I NUMERI REALI

Robert Delaunay, Formes circulaires, 1930

Ho molta paura delle definizioni, ma siamo obbligati a usarle. Bisogna solo fare attenzione a non restarne paralizzati.

Robert Delaunay

 

 

 

di Marisa Capra,
ITI Cobianchi - Verbania

 

Due strane situazioni


Consideriamo le due seguenti situazioni diverse ma con tanti aspetti in comune:

La prima situazione
La TARTARUGA (T) in un raptus di follia sfida il Pie’ Veloce ACHILLE (A) nella corsa.
Achille accetta e, sicuro di vincere, concede alla Tartaruga un certo vantaggio e la gara
inizia:

Achille ha una velocità maggiore di quella della Tartaruga ma, quando Achille arriva al punto di partenza della Tartaruga, essa è avanzata e si trova più avanti:

Quando Achille arriva in T’, la tartaruga, seppur di poco, si sarà spostata in avanti in T’’ e così via:

Procedendo in questo modo e seguendo questo ragionamento è evidente che Achille, seppure di pochissimo, perderà la corsa perché non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga


La seconda situazione
Una freccia scoccata da un arco, con la punta in A, deve colpire il bersaglio posto in B:

Nel suo percorso la freccia giungerà nel punto medio M del segmento AB

e quindi nel punto medio M’ del segmento MB

e quindi nel punto medio M’’ del segmento M’B.
In questo modo, poiché c’è sempre la possibilità di trovare il punto medio di un segmento,
per quanto “piccolo” esso sia, la freccia non arriverà mai a colpire il bersaglio.

Questi due problemi furono formulati da Zenone, un filosofo della scuola eleatica, vissuto circa 500 anni a.C.. Le sue argomentazioni sono evidentemente dei paradossi e infatti si racconta che Diogene, per dimostrarne la falsità, non pronunciò alcuna parola ma si alzò e, in silenzio, si mise a camminare.

Zenone dice che il più lento non sarà mai raggiunto nella corsa dal più veloce. Infatti è necessario che chi insegue giunga prima al punto da cui è partito chi fugge, cosicché il più lento si troverà sempre necessariamente un po’ più avanti del più veloce. Questo argomento è lo stesso di quello della dicotomia, ma ne differisce per il fatto che la grandezza successivamente presa non viene divisa per due.”

Aristotele

  Raffaello, La scuola di Atene, particolare Zenone, circa 500 a. C.

Riflettendo su tali paradossi si nota bene come, nel risolvere un determinato problema, l’uso di un modello inadatto può portare a conclusioni totalmente errate e, a volte, addirittura in contrasto con la realtà.

“L’errore” di Zenone è quello di pensare al movimento come una successione di scatti successivi; lavora nel discreto e non nel continuo, cioè pensa al movimento come somma di infinite parti che devono portare “necessariamente” all’infinito.

Solo da pochi secoli si è potuto dimostrare che la somma di infiniti addendi può anche portare ad un numero finito.

 

La continuità

Come si può dire che si lavora con un insieme numerico che opera nel “continuo”?
Per rispondere a questa domanda è necessario fare alcune considerazioni e ricordare alcuni importanti insiemi numerici e le loro principali caratteristiche.

Tutta la costruzione matematica poggia sugli insiemi numerici, via via ampliati per rispondere alla necessità di risolvere nuovi problemi:

  • bisogna “saper contare” e allora si opera con l’insieme dei numeri naturali N;
  • bisogna “dare e avere” e allora si opera con l’insieme dei numeri interi Z;
  • bisogna “misurare” e allora si opera con l’insieme dei numeri razionali Q, cioè con i numeri che possono essere rappresentati mediante frazioni;

non sempre è però possibile esprimere la misura di una grandezza come frazione di un’altra, vedi, per esempio, il lato di un quadrato e la sua diagonale, e allora si dovrà introdurre un nuovo insieme di numeri che oltre ai razionali comprenda anche numeri non rappresentabili mediante una frazione, i cosiddetti numeri irrazionali.

I quattro insiemi numerici che abbiamo ricordato hanno alcune caratteristiche comuni:

  • sono insiemi infiniti;
  • possono essere rappresentati sulla retta;
  • sono dotati di un ordinamento totale, cioè fra due numeri a e b si può sempre dire quale dei due è il più grande.

