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7. Non solo triangoli

Il teorema di Pitagora continua ad essere valido anche se si sostituiscono i triangoli rettangoli con altre figure, ad esempio, triangoli scaleni, pentagoni, esagoni o poligoni irregolari, purché siano sempre figure simili fra loro, conservino cioè la stessa forma e differiscano soltanto per le dimensioni.

Fig. 36  Pitagora con i pentagoni.

Fig. 37  Pitagora con i semicerchi.

Ad esempio, per i pentagoni costruiti sui lati del triangolo rettangolo di figura 36, l'area del pentagono sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei pentagoni sui cateti. In figura 37, per i tre semicerchi costruiti sui lati del triangolo rettangolo, l'area del semicerchio sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei semicerchi sui cateti.

Da quest'ultima costruzione si arriva a un risultato molto interessante. Se ribaltiamo il semicerchio sull'ipotenusa (fig. 38) vale sempre naturalmente la relazione precedente: il semicerchio sull'ipotenusa (ribaltato) è equivalente alla somma dei semicerchi sui cateti. Togliamo poi le parti più scure, sia al semicerchio sull'ipotenusa che ai due semicerchi sui cateti. Rimarranno rispettivamente il triangolo e le due parti più chiare la cui somma risulta equivalente all'area del triangolo, perché differenze di aree uguali. Le due figure chiare a forma di luna, vengono chiamate lunule, piccole lune, dal latino lunulae. Nel caso di un triangolo rettangolo isoscele (fig. 39), una lunula è quindi equivalente alla metà del triangolo. In questo modo risulta che una figura rettilinea, il triangolo rettangolo, ha la stessa area di una figura curvilinea, la lunula. Il primo ad aver dato questa dimostrazione pare che sia stato Ippocrate di Chio, nel quarto secolo a. C.

Fig. 38  Le lunule di Ippocrate.

Fig. 39  Il caso del triangolo rettangolo isoscele.