Derivazione grafica

di Giuseppe Iaquinto

Liceo Scientifico VOLTA, Torino

 

Spesso nelle applicazioni una funzione non è descritta da una formula, ma è data mediante un grafico. Anche in questi casi tuttavia è importante la derivata per descrivere la rapidità con cui varia una grandezza.

Consideriamo una funzione y=f(x) data mediante una curva disegnata nel piano cartesiano (Figura 1) e vediamo come si può ottenere la sua derivata y=f '(x) per via grafica.

Figura 1

Si fissa l’attenzione su un punto A qualsiasi della curva di ascissa a e ordinata f(a). Ricordando che la derivata in a indica la pendenza della tangente alla curva nel punto A, possiamo determinare f '(a) procedendo nel modo seguente (figura animata 1):

- si traccia la tangente ta alla curva nel punto A;
- si conduce dal punto P(-1,0) la parallela ra alla retta ta sino ad incontrare nel punto Qa l’asse delle y.

 

Figura animata 1

L’ordinata del punto Qa indica proprio la derivata f '(a), dato che risulta

Qa[0,f '(a)]

Infatti la retta ra, passante per il punto P(-1,0) e parallela a ta, ha pendenza m=f '(a) e equazione

y=f '(a)(x+1)

pertanto incontra l’asse y nel punto che ha ascissa x=0 e ordinata y=f '(a).


Ora è facile ottenere il grafico della funzione derivata y=f '(x):
- si traccia da Qa la parallela all’asse x sino ad incontrare nel punto A1[a, f '(a)] la parallela all’asse delle y condotta dal punto A (Figura 2);

Figura 2

- si ripete il procedimento a partire da altri punti B, C, D, … della curva (Figura 3);

Figura 3

- si raccordano i punti A1, B1, C1, D1 così ottenuti (Figura 4).

Figura 4

In questo modo si riesce a tracciare un grafico approssimato della funzione y=f '(x).
E’ chiaro che tanti più punti si considerano, tanto più il grafico sarà soddisfacente (Figura 5).

Figura 5



Verifichiamo la bontà del procedimento appena descritto in tre casi :
1. la curva è una semicirconferenza;
2. la curva è una parabola ;
3. la curva è una retta.

In tutte e tre le situazioni è possibile tracciare con semplici costruzioni geometriche la tangente ad un punto A qualsiasi della curva.


Nella Figura animata 2, la curva è una semicirconferenza, pertanto la tangente in A[a, f(a)] è la perpendicolare al raggio. Se si fa scorrere il punto A, il punto A1, che ha come ordinata f '(a), traccia nel suo movimento il grafico della funzione derivata y=f '(x).

Figura animata 2

Nella Figura animata 3 il grafico della funzione y=f(x) è una parabola; la tangente in A[a, f(a)] è l’asse del segmento di estremi F e H, ove F è il fuoco della parabola e H è il piede della perpendicolare condotta da A alla direttrice d. Se si fa scorrere il punto A il punto A1, che ha come ordinata f '(a), traccia una retta non parallela agli assi: il grafico della funzione y=f '(x).

Figura animata 3

Nella Figura animata 4 il grafico della funzione y=f(x) è una retta e la tangente in A[a, f(a)] alla retta è la retta stessa. Se si fa scorrere il punto A il punto A1, che ha come ordinata f '(a), traccia una retta parallela all’asse delle ascisse : il grafico della funzione y=f '(x).

Figura animata 4

 

 

Nella Figura animata 5 verifichiamo che la funzione derivata della funzione seno è la funzione coseno, infatti al variare del punto A sulla sinusoide il punto A1 traccia la cosinusoide.

Figura animata 5