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8. Dal Triangolo di Tartaglia ad altri triangoli aritmetici.


Vediamo infine alcune varianti del Triangolo di Tartaglia nei quali sono stati cambiati i numeri di partenza o le regole di costruzione. Sono triangoli sui quali invitiamo il lettore a indagare, oltre le poche regole che presentiamo.

Il Triangolo dei numeri pari. Se si sommano i numeri di ogni riga si ottiene, a parte lo zero iniziale, 2 + 4 = 1 x 2 x 3 per la prima riga, 6 + 8 + 10 = 2 x 3 x 4 per la seconda, 3 x 4 x 5 per la terza e successivamente 4 x 5 x 6, 5 x 6 x 7, 6 x 7 x 8 e così via. In generale la somma della riga n è uguale a n (n + 1) (n + 2).

 

Il Triangolo dei numeri dispari. La somma dei numeri della riga n è uguale a n^3. In questo caso si considera 1 iniziale come prima riga e si ha:
1^3 per la prima riga,
3 + 5 = 2^3 per la seconda riga,
7 + 9 + 11 = 3^3 per la terza riga,
4^3 per la quarta,5^3 per quinta e così via.

 

Nel Triangolo si alternano colonne di numeri naturali che partono dai successivi numeri dispari e colonne di valori costanti dei successivi numeri naturali.
La somma dei numeri di una riga n è uguale a 2 x n^2. Ad esempio, sulla quinta riga abbiamo: 5 + 1 + 6 + 2 + 7 + 3 + 8 + 4 + 9 + 5 = 50 = 2 x 5^2.

 

Il Triangolo dei multipli, costruito partendo, in diagonale, dai numeri naturali in successione, seguiti dai rispettivi multipli sulle altre diagonali.

 

Un triangolo aritmetico proposto da Edouard Lucas, il grande esperto in giochi matematici dell'Ottocento. Tranne i primi tre numeri al vertice in alto, ogni altro termine è uguale alla somma dei due termini superiori in diagonale.
Quali sono le sue proprietà?


Due problemi di Tartaglia.

Il primo è un classico dei "travasi":
Sono duoi,che hanno robbato una ampoletta di balsamo a uno signor, nella qual era dentro oncie 8 di balsamo a ponto accadette che costoro nel suo partire trovorno uno vedriaro, che haveva solamente due ampolette l'una delle quali teneva oncie 5, l'altra oncie 3 e così per la pressa , che loro havevano gli comprorno queste due e caminorno di longo fin che furono al luogo sicuro, poi si missero a voler partir questo balsamo, dimando come fecero non havendo ne peso, ne altra misura certa.

Il secondo è una variante di uno dei problemi più popolari, l'attraversamento del fiume con una barchetta:
Sono tre belli gioveni freschi e gagliardi, i quali hanno tre belle damigelle per mogliere, e sono gelosi tutti, così le moglier delli mariti, come li mariti delle moglier. Accadde che costoro si parteno da casa di brigata per esser vicini per voler andar a una certa perdonanza, onde accadette che nella via gli trovorno un fiume molto largo da passar, e non vi era ne ponte, ne porto, ma per sua ventura gli trovorno un navetto piccolo, che non gli poteva star dentro più che due persone, dimando, come faranno a passare senza alcun sospetto di gelosia.

Le soluzioni al termine della lezione.