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11. Gli incommensurabili

Il teorema di Pitagora portò i pitagorici alla scoperta degli incommensurabili. Se in un quadrato si applica il teorema al triangolo rettangolo isoscele formato dai suoi lati e dalla diagonale si scopre che la diagonale del quadrato e il suo lato sono incommensurabili, ossia che diagonale e lato non hanno alcun sottomultiplo comune.

Fig. 49

Prendiamo il quadrato più semplice con lato unitario e diagonale d. Risulta d² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2 e quindi d = √2, e questo √2 per i greci era qualcosa di sconcertante e di incomprensibile.

Non era un numero intero, ma non era neanche una frazione o il rapporto di due numeri interi. In generale tra diagonale e lato di un quadrato, come tra diagonale e lato di un pentagono o di un cubo, non esiste un'unità di misura comune: sono incommensurabili.

Questa scoperta mise in crisi la loro stessa concezione dell'Universo dove, dicevano, "tutto è numero", cioè tutto si poteva esprimere tramite numeri interi o loro rapporti. L’esistenza di grandezze incommensurabili e conseguentemente dei nuovi numeri che si era obbligati a introdurre, gli irrazionali, era in contraddizione non solo con le convinzioni filosofiche dei pitagorici, ma metteva anche in crisi il concetto stesso di infinito della filosofia greca.

Fig. 50  Nel quadrato di lato unitario, 1 rappresenta la lunghezza del lato ed è, sulla retta numerica, la distanza dall'origine. La diagonale è lunga √2, ma è anche la distanza dall'origine, un numero che per i pitagorici non aveva diritto di esistere. Per loro, non trovava posto sulla retta numerica dove c'erano soltanto numeri interi e frazioni. Ma in questo modo scoprirono che la retta... era in realtà piena di buchi, molti inspiegabili buchi, fra un numero e l'altro.

I pitagorici, come conseguenza della loro scoperta, dovettero ammettere che un segmento e in generale una figura geometrica era costituita da infiniti punti di dimensione nulla, contrariamente a quanto ritenevano, cioè che i punti avessero una dimensione, fossero molto piccoli e tutti uguali, ma non nulli. Nel caso in cui un segmento fosse costituito da un numero finito di punti ne risulterebbe, ad esempio, che il lato del quadrato conterrebbe un numero intero di punti e corrisponderebbe quindi ad a volte la dimensione di un punto. La diagonale, a sua volta, sarebbe b volte la dimensione del punto. Il lato e la diagonale avrebbero quindi un sottomultiplo comune, il punto, e non sarebbero più incommensurabili, come invece era risultato evidente. E' proprio la loro incommensurabilità a richiedere che un segmento sia costituito da un numero infinito di punti. I greci pensarono di riuscire a superare queste difficoltà passando a un ragionamento geometrico indipendente dall'aritmetica e "interpretando la geometria come studio del continuo - osserva Geymonat nella sua Storia del pensiero filosofico e scientifico - e l'aritmetica come studio del discontinuo". Secondo la leggenda, fu proibito ai membri della setta di rivelare ad altri queste scoperte. Il "traditore" fu il pitagorico Ippaso di Metaponto che divulgò il segreto, un discepolo che mal tollerava l'autorità di Pitagora e che si schierò a capo degli acusmatici, con i ribelli, quando questi cacciarono i pitagorici da Crotone. Per il suo tradimento, Ippaso venne messo al bando dai pitagorici che, si racconta, gli innalzarono un monumento funebre, perché fosse chiaro che per loro era morto. Si narra anche, ma è sempre leggenda, che lo stesso Giove, adirato contro di lui, lo fece perire in un naufragio. Il filosofo greco Proclo (412 - 485 d. C.) scrive a questo proposito:

"I pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa teoria [degli irrazionali] fu vittima di un naufragio; e parimenti si riferivano alla credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale, completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge ad un tale aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene trasportata nel mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde senza pace".

Non sappiamo se sia stato Pitagora stesso o, com'è più probabile, i pitagorici a scoprire, più tardi, gli incommensurabili e Aristotele accenna a una loro dimostrazione consistente nel provare che nel caso in cui diagonale e lato di un quadrato fossero stati commensurabili allora uno stesso numero avrebbe dovuto essere pari e dispari. Vediamo questa dimostrazione.

Fig. 51  La Spirale della radice quadrata.

Siano d e l la diagonale e il lato di un quadrato e, per il teorema di Pitagora, abbiamo d² = l² + l², da cui ricaviamo (d/l)² = 2. Ammettiamo ora che d e l siano commensurabili ossia che il rapporto d/l sia razionale e si possa ridurre a p/q dove p e q sono numeri interi senza fattori comuni. Abbiamo (d/l)² = (p/q)² = p²/q² = 2, da cui ricaviamo p² =2 q². Di conseguenza p² ed anche p devono essere pari. Ma se p e q, come abbiamo detto, non possono avere fattori comuni allora q deve essere dispari. Proviamo ora a sostituire a p, che abbiamo provato essere pari, 2r e operiamo la sostituzione nell'equazione p² =2 q². Otteniamo 4r² =2 q² cioè q² =2 r². Ne concludiamo che anche q dev'essere pari, contrariamente a quanto avevamo stabilito in precedenza. Ma un numero non può essere contemporaneamente pari e dispari e quindi la nostra ipotesi che d e l fossero commensurabili è falsa.

La figura 51 è stata costruita disegnando dapprima un triangolo rettangolo isoscele con i cateti lunghi 1 unità e in successione gli altri triangoli rettangoli aventi ciascuno il cateto minore lungo sempre 1 unità e il cateto maggiore coincidente con l'ipotenusa del triangolo precedente.

In questo modo l'ipotenusa del primo triangolo misura √2, l'ipotenusa del secondo triangolo misura √3, del terzo √4, del quarto √5, del quinto √6 e così via. Questa figura, che riporta le radici quadrate dei numeri in successione, viene chiamata Spirale della radice quadrata.

Le risposte ai problemi proposti in questi appunti:

 a) L'età di Diofanto.
Diofanto morì all'età di 84 anni.

 b) Le settuple pitagoriche.
Per trovare le settuple pitagoriche è sufficiente aggiungere alle formule delle cinquine (a = m² + n², b = m² - n², c = 2mn, d = c + b, e = c - b) altre due formule:

f = d + e
g = d - e

 

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