sono i cofficienti delle potenze di un binomio.

Ad esempio, abbiamo

In generale

Per la settima riga, terza colonna, è

Segnaliamo ancora una importante relazione tra i coefficienti binomiali, nota come formula di Pascal:

Non vogliamo andare oltre con il calcolo combinatorio, e rimandiamo chi voglia approfondire l'argomento a uno dei molti manuali scolastici