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5. Altre proprietà del triangolo di Tartaglia

Quelle che seguono sono soltanto alcune delle innumerevoli proprietà del triangolo nel quale si possono rilevare, in modi diversi, la successione di Fibonacci, i numeri figurati di Pitagora, i numeri triangolari e tetraedrici e addirittura i frattali, che emergono sostituendo ogni numero e i suoi multipli con punti di colore diverso o anche semplicemente collocando punti bianchi e neri al posto dei numeri pari e dispari. Le diverse proprietà si integrano poi fra loro, creando nuove strutture e nuovi spazi di indagine, sempre più ampi e sempre collegati fra loro. Queste costruzioni che scaturiscono dalla nostra indagine e che trovano sorprendentemente tante applicazioni in natura, sono un bell'esempio del fascino e del valore della matematica.

La somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del 2. Si può anche dire che la somma dei termini di ogni riga è il doppio della somma dei termini della riga precedente e che la somma dei termini di ogni riga, diminuita di 1, è uguale alla somma dei termini di tutte le righe che lo precedono. Ad esempio, la somma dei termini della sesta riga è 64, e la somma di tutti i termini delle righe precedenti è 64 - 1, com'è facile controllare.

 

Se si sommano i numeri in diagonale, nel modo indicato in figura, si ottiene la successione di Fibonacci(che vedremo in una prossima lezione).

 

Ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i termini che lo precedono, nella colonna alla sua sinistra.

 

La prima colonna del Triangolo di Tartaglia è composta dalla successione dei numeri naturali n, la seconda dai numeri triangolari n(n+1)/2, la terza dai numeri tetraedrici n(n+1)(n+2)/2x3, la quarta i numeri ipertetraedrici n(n+1)(n+2)(n+3)/2x3x4, cioè del tetraedro in quattro dimensioni, la quinta del tetraedro in cinque dimensioni n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/2x3x4x5 e così via.
Questo collegamento tra i numeri del triangolo e i numeri figurati di Pitagora (la sua celebre
aritmogeometria) è una proprietà che non abbiamo trovato in altri lavori sul triangolo e che pensiamo, tranne smentite, che possa essere una nostra scoperta.

 

Nelle potenze di 1001^n, come nelle potenze di 10001^n ,100001^n, … ritornano i numeri del triangolo, separati dagli zeri.