Ci sono poi caratteristiche ben differenti e fra queste quelle che maggiormente ci interessano ora sono le seguenti:

  • gli insiemi N e Z sono detti “insiemi discretiperché all’interno del loro ordinamento ogni elemento ha un suo successivo;

  • l’insieme Q è un “insieme densoperché all’interno del suo ordinamento non è possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi suo elemento.

Ora, in ogni caso in cui c’è una sezione (A1, A2) che non è prodotta da un numero razionale, allora noi creiamo un nuovo numero irrazionale a che riteniamo completamente definito da questa sezione; diremo che questo numero a corrisponde a questa sezione oppure che produce questa sezione.

Dedekind

J. W. Richard Dedekind, 1831 - 1916  

Occorre fare ora attenzione per non incorrere in un grave errore di interpretazione!
Dire che Q è un insieme denso

- significa dire che sulla retta attorno ad ogni numero, ad esempio a 2, vanno ad addensarsi infiniti numeri, cosicché non è possibile stabilire qual è il numero razionale immediatamente successivo a 2,
- non significa dire che tutti i numeri razionali riempiono la retta.

  • l’insieme R dei numeri reali è denso e inoltre completa la retta.

A tal proposito si veda, sempre su questo sito, la bellissima lezione delle Proff. G. Gallino e S. Serre dal titolo: “Dai numeri figurati all’incommensurabilità: un possibile percorso"

Per capire l’affermazione: l’insieme R dei numeri reali è denso e inoltre completa la retta, ricordiamo adesso l’Assioma di Dedekind della continuità della retta. Esso afferma che:
se dividiamo la retta r in due parti A e B tali che:

- ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B
- l’unione delle due parti dà la retta (AB)= r
- se A ha un massimo, allora B non ha minimo
- se A non ha massimo, allora B ha minimo

allora le due classi vengono chiamate partizione e l’elemento, massimo di A oppure minimo di B, viene detto elemento separatore delle due classi
Tale elemento separatore, per ogni suddivisione della retta, esiste sempre ed è unico.
Per tale motivo la retta viene definita un insieme continuo.

E l’insieme dei numeri reali?
Proviamo ad operare in modo analogo, sempre seguendo Dedekind:

Nell’insieme Q dei numeri razionali relativi si definisce sezione ogni suddivisione dell’insieme Q in due classi non vuote A e B che godono delle seguenti proprietà:
1. ogni elemento di Q appartiene ad una e una sola delle due classi
2. ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B
Facciamo due esempi:

es. 1 In Q definiamo le seguenti sezioni, cioè la seguente partizione:

In tale situazione è evidente che il numero razionale 3/4 è l’elemento separatore delle due classi.

 

es. 2 In Q definiamo la seguente partizione, dove Q- è l’insieme dei razionali negativi e Q+ di quelli positivi.

Gli elementi di A sono tutti i numeri razionali negativi, lo zero e tutti i razionali positivi il cui quadrato è minore o uguale a 2:

Gli elementi di B sono tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato è maggiore di 2

In tale situazione è evidente che il numero √2 è l’elemento separatore delle due classi, ma sappiamo non essere un numero razionale, non è né il massimo di A, né il minimo di B..

Possiamo ora dedurre che se operiamo in Q non sempre le partizioni hanno come elemento separatore un razionale e quindi possiamo pensare di ampliare l’insieme dei razionali in modo che l’elemento separatore esista sempre

Robert Delaunay, Hoamge to Bleriot, 1914

Definiamo allora numero reale una partizione operata in Q, in cui gli elementi della prima sezione sono minori di quelli della seconda.
L’insieme dei numeri reali R è l’insieme di tali partizioni.
Ci si può così trovare in due condizioni:
- la partizione (A ; B) individua un elemento di Q e allora è un numero reale razionale
- la partizione (A ; B) non individua un elemento di Q e allora è un numero reale irrazionale

L’insieme R, come unione dei numeri razionali con gli irrazionali, gode della proprietà di avere un elemento separatore per ogni sua partizione; si può quindi pensare che sia in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei punti della retta e pertanto che anch’esso sia un insieme continuo

Per rappresentare i numeri razionali si possono usare le frazioni, oppure scriverli come interi o come decimali limitati o come decimali illimitati periodici

