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9. Oltre le terne pitagoriche.

E' logico estendere le terne pitagoriche alla terza dimensione. Per esempio, alla diagonale di un parallelepipedo le cui dimensioni siano a, b e c. In questo caso la diagonale d del parallelepipedo è d² = a² + b² + c². Dalle terne passiamo così alle quaterne pitagoriche. Abbiamo, ad esempio, la quaterna 3, 4, 12 e 13 per la quale si ha 3² + 4² + 12² = 13²

Fig. 44  Le quaterne pitagoriche, nelle tre dimensioni.

Proviamo ora a passare dalle terne alle cinquine pitagoriche, che definiamo come cinquine di numeri tali che la somma dei primi tre sia uguale alla somma degli ultimi due. Seguiamo per questo un lavoro fatto (... qualche anno fa) da una ragazzina di terza media, Luisa Lanfranco.

Dobbiamo trovare una cinquina di numeri a, b, c, d ed e tali che:

a² + b² + c² = d² + e²

Per risolvere questo problema e trovare le nuove formule, partiamo dalle formule di Diofanto:

a = m² + n²
b = m² - n²
c = 2mn

dove m e n sono sempre due numeri qualsiasi, con m maggiore di n, e aggiungiamo due nuove formule:

d = c + b
e = c - b

I cinque numeri calcolati in questo modo formano proprio una cinquina pitagorica.
Ad esempio, prendiamo m = 5 e n = 4.

a = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
b = 5² - 4² = 25 - 16 = 9
c = 2 x 5 x 4 = 40
d = 40 + 9 = 49
e = 40 - 9 = 31

La cinquina 41, 9, 40, 49 e 31 è "pitagorica", infatti:
41² + 9² + 40² = 49² + 31² cioè:
1 681 + 81 + 1 600 = 2 401 + 961 = 3 362

A questo punto abbiamo soltanto accennato alla possibilità di avviare una curiosa e ricca ricerca, oltre le terne pitagoriche. Saprebbe, ad esempio, il lettore trovare le settuple pitagoriche? Dovrebbe cioè scoprire la regola che permette di costruire la settupla a, b, c, d, e, f e g tale che si abbia:

a² + b² + c² + d² + e² = f² + g²

dati due numeri m e n qualsiasi, con m maggiore di n.

La risposta alla fine di questi appunti.