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10. Il teorema di Fermat

Dalle terne pitagoriche è naturale passare allo studio delle terne di numeri di potenza superiore al due. Come abbiamo visto, un numero quadrato, come ad esempio 25, può essere spezzato nella somma di due quadrati, in questo caso 9 e 16. Ci chiediamo: è possibile spezzare un cubo in due cubi oppure una quarta potenza nella somma di due numeri che siano entrambi quarte potenze? Ad esempio, 27, il cubo di 3, può essere diviso nella somma di due cubi? E' possibile trovare terne di numeri interi che soddisfino alla relazione x^3 + y^3 = z^3 e, in generale

x^n + y^n = z^n ?

Fig. 45  Pierre de Fermat (1601 - 1665)

Il protagonista di questa ricerca è stato Pierre de Fermat (1601 - 1665), di professione avvocato, con la passione della matematica.

E' stato definito il "principe dei dilettanti", per i risultati straordinari che raggiunse non soltanto nella teoria dei numeri, ma anche in altri campi, come la geometria analitica e il calcolo infinitesimale. Fermat affermò che la scomposizione non è possibile né con i cubi né con qualsiasi altro numero di potenza superiore al due. Sul margine di un libro che stava leggendo, l'Arithmetica di Diofanto, scrisse:

Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Non è invece possibile dividere un cubo in due cubi o un quadrato - quadrato in due quadrato - quadrati e in genere nessuna potenza superiore al due in due potenze dello stesso ordine. Di questo ho trovato una splendida dimostrazione, ma la ristrettezza del margine di questo libro non la può contenere.

In realtà la sua dimostrazione non venne mai trovata e non siamo nemmeno sicuri che fosse realmente arrivato a scoprirla, ma l'affermazione di Fermat, data la sua autorevolezza, venne presa in seria considerazione da tutti i matematici. Molti si impegnarono nella ricerca di una dimostrazione di quello che venne battezzato l'"Ultimo teorema di Fermat", o meglio, non "teorema" ma "congettura", visto che della dimostrazione non c'era traccia.

Fig. 46  L'Arithmetica di Diofanto in una edizione
francese del 1670, con l'annotazione di Fermat.

Fra le carte di Fermat venne trovata la dimostrazione dell'impossibilità di soluzioni intere di x^n + y^n = z^n per n = 4 e, nel Settecento, Eulero, il celebre matematico svizzero, dimostrò l'impossibilità di soluzioni intere per n = 3.

Nell'Ottocento altri matematici, come Legendre e Lejeune - Dirichlet, dimostrarono autonomamente il caso n = 5. Ma la soluzione generale del problema sembrava impossibile. Con l'avvento del computer si iniziò a calcolare pedestremente le terne per valori sempre più alti di n. Negli anni Ottanta del secolo scorso si arrivò a verificare tutti i valori di n fino a 25.000 e in tempi ancora più vicini ai nostri fino a n uguale a 4 milioni. Ma la verifica al computer era inutile, senza una dimostrazione generale non si poteva essere sicuri che il teorema fosse valido per un qualsiasi n. E il fascino per il problema posto da Fermat restava inalterato.

Si racconta che, all’inizio del Novecento, un ricco industriale tedesco, Paul Wolfskehl, innamorato di una donna bellissima che lo aveva respinto, avesse deciso di suicidarsi. Ma qualche giorno prima di attuare il suo folle gesto, aveva iniziato a leggere un libro di matematica che parlava del grande teorema di Fermat. Wolfskehl restò catturato dal teorema e pensando di aver trovato la via della dimostrazione, si buttò a capofitto nello studio della teoria dei numeri, dimenticando la sua bella e i suoi tragici propositi. Anche se non riuscì nella sua impresa matematica, grato a Fermat e al teorema che gli aveva salvato la vita, decise di istituire un premio destinato a chi fosse riuscito a trovare la dimostrazione. Un premio consistente, pari a circa tre miliardi di lire attuali.

Secondo un’altra versione, meno romantica, Wolfskehl, scapolo impenitente, all’età di 47 anni venne obbligato dalla sua famiglia a sposare una donna che non amava e che lo rese infelice. Per vendicarsi di lei, decise di lasciare per testamento le sue fortune all’uomo che fosse riuscito a dimostrare il teorema di Fermat, doveroso omaggio alla teoria dei numeri, unica sua consolazione nell’inferno domestico.

Fig. 47  Andrew Wiles, il matematico
che ha risolto il teorema di Fermat.