Per rappresentare un numero irrazionale in forma decimale si può usare una stringa di cifre decimali, con infinite cifre decimali dopo la virgola; è evidente che non si potranno scrivere tutte le cifre ma se ne potranno determinare quante se ne vogliono, approssimando il numero irrazionale con la precisione voluta, mediante due insiemi, uno costituito da valori che si avvicinano al numero per difetto e l’altro costituito da valori che si avvicinano al numero per eccesso; ad esempio :

e così via.
Si noti che 1 è il più grande intero con quadrato minore di 2, che 1,4 ha il quadrato minore di 2, mentre 1,5 lo supera, ecc.

Per quanto riguarda questa costruzione, suggerisco di vedere, sempre su questo sito,
l’articolo del Prof. Luigi Corgnier dal titolo “Istruzioni per l’uso di un programma dimostrativo per il calcolo delle radici”.

 

La storia dei radicali

 

L’approssimazione a √2 usata dai babilonesi non consente un ragionamento esatto con numeri irrazionali, poiché, quale che sia il numero di posizioni decimali che siamo disposti a usare, non possiamo scrivere un numero razionale il cui quadrato sia esattamente 2. Eppure, se la matematica deve giustificare la sua pretesa di essere uno studio esatto, deve lavorare con √2 e non con una sua approssimazione. Per la mente greca questa era una difficoltà vera e importante come il problema del cibo per un naufrago gettato dalle onde su un banco corallino.

Morris Kline

Fra i numeri irrazionali quelli che si incontrano con una certa frequenza, a parte gli irrazionali trascendenti come e il numero di Nepero e, ci sono i radicali e, in particolare i radicali quadratici.
Il loro uso viene da lontano; infatti per la maggioranza di coloro che si occupano di Storia della Matematica il primo numero irrazionale preso in considerazione è stato √2,derivante dalla scoperta fatta dai Pitagorici, intorno al 400 a.C., della incommensurabilità tra la diagonale e il lato del quadrato, per altri storici il primo irrazionale è stato invece √5, derivante dalla incommensurabilità tra il lato e la diagonale del pentagono regolare.

I momenti più significativi della storia dei radicali, che hanno attraversato non solo i secoli ma addirittura i millenni, sono i seguenti:
- Platone (circa 400 a.C.) nel dialogo Teeto, parla di √2 come di un numero non rappresentabile come rapporto e usa, per la prima volta, il termine “irrazionale”;
- Euclide negli Elementi (3° sec. a.C.) riprende il concetto di irrazionalità nel suo stile preciso e rigoroso;
- Fibonacci, venendo ad un tempo a noi relativamente più vicino, nel suo Liber Abaci, in maniera decisamente più moderna presenta una dimostrazione dell’impossibilità di esprimere un radicale come rapporto tra numeri interi
- N. Chuquet, verso la fine del 1400, introduce il simbolo R 2 che è l’equivalente della nostra attuale radice quadrata;
- B. Bolzano, all’inizio del 1800, provò a sviluppare i numeri reali come successioni di razionali;
- K. Weierstrass, verso la fine del 1800, tentò di svincolare i numeri irrazionali dalla Geometria, considerandoli come insieme numerico a se stante e non solo come grandezze ricavate dall’incommensurabilità di grandezze geometriche;
E, infine, del grande apporto di Dedekind si è già parlato nel paragrafo precedente.

Questo percorso non è stato scevro di difficoltà e di ostacoli; basti pensare che ancora nel 1800 L. Kronecker, con la sua famosa affermazione: “Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo”, esprimeva la sua profonda convinzione che fosse corretto studiare la Matematica, utilizzando solo i numeri interi.
Ma che gli uomini siano “fatti per seguir virtute e conoscenza” è dimostrato anche dall’ostinazione con cui i numeri reali e, in particolare, gli irrazionali sono stati, e sono tuttora studiati.

 

I numeri reali algebrici e i numeri reali trascendenti

Esiste una interessante classificazione dei numeri reali: essi possono essere algebrici oppure trascendenti.
I numeri si dicono algebrici quando sono radici di una equazione polinomiale del tipo
A0 xn + A1 xn-1 + ……. + An-2 x2 + An-1 x + An = 0
dove A0 , A1 , ……… , An-1 , An sono coefficienti interi.

