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8. Terne pitagoriche

Fig. 40  Il triangolo rettangolo 3, 4 e 5.

L'altra faccia del teorema di Pitagora. Finora abbiamo parlato dell'aspetto geometrico del teorema, di triangoli rettangoli. Vediamone ora l'aspetto aritmetico, cioè le particolari terne numeriche, chiamate terne pitagoriche, collegate al teorema stesso. Già sappiamo che in un triangolo rettangolo di cateti a, b e di ipotenusa c si ha: a² + b² = c². Esistono infinite terne con numeri interi che soddisfano a questa relazione. Una di queste è 3, 4 e 5. Infatti con questi tre numeri si ha: 3² + 4² = 5².

Altre terne sono 5, 12 e 13, 7, 24 e 25, 8, 15 e 17, 20, 21 e 29. Per costruire un triangolo rettangolo è sufficiente costruire un triangolo con le misure dei lati corrispondenti ai numeri di una delle terne pitagoriche, ad esempio di 3, 4 e 5 unità. Lo possiamo verificare praticamente con una scatola di fiammiferi, costruendo un triangolo che abbia come lunghezza dei lati 3, 4 e 5 fiammiferi. Il triangolo ottenuto avrà sicuramente un angolo retto.

Fig. 41  La tavoletta babilonese, Plimpton 322.

C'è un'altra famosa tavoletta del periodo paleobabilonese, nota come Plimpton 322, che dimostra come il problema aritmetico, collegato a quello geometrico del teorema di Pitagora, fosse già noto ben prima dei greci. Questa tavoletta (fig. 41) era originariamente molto più grande, ma la parte conservata permette ancora di interpretare correttamente il significato delle colonne di numeri che presenta.

Si tratta infatti di numeri collegati fra loro dalla relazione del teorema, cioè numeri per i quali il quadrato del numero più grande è uguale alla somma dei quadrati degli altri due numeri. A confermarci questa interpretazione sono anche i titoli di ciascuna colonna, in particolare della seconda e della terza: "numero risolvente della larghezza" e "numero risolvente della diagonale". I numeri di queste terne corrispondono, naturalmente nel sistema sessagesimale, alle lunghezze dell'ipotenusa e di un cateto di triangoli rettangoli.

A questo punto, sembrerebbe logico supporre che il collegamento fra terne pitagoriche e triangoli rettangoli, cioè fra il problema aritmetico e il corrispondente problema geometrico, fosse già noto nell'antichità, ai babilonesi. In realtà la loro geometria era di tipo pratico, non esisteva un pensiero geometrico indipendente dalle più semplici e immediate applicazioni. Scrive in proposito O. Neugebauer nel suo prezioso saggio, Le scienze esatte nell’Antichità, in cui presenta un approfondito studio della tavoletta Plimpton 322:

Soltanto in base alla nostra educazione, modellata sull’idea che i Greci avevano della Matematica, siamo portati a pensare immediatamente alla possibilità di una rappresentazione geometrica di rapporti aritmetici o algebrici.

Fig. 42

Il collegamento fra il problema aritmetico e il corrispondente problema geometrico, cioè fra e terne pitagoriche e triangolo rettangolo non fu probabilmente così immediato. E' difficile pensare che il teorema di Pitagora abbia potuto avere origine dalla conoscenza della terna pitagorica 3, 4 e 5.

Una precisa dimostrazione di questo teorema, che possiamo definire l'inverso del teorema di Pitagora si troverà soltanto in Euclide. Nel primo libro dei suoi Elementi, subito dopo il teorema di Pitagora, proposizione 47, si trova, alla proposizione 48, il teorema inverso:

Se in un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati dei due lati rimanenti, allora l'angolo contenuto dai due lati rimanenti è retto.

Noi sappiamo che in un triangolo rettangolo di cateti a, b e di ipotenusa c si ha a² + b² = c². Ma vale anche l'inverso: se a, b e c sono i lati di un triangolo e vale la relazione a² + b² = c², allora il triangolo è rettangolo, a e b sono i cateti e c l'ipotenusa del triangolo. La dimostrazione di Euclide è molto semplice. Se il triangolo dato ABC non fosse rettangolo (fig. 41), costruiamo allora un triangolo rettangolo ACD con AD perpendicolare ad AC e uguale ad AB, di cateti a e b e di ipotenusa d. Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ACD e abbiamo

a² + b² = d²

ma per ipotesi abbiamo anche

a² + b² = c².