Il premio venne annunciato nel 1908 e soltanto in quell’anno vennero presentate ben 621 dimostrazioni, tutte sbagliate. Nel 1995, finalmente il premio è stato ufficialmente consegnato ad Andrew Wiles, il matematico inglese che è riuscito nella storica impresa.

L’Accademia delle Scienze di Gottinga, responsabile del premio e del controllo delle dimostrazioni, dopo due anni di attente e minuziose verifiche del risultato raggiunto da Wiles ha sciolto ogni riserva, decretando la validità della sua dimostrazione.

La svalutazione ha ridotto il premio a trentamila marchi, ma "è molto più importante di un premio Nobel - ha sottolineato Heinz Wagner, il presidente dell’Accademia, durante la cerimonia di premiazione - perché i Nobel vengono assegnati ogni anno, mentre per il Premio Wolfskehl si è dovuto attendere novant'anni". E finalmente Fermat può riposare in pace. Quello che è stato il tormento dei matematici per 260 anni, dal momento in cui venne enunciato nel 1637, noto come l’Ultimo Teorema di Fermat, è risolto, anche se sono in molti a dubitare che Fermat avesse realmente trovato la dimostrazione. Wiles, nato nel 1950, scoprì questo teorema quando aveva soltanto dieci anni, leggendo un libro preso in prestito alla biblioteca.

"Sembrava così semplice - ricorda - e tuttavia i grandi matematici del passato non erano riusciti a risolverlo. Era un problema che io, un ragazzo di dieci anni, potevo perfettamente capire. Mi resi conto in quel momento che non lo avrei più abbandonato. Dovevo risolverlo. E all’inizio lo affrontai pensando che Fermat, ai suoi tempi, non doveva certo conoscere più matematica di quella che conoscevo io".

Dopo molti tentativi, solo nel 1986, quand’era già docente alla Princeton University, Wiles capì di essere sulla strada giusta. Decise allora di abbandonare ogni lavoro che non fosse collegato all’Ultimo Teorema. Per sette anni visse come un recluso, senza far parola ad alcuno della sua ricerca.

Fig. 48  Andrew Wiles ad una presentazione
della sua dimostrazione.

Dobbiamo dire francamente che non è questo il modo di lavorare che apprezziamo in un matematico. Riteniamo che ci debba sempre essere collaborazione, scambio di informazioni, ricerche comuni invece di egoistiche chiusure, anche se possiamo comprendere l'ambizione di Wiles, il suo desiderio di raggiungere fama e successo attraverso la soluzione del problema.

"Il teorema di Fermat - ricorda ancora Wiles - era l’unico mio pensiero. Il primo quando mi svegliavo al mattino, quello che avevo in mente per tutta la giornata e l’ultimo, al momento di andare a dormire". Unica distrazione i rari momenti dedicati alla moglie e ai tre figli. "Ogni volta che ricorda la sua avventura, quella che definisce l’ossessione della sua vita - dice Simon Singh, autore di un libro di successo, L'ultimo teorema di Fermat - la sua voce si affievolisce, diventa esitante, tradendo l’emozione che ancora prova a parlare del problema". Alla fine, convinto di aver trovato la soluzione, nel 1993, decise di renderla pubblica. Televisioni e giornali lo presentarono come "il più grande matematico del secolo", il genio che aveva vinto la grande sfida.

Ma la sua odissea matematica non era ancora finita. Quando pensava ormai di potersi concedere un meritato riposo e di godersi il suo momento di gloria, due mesi dopo l’annuncio, venne scoperto un errore nella sua dimostrazione. "Un errore così astratto che non posso descriverlo in modo semplice. Anche se dovessi spiegarlo a un matematico - dice Wiles - dovrei chiedergli di avere la pazienza di studiare per due o tre mesi la parte della mia dimostrazione in cui compare l’errore".

Possiamo immaginare lo stato d’animo di Wiles, costretto ad ammettere pubblicamente l’errore. Superata la crisi e sempre convinto della correttezza dei suoi ragionamenti, riprese il suo manoscritto e per due anni, dimostrando una caparbietà e una forza d'animo eccezionali, si ributtò a capofitto sul suo lavoro per cercare di correggere l’errore. Alla fine ripresentò la sua dimostrazione che, con il premio Wolfskehl, ha ricevuto la conferma definitiva. Questa dimostrazione è una relazione di duecento pagine ed è naturalmente escluso che possa essere quella originale di Fermat. Sono molti i matematici, in particolare i dilettanti, che continuano la ricerca per scoprire la prova più semplice che Fermat poteva avere in mente: la storia dell’Ultimo Teorema non è ancora finita.