 

Lo vedo ma non ci credo.

Cantor

A proposito dei suoi risultati sull’infinto.

Georg Cantor, 1845 - 1918  

I numeri si dicono trascendenti quando non possono essere soluzioni di nessuna equazione polinomiale del tipo sopraddetto.

I numeri reali razionali sono tutti algebrici:
-5 è soluzione dell’equazione 2x+10 = 0
3/4 è soluzione dell’equazione 4x-3 = 0
8/3 è soluzione dell’equazione 3x-8 = 0
in generale ogni è soluzione dell’equazione bx-a = 0

I numeri reali irrazionali possono essere algebrici:
è soluzione dell’equazione x3– 4 = 0

ma possono essere anche trascendenti; per esempio, nel 1882 il matematico tedesco Lindemann dimostrò che è un numero trascendente.
Il grande matematico Cantor dimostrò poi che, sebbene non sia facile individuare numeri trascendenti essi sono “in numero maggiore” dei numeri algebrici (in un senso difficile da piegare perché riguarda la gerarchia degli insiemi infiniti)..

L’insieme dei numeri reali R può allora essere pensato insiemisticamente attraverso il seguente diagramma di Eulero-Venn

In libreria e in rete

Conway, J.H., and R.K. Guy, Il libro dei numeri, Hoepli, 1999

R. Courant e H. Robbins, Che cos’è la matematica, Bollati Boringhieri, 2000, pp. 100 – 116

Lombardo Radice Lucio, L’infinito, Editori Riuniti, 1981

Maor Eli, All’infinito e oltre, Mursia, 1993

Peter Rozsa, Giocando con l’infinito – Matematica per tutti, Feltrinelli, 1973

Rucker R., La mente e l'infinito, Muzzio, 1994

Borwein, J. and Borwein, P. A Dictionary of Real Numbers, Wadsworth, 1990

Le Lionnais Francois, Les nombres remarquables, Hermann, 1983

Flegg Graham, Numbers – Their History and Meaning, Penguin Books, 1983

 

Dai numeri figurati al concetto di incommensurabilità: un possibile percorso! una lezione di Gemma Gallino e Stefania Serre:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/
Mag_04/APPUNTI.HTM

I numeri complessi: un percorso didattico fra algebra e geometria di Luigi Tomasi
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/
Dic03/APPUNTI.HTM

Luigi Corgnier, Istruzioni per l’uso di un programma dimostrativo per il calcolo delle radici,
http://www2.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Interventi/Articoli/Italia/
CalcoloRadici/CalcoloRadici.htm

Galileo e I numeri reali di U. Bartocci, Dipartimento di Matematica, Universita' degli Studi, Perugia:
http://www.dipmat.unipg.it/~bartocci/GAL.html

… e ancora di U. Bartocci, Fondamenti della teoria dei numeri reali:
http://www.dipmat.unipg.it/~bartocci/REALI.html

Numeri reali secondo Cantor di Giulio Giorello:
http://tesionline.corriere.it/tesi_giorello/tgg020202.asp

La teoria dei numeri reali, dal Giardino di Archimede:
http://www.math.unifi.it/archimede/archimede/mostra_calcolo/guida/node34.html

Definizione e teoria dei numeri reali:
http://mathworld.wolfram.com/RealNumber.html

A Question of Numbers, un articolo di Brian Ayes:
http://www.americanscientist.org/amsci/issues/Comsci96/compsci96-01.html

L’home page di Simon Plouffe:
http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/

… e il suo Inverse Symbolic Calculator, dedicato ai numeri reali:
http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/

Certitudes sans démonstration? un articolo di Jean-Paul Delahaye :
http://www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/Certitude_sans_demonstration.pdf

What are the "real numbers," really?, di Eric Schechter, Vanderbilt University:
http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/thereals/

I numeri reali di Stefan Waner, Hofstra University:
http://people.hofstra.edu/faculty/Stefan_Waner/RealWorld/tut_alg_review/framesA_1.html

The evolution of the real numbers di Lawrence Spector:
http://www.themathpage.com/aReal/real-numbers.htm

Understanding Algebra, testo online di James W. Brennan
http://www.jamesbrennan.org/algebra/