Fig. 43  L'inverso di Pitagora.

Ne consegue che c² = d² e quindi c = d. I due triangoli sono uguali per il terzo criterio di uguaglianza e di conseguenza l'angolo BAC dev'essere retto.

Ma ritorniamo alle terne pitagoriche. Lo studio delle terne babilonesi sembrerebbe confermare la conoscenza da parte loro delle formule fondamentali per la costruzione delle terne stesse. Sono formule che tradizionalmente vengono attribuite a Diofanto, un matematico greco vissuto nel terzo secolo dopo Cristo, autore di un'opera famosa, l'Arithmetica, in cui sono raccolti 189 problemi risolti applicando diversi metodi che rivelano la sua straordinaria abilità. Della sua vita non sappiamo nulla, ci è rimasto soltanto un problema di un antico libro greco del quinto secolo d. C.:

Dio gli concesse di rimanere fanciullo per un sesto della sua vita, e trascorso un altro dodicesimo, Egli gli coperse le guance di peluria. Dopo un settimo della sua vita Egli gli accese la fiaccola del matrimonio e cinque anni dopo il matrimonio gli concesse un figlio che morì dopo aver raggiunto la metà della vita di suo padre. Dopo aver consolato il proprio dolore con la scienza dei numeri per quattro anni, pose termine alla sua vita.

Quanti anni aveva Diofanto quando morì? La risposta alla fine del capitolo.

Le formule delle terne pitagoriche, di cui si trova traccia già nella matematica babilonese e che furono riprese da Diofanto sono molto semplici. Dati due numeri interi qualsiasi m e n, con m > n, si ha:

a = m² - n² b = 2mn c = m² + n²

E' facile verificare che a² + b² = c² , infatti:

a² + b² = (m² - n²)² + (2mn)² = m^4 + n^4 - 2m²n² + 4 m²n² = m^4 + n^4 + 2m²n² = (m² + n² )² = c²

Le tre formule ci danno quindi tutte le possibili terne pitagoriche a, b e c, tali che a² + b² = c² .

Si osservi che moltiplicando a, b e c per uno stesso numero, si ottiene ancora una terna pitagorica, infatti si ottiene ancora un triangolo rettangolo, simile al precedente. Ad esempio, dalla terna 3, 4 e 5 abbiamo

3 x 2, 4 x 2 e 5 x 2 = 6, 8 e 10
3 x 6, 4 x 6 e 5 x 6 = 18, 24 e 30

e queste sono ancora terne pitagoriche. Infatti

6² + 8² = 10²
18² + 24² = 30²

Possiamo limitare la nostra ricerca a quelle che si chiamano terne primitive, cioè con a e b primi fra loro, partendo da valori di m e di n primi fra loro. Tutte le altre terne saranno semplicemente multiple di quelle trovate.

Ci sono due casi particolari interessanti. Se n = m - 1 si ha b = c - 1 e quindi b e c risultano, in questo caso, numeri consecutivi, la differenza fra c e b sarà sempre uguale a 1. Ad esempio, con m = 2 e n = 1 la terna corrispondente è 3, 4 e 5. Con m = 3 e n = 2 si ha la terna 5, 12 e 13. Provi il lettore a dimostrare questa proprietà delle terne.

Se invece si prende per m un valore qualsiasi e n costante, uguale a 1, si otterranno delle terne pitagoriche per le quali la differenza fra l'ipotenusa e il cateto maggiore sarà sempre uguale a 2. Ad esempio con m uguale a 6 e n uguale a 1 si ha la terna 12, 35 e 37.

Osserviamo ancora che, in generale, la differenza fra il numero più grande e quello più piccolo della terna è uguale al quadrato della differenza fra i due numeri generatori. Ad esempio, con m = 5 n = 2 abbiamo la terna 20, 21 e 29. La differenza fra i due numeri generatori, m e n, è 3 e la differenza fra i due numeri è 29 - 20 = 9.

La somma fra il numero più grande della terna e quello più piccolo è invece uguale al quadrato della somma dei due numeri generatori. Nel nostro esempio precedente abbiamo m + n = 5 + 2 = 7 e la somma dei due numeri è 29 + 20 = 49.